Phép chia phân số

Lý thuyết

Bài 12.3* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 31)

Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho khi chia a cho \(\dfrac{6}{7}\) và chia a cho \(\dfrac{10}{11}\) ta đều được kết quả là số tự nhiên ?

Hướng dẫn giải

Theo đề bài nên 7a ⋮ 6 suy ra a ⋮ 6 (vì 7 và 6 là nguyên tố cùng nhau);

nên 11a ⋮ 10 suy ra a ⋮ 10 (vì 11 và 10 nguyên tố cùng nhau). Như vậy a là bội chung của 6 và 10.

Để a nhỏ nhất thì a = BCNN(6;10) = 30

Vậy số phải tìm là 30

Bài 12.4 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 31)

Tích của hai phân số là \(\dfrac{3}{7}\) nếu thêm vào thừa số thứ nhất 2 đơn vị thì tích là \(\dfrac{13}{21}\). Tìm hai phân số đó ?

Hướng dẫn giải

Tích mới hơn tích cũ là :\(\dfrac{13}{21}-\dfrac{3}{7}=\dfrac{4}{21}\)

Tích mới hơn tích cũ 2 lần phân số thứ hai.

Vậy phân số thứ hai là:\(\dfrac{4}{21}:2=\dfrac{2}{21}\)

Phân số thứ nhất là :\(\dfrac{3}{7}:\dfrac{2}{21}=\dfrac{9}{2}\)

Bài 98 (Sách bài tập - tập 2 - trang 29)

Tìm các cặp số nghịch đảo của nhau trong các cặp số sau :

a) 0,25 và 4                        b) 3,4 và 4,3

c) 2 và 0,5                          d) 0,7 và 7

Hướng dẫn giải

Các cặp số nghịch đảo của nhau là: \(a) 0,25\) và \(4\) ; \(c)2\) và \(0,5\).

Bài 110* (Sách bài tập - tập 2 - trang 30)

Tìm hai số, biết rằng \(\dfrac{9}{11}\)  của số này bằng \(\dfrac{6}{7}\)  của số kia và tổng của hai số đó bằng 28 ?

Hướng dẫn giải

Gọi hai số cần tìm là a và b.

Suy ra : a = 258 – 126 = 132

Bài 107 (Sách bài tập - tập 2 - trang 30)

Viết phân số \(\dfrac{14}{15}\) dưới dạng thương của hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên dương có một chữ số ?

Hướng dẫn giải

Ta có \(\dfrac{14}{15}\) = \(\dfrac{2}{3}\) : \(\dfrac{5}{7}\)

= \(\dfrac{7}{3}\) : \(\dfrac{5}{2}\)

= \(\dfrac{2}{5}\) : \(\dfrac{3}{7}\)

= \(\dfrac{7}{5}\) : \(\dfrac{3}{2}\)

Bài 102* (Sách bài tập - tập 2 - trang 29)

Viết số nghịch đảo của -2 dưới dạng tổng các nghịch đảo của ba số nguyên khác nhau ?

Hướng dẫn giải

\(\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{6}{12}=\dfrac{\left(-3\right)+\left(-2\right)+\left(-1\right)}{12}=-\dfrac{1}{4}+-\dfrac{1}{6}+-\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{-4}+\dfrac{1}{-6}+\dfrac{1}{-12}\)\(\rightarrow\) \(-2\) đã đượcviết dưới dạng tổng 3 số nghịch đảo của 3 số nguyên \(-4,-6,-12\)

Bài 12.5* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 31)

Tìm hai số biết rằng \(\dfrac{7}{9}\) của số này bằng \(\dfrac{28}{33}\) của số kia và hiệu của hai số đó bằng 9 ?

Hướng dẫn giải

Số thứ nhất bằng \(\dfrac{28}{33}:\dfrac{7}{9}=\dfrac{12}{11}\) số thứ hai.

Số 9 chính là giá trị của \(\dfrac{12}{11}-1=\dfrac{1}{11}\) số thứ hai.

Số thứ hai là: \(9:\dfrac{1}{11}=99\).

Số thứ nhất là: \(99+9=108\).

Bài 99 (Sách bài tập - tập 2 - trang 29)

Tìm \(x\), biết :

a) \(\dfrac{3}{4}x=1\)                        b) \(\dfrac{4}{7}x=\dfrac{9}{8}-0,125\)

Hướng dẫn giải

a) \(\dfrac{3}{4}x=1\)

\(x=1:\dfrac{3}{4}\)

\(x=1.\dfrac{4}{3}\)

\(x=\dfrac{4}{3}\)

b)\(\dfrac{4}{7}x=\dfrac{9}{8}-0,125\)

\(\dfrac{4}{7}x=\dfrac{9}{8}-\dfrac{1}{8}\)

\(\dfrac{4}{7}x=1\)

\(x=1:\dfrac{4}{7}\)

\(x=1.\dfrac{7}{4}\)

\(x=\dfrac{7}{4}\)

Bài 104 (Sách bài tập - tập 2 - trang 29)

a) Một người đi bộ 12 km trong 3 giờ. Hỏi 1 giờ, người ấy đi được bao nhiêu km ?

b) Một người đi xe đạp 8km trong \(\dfrac{2}{3}\) giờ. Hỏi trong 1 giờ, người ấy đi được bao nhiêu km ? 

