48 đề ôn luyện HSG Môn toán lớp 8
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
-
![Đề cương ôn thi học kì 1 Toán 8]()
-
![Đề cương ôn tập Toán 8 học kì 2]()
-
![Các chuyên đề ôn tập các dạng hình học toán 8]()
-
![Các chuyên đề ôn tập các dạng hình học toán 8]()
-
![Các chuyên đề ôn tập Đại số 8]()
-
![Tài liệu ôn thi HSG Toán 8 đại số]()
-
![Toán 8: Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử]()
-
![Các chuyên đề ôn HSG Toán 8]()
-
![Các chuyên đề ôn toán hình lớp 8]()
-
![350 bài tập trắc nghiệm phép nhân và phép chia các đa thức]()
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
Bài tập tự Luyện
111EQUATION CHAPTER 1 SECTION 1ĐỀ SỐ 1
Câu 1:
Cho x =
;y=
Câu 2: Giải phương trình:
b,
a,
+
. Tính giá trị P = x + y + xy
=
+ +
+
(x là ẩn số);
= 0; (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Câu 3: Xác định các số a, b biết:
=
+
Câu 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên.
Câu 5: Cho
ABC; AB = 3AC. Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
ĐỀ SỐ 2
Câu 1: Cho a,b,c thoả mãn:
=
=
.Tính giá trị M = (1 + )(1 + )(1 +
)
Câu 2: Xác định a, b để đa thức f(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +2 Chia hết cho y(x) = x2 – x + b
Câu 3: Giải các PT: a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680. b, 4x2 + 4y – 4xy +5y2 + 1 = 0
Câu 4:
Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số mà mẫu là tổng các chữ số của
nó.
Câu 5: Cho
ABC cân tại A, trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho:AD = EC = DE = CB.
a, Nếu AB > 2BC. Tính góc
b, Nếu AB < BC. Tính góc
của
của
.
ĐỀ SỐ 3
Câu 1:Phân tích thành nhân tử: a, a3 + b3 + c3 – 3abc;
Câu 2: Cho A =
b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3
:
a, Rút gọn A
b, Tìm A khi x= c, Tìm x để 2A = 1
Câu 3:
a, Cho x+y+z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 + z2
b, Tìm giá trị lớn nhất của P =
Câu 4:
a, Cho a,b,c > 0, CMR:
Câu 5: Cho
1<
+
+
< 2; b, Cho x,y
đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a
a, Tính số đo các góc
0 CMR:
+
+
Bài tập tự Luyện
b, CMR: AM
AB
c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR
đều.
ĐỀ SỐ 4
Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, a8 + a4 +1;
b, a10 + a5 +1
Câu 2: a, Cho a+b+c = 0, Tính giá trị của biểu thức: A =
+
+
b, Cho biểu thức: M =
+ Rút gọn M
+ Tìm x
Z để M đạt giá trị nguyên.
Câu 3: a, Cho abc = 1 và a3 > 36, CMR:
+ b2 + c2 > ab + bc + ca; b, CMR: a2 + b2 +1
2
ab + a + b
2
Câu 4: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x + 2xy + y - 2x + 2y +1
b, Cho a+b+c= 1, Tìm giá trị nhỏ nhất P = a3 + b3 + c3 + a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b)
Câu 5: a, Tìm x,y,x
Z biết: x2 + 2y2 + z2 - 2xy – 2y + 2z +2 = 0
b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 6x + 15y + 10z = 3
Câu 6:
Cho
. H là trực tâm, đường thẳng vuông góc với AB tại B, với AC tại C cắt nhau tại D.
a, CMR: Tứ giác BDCH là hình bình hành.
b, Nhận xét mối quan hệ giữa góc
và
của tứ giác ABDC.
ĐỀ SỐ 5
Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 ; b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Câu 2: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14. Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c
D = x2009 + y2010 + z2011
0. Tính giá trị của
Biết x,y,z thoả mãn:
Câu 3: a, Cho a,b > 0, CMR:
=
+
+
+
; b, Cho a,b,c,d > 0. CMR:
+
+
+
0
Câu 4: a, Tìm giá trị lớn nhất: E =
b, Tìm giá trị lớn nhất: M =
với x,y > 0;
với x > 0
Câu 5: a, Tìm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y; b, Tìm nghiệm
Z của PT: x2 + x + 6 =
y2
Câu 6: Cho
M là một điểm
miền trong của
BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D.
. D, E, F là trung điểm AB, AC,
Bài tập tự Luyện
a, CMR: AB’A’B là hình bình hành.
b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’
ĐỀ SỐ 6
Câu 1: Cho
=
và
=
Tính giá trị của biểu thức A =
Câu 2: Cho x2 – x = 3, Tính giá trị của biểu thức M = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2
Câu 3:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x+1)(x+2)(x+3)
b, Cho x,y > 0 và x + y = 10, Tìm giá trị nhỏ nhất của N =
Câu 4:
a, Cho 0
a, b, c
1.
CMR: a2 + b2 + c2
+
1+ a2b + b2c + c2a
b, Cho 0
a,Tìm a để PT
<3
= 5 – a có nghiệm
Z+
b, Tìm nghiệm nguyên dương của PT:
+
+
=
Câu 6:
Cho hình vuông ABCD, trên CD lấy M, nối M với A. Kẻ phân giác góc
giác góc
cắt CD tại Q. CMR PQ
cắt BC tại P, kẻ phân
AM
ĐỀ SỐ 7
Câu 1: Cho a, b, c khác nhau thoả mãn:
+
+
=1
Thì hai phân thức có giá trị là 1 và 1 phân thức có giá trị là -1.
Câu 2:
Câu 3:
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1.
5
Tìm giá trị lớn nhất A =
3
Cho M = a – 5a +4a với a Z
a, Phân tích M thành nhân tử.
b, CMR: M 120
Câu 4:
Cho N 1, n
a Z
N a, CMR: 1+ 2+ 3+....+n =
b, CMR: 12 +22 + 32 +......+n2 =
Câu 5: Tìm nghiệm nguyên của PT: x2 = y(y+1)(y+2)(y+3)
;
+
+
Bài tập tự Luyện
Câu 6:
Giải BPT:
Câu 7: Cho 0
>
a, b, c
-1
2 và a+b+c = 3. CMR: a2 + b2 + c2
5
Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp 2 lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx tạo với CD
một góc 150 cắt AD tại E. CMR:
cân.
ĐỀ SỐ 8
Câu 1: Cho A =
a, Rút gọn A
b, Nếu n Z thì A là phân số tối giản.
Câu 2:
Cho x, y > 0 và x+y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
P = (1 -
)(1 -
)
Câu 3:
a2 + b2 + c2 < 2(ab+bc+ca)
a, Cho a, b ,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR:
b, Cho 0
a, b , c
Câu 4:
Tìm x, y, z biết:
Câu 5:
Cho n Z và n
Câu 6:
a + b2 +c3 – ab – bc – ca
1. CMR:
1
x+y–z = y+z-x = z+x-y = xyz
1. CMR: 13 + 23 +33 +......+n3 =
Giải bất phương trình: (x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5
Câu 7: Chia tập N thành các nhóm: 1; (2,3); (4,5,6)....., nhóm n gồm n số hạng. Tính tổng các số trong
nhóm 94.
Câu 8: Cho hình vuông ABCD. M, N là trung điểm AB, BC, K là giao điểm của CM và DN. CMR: AK =
BC
ĐỀ SỐ 9
Câu 1:
Cho M =
+
+
;N=
+
+
a, CMR: Nếu M = 1 thì N = 0
b, Nếu N = 0 thì có nhất thiết M = 1 không?
Câu 2:
Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 2.
Câu 3:
Cho x, y, z
CMR:
+
0 và x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998.
+
1
Tìm giá trị lớn nhất của M = x + y + z
Câu 4:
a, Tìm các số nguyên x để x2 – 2x -14 là số chính phương.
b, Tìm các số
Câu 5:
sao cho
là số nguyên tố
Cho a, b, c, d là các sô nguyên dương
CMR: A =
+
+
+
không phải là số nguyên.
Bài tập tự Luyện
Câu 6:Cho
cân (AB=AC) trên AB lấy điểm M, trên phần kéo dài của AC về phía C lấy điểm N sao
cho: BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP. CMR: BC
PC
Câu 7: Cho x, y thoả mãn: 2x2 +
Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất
+
= 4 (x 0).