Hướng dẫn giải

Giải:

a) 1 giờ, người đó đi đc là:

3 : 12 = 0.25 (km)

b) Đổi: \(\dfrac{2}{3}\) = 0.6

Trong 1 giờ, người đó đi được là:

0.6 : 8 = 0.075 (km)

Đáp số: a) 0.25 km

b) 0.075 km

Bài 103 (Sách bài tập - tập 2 - trang 29)

Tính các thương sau đây rồi sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần :

\(\dfrac{3}{2}:\dfrac{9}{4}\)            \(\dfrac{48}{55}:\dfrac{12}{11}\)               \(\dfrac{7}{10}:\dfrac{7}{5}\)                \(\dfrac{6}{7}:\dfrac{8}{7}\)

Hướng dẫn giải

1) \(\dfrac{3}{2}\) : \(\dfrac{9}{4}\) =\(\dfrac{3}{2}\)x\(\dfrac{4}{9}\)=\(\dfrac{12}{18}\)=\(\dfrac{2}{3}\)

2)\(\dfrac{48}{55}\) : \(\dfrac{12}{11}\)= \(\dfrac{48}{55}\) x\(\dfrac{11}{12}\)= \(\)\(\dfrac{528}{660}\)=\(\dfrac{4}{5}\)

3)\(\dfrac{7}{10}\) : \(\dfrac{7}{5}\)=\(\dfrac{7}{10}\) x \(\dfrac{5}{7}\)= \(\dfrac{35}{70}\)=\(\dfrac{1}{2}\)

4)\(\dfrac{6}{7}\) : \(\dfrac{8}{7}\) = \(\dfrac{6}{7}\) x \(\dfrac{7}{8}\) =\(\dfrac{42}{56}\)=\(\dfrac{3}{4}\)

Sắp xếp các thương theo thứ tự tăng dần :\(\dfrac{1}{2}\);\(\dfrac{2}{3}\);\(\dfrac{3}{4}\);\(\dfrac{4}{5}\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{7}{10}\) : \(\dfrac{7}{5}\) ; \(\dfrac{3}{2}\) :\(\dfrac{9}{4}\) ; \(\dfrac{6}{7}\) : \(\dfrac{8}{7}\) ; \(\dfrac{48}{55}\):\(\dfrac{12}{11}\).

Bài 12.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 31)

\(\dfrac{12}{25}\) là kết quả của phép chia 

(A) \(\dfrac{-3}{5}:\dfrac{5}{-4}\)             (B) \(\dfrac{2}{25}:6\)               (C) \(\dfrac{3}{25}:4\)                         (D) \(-6:\dfrac{25}{2}\)

Hãy chọn đáp án đúng ?

Hướng dẫn giải

(A) \(\dfrac{-3}{5}:\dfrac{5}{-4}\)

Bài 97 (Sách bài tập - tập 2 - trang 29)

Tính giá trị của \(a,b,c,d\) rồi tìm số nghịch đảo của chúng :

\(a=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\)                     \(b=\dfrac{2}{7}.\dfrac{14}{5}-1\)

\(c=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{25}.5\)                \(d=-8.\left(6.\dfrac{1}{24}\right)\)

Hướng dẫn giải

\(a=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{4-3}{12}=\dfrac{1}{12}\)

\(\rightarrow\) Số nghịch đảo của \(a\) là \(12.\)

\(b=\dfrac{2}{7}.\dfrac{14}{5}-1=\dfrac{4}{5}-1=-\dfrac{1}{5}\)

​\(\rightarrow\)​ Số nghịch đảo của \(b\) là \(-5.\)

\(c=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{25}.5=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{15-4}{20}=\dfrac{11}{20}\)

\(\rightarrow\) Số nghịch đảo của \(c\) là \(\dfrac{20}{11}.\)

\(d=-8.\left(6.\dfrac{1}{24}\right)=-8.\dfrac{1}{4}=-2\)

\(\rightarrow\) Số nghịch đảo của \(d\) là \(\dfrac{1}{-2}\) hay \(-\dfrac{1}{2}.\)

Bài 96 (Sách bài tập - tập 2 - trang 29)

Tìm số nghịch đảo của các số sau :

a) \(-3\)

b) \(\dfrac{-4}{5}\)

c) \(-1\)

d) \(\dfrac{13}{27}\)

Hướng dẫn giải

a)\(\dfrac{-1}{3}\)

b)\(\dfrac{-5}{4}\)

c) \(-1\)

d)\(\dfrac{27}{13}\)

Bài 109* (Sách bài tập - tập 2 - trang 30)

Cho hai phân số \(\dfrac{8}{15}\) và \(\dfrac{18}{35}\). Tìm số lớn nhất sao cho khi chia mỗi phân số này cho số đó ta được kết quả là số nguyên ?