ĐỀ SỐ 10
Câu 1:
Cho a, b, c > 0 và P =
Q=
+
+
a, CMR: P = Q ;
+
+
b, CMR: P
Câu 2:Cho a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 1. CMR:
abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca)
Câu 3:CMR
0
x, y Z thì: A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương.
Câu 4:
a, Tìm số tự nhiên m, n sao cho: m2 + n2 = m + n + 8
b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x2y = (x2+1)(x2+y2)
Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A =
Câu 6:
Cho x =
Câu 7:
Giải BPT:
Câu 8: Cho
;y=
Tính giá trị: M =
(x là ẩn số)
, trên BC lấy M, N sao cho BM = MN = NC. Gọi D, E là trung điểm của AC, AB, P là
giao của AM và BD. Gọi Q là giao của AN và CE. Tính PQ theo BC
ĐỀ SỐ 11
Câu 1:
Cho x =
;y=
;z=
CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A =
Câu 3:
a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1.
CMR: b+c
16abc
b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau:
2a(1-b) > 1
8c(1-d) > 1
Bài tập tự Luyện
3b(1-c) > 2
32d(1-a) > 3
2
Câu 4: Giải BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m – 1
Câu 5:
a, Tìm nghiệm nguyên tố của PT: x2 + y2 + z2 = xyz
b, Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương.
Câu 6: Tìm số có 2 chữ số mà số ấy là bội số của tích hai chữ số của nó.
Câu 7:
Cho hình thang ABCD (BC// AD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD; Gọi E, F là
trung điểm của AD, BC.
CMR: E, O, F thẳng hàng.
ĐỀ SỐ 12
Câu 1:
Tìm đa thức f(x) biết:
f(x) chia cho x+3 dư 1
f(x) chia cho x-4 dư 8
f(x) chia cho (x+3)(x-4) thương là 3x và dư
Câu 2:
A = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000
a, Phân tích thành nhân tử:
b, Cho:
Câu 4: CMR:
Câu 5:
. CMR:
+
+.....+
<
Với n N và n 1
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: M =
(x≠0; y≠0)
Câu 6:
a, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x2 + 4x = 19 – 3y2
b, CMR phương trình sau không có nghiệm nguyên: x2 + y2 + z2 = 1999
Câu 7:
Cho hình vuông ABCD. Trên BD lấy M, từ M kẻ các đường vuông góc AB, AD tại E, F.
a, CMR: CF = DE; CF
DE
b, CMR: CM = EF; CM
EF
c, CMR: CM, BF, DE đồng qui
ĐỀ SỐ 13
Câu 1: a, Rút gọn: A = (1-
)(1-
).....(1-
b, Cho a, b > 0 và 9b(b-a) = 4a2. Tính :
Câu 2: a, Cho a, b, c > o. CMR:
+
)
M=
+
Bài tập tự Luyện
b, Cho ab
1. CMR:
+
Câu 3: Tìm x, y, z biết: x+2y+3z = 56 và
=
=
Câu 4: a, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M =
; b, Tìm giá trị nhỏ nhất A =
Câu 5: Giải BPT: mx2 – 4 > 4x + m2 – 4m
Câu 6: a, Tìm số nguyên dương x thoả mãn:
b, Tìm nghiệm nguyên của PT:
Câu 7:
x(x+1) = k(k+2) (k là số nguyên dương cho trước).
2x-5y-6z =4.
Cho hình vuông ABCD, Về phía ngoài hình vuông trên cạnh BC vẽ
hình vuông trên cạnh AB vẽ
đều.
đều, về phía trong
CMR: D, E, F thẳng hàng.
ĐỀ SỐ 14
Câu 1:
Cho A = (
a, Tìm ĐKXĐ của A
b, Tìm x, y để A > 1 và y < 0.
Câu 2:
a, Giải PT: x4 + 2x3 – 2x2 + 2x - 3 = 0
b, Giải BPT: 3 – mx < 2(x-m) – (m+1)2
Câu 3:
Cho a, b, c > 0. CMR:
Câu 4:
CM: A = n6 – n4 +2n3 +2n2 không là số chính phương với n N và n >1
Câu 5:
Cho f(x) = x2 + nx + b thoả mãn
.
Câu 6: Cho x, y > 0 thoả mãn xy= 1. Tìm giá trị lớn nhất :
Câu 7:
Xác định f(x)
A=
Cho hình thang ABCD (AD//BC). M, N là trung điểm của AD, BC. Từ O trên MN kẻ
đưởng thẳng song song với AD cắt AB, CD tại E và F.
CMR: OE = OF
ĐỀ SỐ 15
Câu 1: Cho xyz = 1 và x+y+z =
Câu 2: Cho a ≠ 0 ;
= 0.
1 và
Câu 3: Tìm m để phương trình có nghiệm âm :
Tính giá trị M =
Tìm a nếu x1997 = 3
Bài tập tự Luyện
Câu 4:
Với n N và n >1. CMR:
Câu 5: Cho M = 3x2 - 2x + 3y2 – 2y + 6x +1 Tìm giá trị M biết: xy = 1 và
đạt giá trị
nhỏ nhất.
Câu 6: Tìm x, y N biết: 2x + 1 = y2
Câu 7:
Cho
(AB < AC). AD, AM là đường phân giác, đường trung tuyến của
Đường thẳng qua D và vuông góc với AD cắt AC tại E.
So sánh S
và S
ĐỀ SỐ 16
Câu 1: Cho (a2 + b2 + c2)( x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 . CMR:
với
abc ≠ 0
Câu 2: Cho abc ≠ 0 và
CMR:
Câu 3:
Cho a, b, c là 3 số dương và nhỏ hơn 1CMR: Trong 3 số: (1-a)b; (1-b)c; và (1-c)a không đồng
thời lớn hơn
Câu 4: Cho x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4xy + 4 = 0 và xy > 0. Tìm giá trị lớn nhất A =
Câu 5:
a, CMR PT: 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 không có nghiệm nguyên.
b, Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Câu 6:
Cho n N và n >1 CMR: 1 +
Câu 7:
Cho
về phía ngoài
CMR: Trung tuyến AI của
Câu 8: CMR:
vẽ tam giác vuông cân ABE và CAF tại đỉnh A.
vuông góc với EF và AI =
là phân số tối giản (với n N).
ĐỀ SỐ 17
Câu 1:Phân tích ra thừa số:
EF
.
Bài tập tự Luyện
a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15
b, x3 + 6x2 + 11x + 6
Câu 2:
Cho x > 0 và x2 +
Tính giá trị của M = x5 +
= 7.
Câu 3: Cho x, y thoả mãn 5x2 + 8xy + 5y2 = 72 Tím giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = x2 + y2
Câu 4:
a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c
1 CMR:
b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1. CMR: 0
a, b, c
Câu 5:
S = 1+2x+3x2+4x3+.....+ nxn-1 (x≠1)
Tính tổng
Câu 6: Tìm nghiệm nguyên của PT:
Câu 7:
Cho
=3
biết đường cao AH và trung tuyến AM chia góc
thành 3 phần bằng nhau.
Xác định các góc của
ĐỀ SỐ 18
Câu 1:
Rút gọn: M =
Câu 2:
Cho: x =
Tính giá trị P = (x+y+xy+1)3
Câu 3: Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau:
2a(1-b) > 1
8c(1-d) > 1
3b(1-c) > 2
32d(1-a) > 3
Câu 4:
Cho P = 5x+y+1; Q = 3x-y+4
CMR: Nếu x = m; y = n Với m, n
Câu 5:
N thì P.Q là số chẵn.
a, CMR PT: 2x2 – 4y2 = 10 không có nghiệm nguyên.
b, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n > 1 sao cho: A = 12 + 22 +....+n2 là một số chính phương.