Hướng dẫn giải

Gọi phân số lớn nhất cần tìm là a/b

Ta có:

Theo đề bài thì 8b/15a là số nguyên nên 8b ⋮ 15a

Mà UCLN(8; 15) = 1 và UCLN(a; b) = 1 nên 8 ⋮ a và b ⋮ 15 (1)

Ta lại có :

Tương tự 18b ⋮ 35a

Mà UCLN(18: 35) = 1 và UCLN(a , b) = 1 nên 18⋮ a và b ⋮ 35 (2)

Từ (1), (2) suy ra : a ∈ UC(8; 18) = {0,1,2}

b ∈ UC(15; 35) = {0,105; 210; …}

Vì a/b lớn nhất nên a lớn nhất, b nhỏ nhất khác 0

Vậy phân số cần tìm là 2/105

Bài 106 (Sách bài tập - tập 2 - trang 30)

Một ôtô đi quãng đường AB với vận tốc 40km/h. Lúc về, xe đi quãng đường BA với vận tốc 50km/h. Thời gian cả đi lần về (không kể nghỉ) là 4 giờ 30 phút. Hỏi :

a) Thời giàn ôtô đi 1km lúc đi ? Lúc về ?

b) Thời gian ôtô đi và về ?

c) Độ dài quãng đường AB ?

Hướng dẫn giải

a) Thời gian ô tô đi 1km lúc đi là: 1:40=1/40 (giờ)

Thời gian ô tô đi 1km lúc về là: 1:50=1/50 (giờ)

b) Tổng thời gian ô tô đi và về 1km là:

c) Độ dài quãng đường AB dài:

Bài 100 (Sách bài tập - tập 2 - trang 29)

Tìm tích sau rồi tìm số nghịch đảo của kết quả :

\(T=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\left(1-\dfrac{1}{5}\right)\left(1-\dfrac{1}{7}\right)\left(1-\dfrac{1}{9}\right)\left(1-\dfrac{1}{11}\right)\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{4}\right)\left(1-\dfrac{1}{6}\right)\left(1-\dfrac{1}{8}\right)\left(1-\dfrac{1}{10}\right)\)

Hướng dẫn giải

\(T=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\left(1-\dfrac{1}{5}\right)\left(1-\dfrac{1}{7}\right)\left(1-\dfrac{1}{9}\right)\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{4}\right)\left(1-\dfrac{1}{6}\right)\left(1-\dfrac{1}{8}\right)\left(1-\dfrac{1}{10}\right)\)\(\Rightarrow T=\dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{5}.\dfrac{6}{7}.\dfrac{8}{9}.\dfrac{10}{11}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{5}{6}.\dfrac{7}{8}.\dfrac{9}{10}\)

\(\Rightarrow=\dfrac{1}{11}\)

\(\Rightarrow\) Số nghịch đảo của T là \(11\)

Bài 105 (Sách bài tập - tập 2 - trang 30)

Một bể đang chứa lượng nước bằng \(\dfrac{3}{4}\) dung tích bể. Người ta mở một vòi nước chảy vào bể, mỗi giờ chảy được \(\dfrac{1}{8}\) bể. Hỏi sau đó bao lâu thì bể đầy nước ?

Hướng dẫn giải

Dung tích phần bể chứa nước chảy vào là: 1-1/4=3/4

Thời gian để vòi nước chảy đầy bể là: 3/4:1/8=3/4.8=24/4=6

Đáp số: 6 giờ

Bài 12.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 30)

Số nghịch đảo của \(\dfrac{-2}{7}\) là :

(A) \(\dfrac{2}{7}\)                 (B) \(\dfrac{7}{2}\)                  (C) \(1\)                         (D) \(\dfrac{-7}{2}\)

Hãy chọn đáp án đúng ?

Hướng dẫn giải

D

Bài 101* (Sách bài tập - tập 2 - trang 29)

Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2 ?

Hướng dẫn giải

Gọi phân số dương là \(\dfrac{a}{b}\) . ( Không mất tính tổng quát )

Cho \(a>0,\) \(b>0\) và \(a\ge b\) . Ta có thể viết \(a=b+m\left(m\ge0\right)\) .

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m}{b}\ge1+\dfrac{m}{b+m}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m+b}{b+m}=2\)\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b\left(m=0\right)\)

Bài 108 (Sách bài tập - tập 2 - trang 30)

Tính giá trị của biểu thức :

                      \(A=\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{2}{9}}{\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{5}-\dfrac{4}{9}}\)

Hướng dẫn giải

A = \(\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{2}{9}}{\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{5}-\dfrac{4}{9}}\)

A = \(\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{2}{9}}{2.\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{2}{9}\right)}=\dfrac{1}{2}\)