Câu 6:
Cho
vuông cân ở A, qua A vẽ đường thẳng d sao cho B, C thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ
là d, vẽ BH, CK cùng vuông góc với d (H, K là chân đường vuông góc).
a, CMR: AH = CK
b, Gọi M là trung điểm BC. Xác định dạng
ĐỀ SỐ 19
Câu 1:
2
2
Cho a, b, c ≠ 0; a + 2bc ≠ 0; b + 2ca ≠ 0; c2 + 2ab ≠ 0 và a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2
Bài tập tự Luyện
CMR: S =
M=
Câu 2:
Câu 3:
a, Cho a, b, c > 0
CMR:
b, Cho 0
1. CMR: a+b+c+
a, b, c
+ abc
a, Tìm giá trị nhỏ nhất: A =
b, Tìm giá trị lớn nhất: M =
Câu 4: a,Tìm nghiệm
b, Tìm nghiệm
Câu 5: Cho
(x,y > 0)
Z+ của:
Z của: x4 + x2 + 4 = y2 – y
, đặt trên các đoạn kéo dài của AB, AC các đoạn BD = CE. Gọi M là trung điểm của
BC, N là trung điểm của DE. CMR: MN // đường phân giác trong của góc
Câu 6:
của
Tìm các số nguyên dương n và số nguyên tố P sao cho P =
ĐỀ SỐ 20
Câu 1: a, Cho a+b+c = 1; a2 + b2 + c2 = 1 và
; abc ≠ 0. CMR: xy + yz + xz = 0
b, Cho x, y, z > 0 và 2x2 + 3y2 – 2z2 = 0 , CMR: z là số lớn nhất.
Câu 2: a, Cho a, b, c ≠ 0. CMR:
b, Cho n N, n > 1. CMR:
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất với a, b, c > 0
a, P =
b, Q =
Câu 5: Tìm các số chính phương sao cho chia nó cho 39 được thương số nguyên tố và dư 1
Câu 6:
Cho tứ giác ABCD, đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Gọi F, G là trung điểm của AC,
BD.
a, CMR: S
=
b, Gọi M là giao điểm của AD, BC. Chứng minh FG đi qua trung điểm ME.
Bài tập tự Luyện
ĐỀ SỐ 21
Câu 1:
Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = abc
CMR: a(b2-1)( c2-1) + b(a2-1)( c2-1) + c(a2-1)( b2-1) = 4abc
Câu 2: Cho n là số nguyên tố
CMR: A = n4 – 14n3 +71n2 – 154n + 120 chia hết cho 24.
Câu 3:
Tìm nghiệm nguyên của PT: 4x2y = (x2+1)(x2+y2)
Câu 4: Tìm a, b để M = x4 - 6x3 +ax2 +bx + 1 là bình phương của một đa thức khác.
Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của PT: P = x2+y2 và biết x2+y2+xy = 4
Câu 6: Tìm các số a, b, c thoả mãn đồng thời các BĐT:
;
;
Câu 7: Cho hình thang ABCD (AD//BC), AD > BC. Các đường chéo AC và BD vuông góc
với nhau tại I. Trên AD lấy điểm M sao cho AM có độ dài bằng độ dài trung bình của hình
thang ABCD.
CMR:
cân tại M
ĐỀ SỐ 22
Câu 1: Cho x3 + x = 1. Tính A =
Câu 2: Giải BPT:
Câu 3:
Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn:
x=1y=1z=1Tìm số lớn nhất trong ba số x, y, z.
Câu 4: Cho x, y thoả mãn: x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
M = x3+y3+xy
Câu 5: CMR:
Câu 6: Tìm nghiệm nguyên dương của PT sau:
x+y+z+t = xyzt
Câu 7: Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M nằm trong hình vuông sao cho:
=
= 150 .
CMR:
đều
ĐỀ SỐ 23
Câu 1: a, Cho a2 + b2 + c2 =
.
CMR: a = b = c
Bài tập tự Luyện
b, Cho (a2 + b2)( x2 + y2) = (ax+by)2. CMR:
với x, y ≠ 0
c, Rút gọn: A = (x2-x+1)(x4-x2+1)(x8-x4+1)(x16-x8+1)(x32-x16+1)
Câu 2: a, Tìm số nguyên dương n để n5+1 chia hết cho n3+1
b, Tìm các số a, b, c sao cho: ax3+bx2+c chia hết cho x+2 và chia cho x2-1 thi dư x+5.
c, Nếu n là tổng 2 số chính phương thì n2 cũng là tổng 2 số chính phương.
Câu 3: a, Cho A = 11.....1 (n chữ số 1), b = 100....05 (n-1 chữ số 0). CMR: ab + 1 là số chính phương.
b, Tìm nghiệm tự nhiên của PT: x+y+1 = xyz
Câu 4: a, Cho x, y
N Tìm giá trị lớn nhất của A =
b, Cho x, y, z > 0 x+y+z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất B =
Câu 5: a, MCR:
b, MCR:
Câu 6: Cho
vuông tại A, cạnh huyền BC = 2AB, D là điểm trên AC sao cho góc
E là điểm trên AB sao cho góc
=
=
,
. F là giao điểm của BD và CE, K và H là điểm đối xứng
của F qua BC, CA. CMR: H, D, K thẳng hàng.
ĐỀ SỐ 24
Câu 1: Cho
M=
Tính giá trị M biết:
Câu 2: a, Cho a+b = ab. Tính
x2+9y2-4xy = 2xy-
(a3+b3-a3b3)3 + 27a6b6.
b, Cho a, b thoả mãn:
Tìm các giá trị có thể của
N=
Câu 3: a, Tìm số tự nhiên n để n4+4 là số nguyên tố.
b, Tìm số nguyên tố p sao cho 2p+1 là lập phương của số tự nhiên.
Câu 4:
a, Cho
. CMR:
b, Chứng tỏ có ít nhất một bất đẳng thức sau là sai: a(a+b) < 0; 2a > b2+1
c, Chứng tỏ có ít nhất 1 BĐT sau là đúng
a3b5(c-a)7(c-b)9
0; bc5(c-b)9(a-c)13
4
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất: A = (x+5) + (x+1)
Câu 6: Cho
0; c9a7(b-c)5(b-a)3
0
4
có 3 góc nhọn, đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D,E,F là trung điểm của BC,
CA, AB, Gọi P, Q, R là trung điểm của IA, IB, IC.
a, CM: PQRE, PEDQ là hình chữ nhật.
Bài tập tự Luyện
b, CM: PD, QE, RF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng.
c, CM: H,K,L,D,E,F,P,Q,R cùng cách đều một điểm.
ĐỀ SỐ 25
Câu 1: Cho A = 4x2+8x+3; B = 6x2+3x
a, Biến đổi S thành tích biết S = A + B
b, Tìm giá trị của x để A và B lấy giá trị là số đối nhau.
Câu 2:
Cho 3 số x, y, z thoả mãn đồng thời
2
x +2y = -1
y2+2z = -1
z2+2x = -1
Tính giá trị của A = x2001 + y2002 + z2003
Câu 3:
CMR PT: 2x2-4y2 = 10 không có nghiệm nguyên.
Câu 4: Cho 2 đường thẳng ox và oy vuông góc với nhau và cắt nhau tại O, Trên ox lấy về hai phía của O
hai đoạn thẳng OA = 4cm; OB = 2cm. Gọi M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn AB. MA,
MB cắt nhau với oy ở C và D. Gọi E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BD.
a, CMR: MF + ME =
(AC+BD)
b, Đường thẳng CF cắt ox tại P. Chứng minh P là một điểm cố định khi M di chuyển trên đường
trung trực của AB.
Câu 5:
Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số, Mẫu số là tổng các chữ số của tử số.
ĐỀ SỐ 26
Câu 1: Cho x, y > 0 sao cho: 9y(y-x) = 4x2 . Tính:
Câu 2:
Cho a, b, c thoả mãn:
abc = 1 và
CMR: Có ít nhất 1 phân số là bình phương của một trong 2 số còn lại.
Câu 3: Tìm các nghiệm nguyên thoả mãn 2 BPT: 16 + 5x > 3+ 11 và
Câu 4: Cho A =
a, A thay đổi như thế nào nếu ta hoán vị 2 trong 3 số a, b, c.
b, Tìm A nếu x=a.
c, Tìm A nếu b =
Bài tập tự Luyện
d, Nếu a-b = b-c > 0. Tìm x nếu phân thức thứ nhất bằng phân thức thứ 3. Tìm giá trị của phân thức
thứ nhất và phân thức thứ 3.
Câu 5: Cho
> 0. CMR:
Câu 6: Cho hình chữ nhật ABCD, Lấy P thuộc BD, trên tia CP lấy M sao cho
PM = CP, Kẻ ME ^ AD; MF ^ AB
a, CMR: AM // BD; EF // AC
b, CMR: E,F,P thẳng hàng.
Câu 7:
Cho hình vuông ABCD có cạnh là 1, trên AB, AD lấy M,N sao cho
= 450. Tính chu vi
ĐỀ SỐ 27
Câu 1: Cho M = x3+x2-9x-9; N = (x-2)2 – (x-4)2
a, Rút gọn A =
b, CMR: Nếu x chẵn
A tối giản.
Câu 2: Tìm số có 4 chữ số
Câu 3: CMR:
Câu 4:
thỏa mãn: 665(abcd +ab +ad +cd +1) = 738(bcd +b+ d)
(x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10
1
Cho số chính phương M gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi số của M một đơn vị thì được một
số N là số chính phương. Tìm hai số M, N.
Câu 5:
So sánh A, B biết: A = 20+21+....+2100+9010 ; B = 2101+1020
Câu 6: Cho
, đường cao AF, BK, CL cắt nhau tại H. Từ A kẻ Ax
AB, từ C kẻ Cy
giao của Ax và Cy. Lấy O, D, E là trung điểm của BP, BC, CA.
a, CMR:
đồng dạng với
b, Gọi G là trọng tâm của
CMR: O, G, H thẳng hàng.
ĐỀ SỐ 28
Câu 1:
Rút gọn: A =
Câu 2: a, CMR: M =
, với x+y+z = 0
không tối giản
b, CMR: Nếu các chữ số a, b, c
Câu 3:
0 thoả mãn:
:
= a:c Thì:
:
= a:c
a, Rút gọn: P =
b, Cho Q =
Câu 4: a, Cho a, b, c
(mẫu có 99 chữ số 0). Tìm giá trị của Q với 200 chữ số thập phân.
0. CMR: a4+b4+c4
abc(a+b+c).
b, CMR: Nếu a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác thì: a2+b2+c2 < 2(ab+ac+bc).
BC. Gọi P là
Bài tập tự Luyện
Câu 5: Cho x, y thoả mãn: x2+y2 = 4+xy. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A = x2+y2
Câu 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh là 1. Trên AB, AD lấy P, Q sao cho
cân có chu vi là 2.
a, CMR: PQ + QD = PQ
b, CMR:
= 450
ĐỀ SỐ 29
Câu 1:Cho A =
CMR: Nếu a+b+c = 0 thì:
a, ABC = 1
b, A + B + C = 3
Câu 2: Cho n N, n > 0 CMR:
Câu 3:
Cho a, b, c, d là các số nguyên dương.
a, CMR: A =
không là số nguyên.
b, Tìm 5 số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phương của số này bằng tổng các lập phương của 4 số còn
lại.
Câu 4: Cho x, y, z thoả mãn. xyz = 1;
Câu 5: Cho
CMR: Có 1 trong 3 số x, y, z là lớn hơn 1.
, đường thẳng d cắt AB, AC, trung tuyến AM tại E, F, N.
a, CMR:
b, Giả sử d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy K, KN cắt AB tại P, KM cắt AC tại Q. CMR: PQ // BC
Câu 6:
Cho hình thang có độ dài hai đường chéo là 3,5. Độ dài đoạn thẳng nối trung điểm 2 đáy là 2.
Tìm diện tích hình thang?
ĐỀ SỐ 30
Câu 1:
CMR:
thì
Câu 2:
Cho: (x-y)2+(y-z)2+(z-x)2 = (x+y-2z)2+(y+z-2z)2+(x+z-2y)2 CMR: x = y = z.
Câu 3:
a, Phân tích thành nhân tử: A = x3(x2-7)2-36x.
b, CMR: A 210 với mọi x
Câu 4:
Cho:
Câu 5:
Cho
N
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
P = a+b+c-ab-bc-ca
vuông tại B, trên tia đối tia BA lấy D sao cho: AD = 3AB. Đường thẳng vuông góc
với CD tại D cắt đường thẳng vuông góc với AC tại E.
CMR:
cân
Bài tập tự Luyện
ĐỀ SỐ 31
Câu 1:
Cho a+b+c = 0
CMR:
Câu 2: Tìm x, y, z biết:
Câu 3:
xy+3y+2z -4
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR:
Câu 4: a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 27 Tìm a, b, c sao cho: ab+bc+ca đạt giá trị lớn nhất.
b, Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phương của 1 số bằng tổng các lập phương của 3 số còn lại.
Tìm nghiệm nguyên dương của PT: x2 + (x+y)2 = (x+9)2
Câu 5:
Câu 6: Cho lục giác lồi ABCDEF, các đường thẳng AB, EF cắt nhau tại P, EF và CD cắt nhau tại Q, CD
và AB cắt nhau tại R. Các đường thẳng BC và DE; DE và FA; FA và BC cắt nhau tại S,T,U.
CMR: Nếu
thì
ĐỀ SỐ 32
Câu 1: a, CMR: 62k-1+1 chia hết cho 7 với
b, CMR: Số a = 11.....1 + 44.....4 + 1 là bình phương của một số tự nhiên.
(Trong đó có 2k chữ số 1 và k chữ số 4).
Câu 2:
a, Tìm số dư của phép chia: x2002+x+1 chia cho x2-1
b, Tìm số nguyên dương x, y sao cho : 3(x3-y3) = 2001.
Câu 3:
a, Cho a, b, c > o. CMR:
b, Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: y = x3-6x2+21x+18 Với
Câu 4:
Cho
(AB = AC). Biết
= 200, và AB = AC = b; BC = a
CMR:a3 + b3 = 3ab2
ĐỀ SỐ 33
Câu 1:
Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và ab+bc+ca = 0
Tìm giá trị của: M = (a-1)1999+ b2000 + (c+1)2001
Câu 2: Cho x, y, z là các số nguyên khác 0. CMR:
Nếu : x2 – yz = a
y2 – zx = b
z2 – xy = c
Thì ax+by+cz chia hết cho a+b+c
Câu 3:
.
111EQUATION CHAPTER 1 SECTION 1ĐỀ SỐ 1
Câu 1:
Cho x =
;y=
Câu 2: Giải phương trình:
b,
a,
+
. Tính giá trị P = x + y + xy
=
+ +
+
(x là ẩn số);
= 0; (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Câu 3: Xác định các số a, b biết:
=
+
Câu 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên.
Câu 5: Cho
ABC; AB = 3AC. Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
ĐỀ SỐ 2
Câu 1: Cho a,b,c thoả mãn:
=
=
.Tính giá trị M = (1 + )(1 + )(1 +
)
Câu 2: Xác định a, b để đa thức f(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +2 Chia hết cho y(x) = x2 – x + b
Câu 3: Giải các PT: a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680. b, 4x2 + 4y – 4xy +5y2 + 1 = 0
Câu 4:
Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số mà mẫu là tổng các chữ số của
nó.
Câu 5: Cho
ABC cân tại A, trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho:AD = EC = DE = CB.
a, Nếu AB > 2BC. Tính góc
b, Nếu AB < BC. Tính góc
của
của
.
ĐỀ SỐ 3
Câu 1:Phân tích thành nhân tử: a, a3 + b3 + c3 – 3abc;
Câu 2: Cho A =
b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3
:
a, Rút gọn A
b, Tìm A khi x= c, Tìm x để 2A = 1
Câu 3:
a, Cho x+y+z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 + z2
b, Tìm giá trị lớn nhất của P =
Câu 4:
a, Cho a,b,c > 0, CMR:
Câu 5: Cho
1<
+
+
< 2; b, Cho x,y
đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a
a, Tính số đo các góc
0 CMR:
+
+
Bài tập tự Luyện
b, CMR: AM
AB
c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR
đều.
ĐỀ SỐ 4
Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, a8 + a4 +1;
b, a10 + a5 +1
Câu 2: a, Cho a+b+c = 0, Tính giá trị của biểu thức: A =
+
+
b, Cho biểu thức: M =
+ Rút gọn M
+ Tìm x
Z để M đạt giá trị nguyên.
Câu 3: a, Cho abc = 1 và a3 > 36, CMR:
+ b2 + c2 > ab + bc + ca; b, CMR: a2 + b2 +1
2
ab + a + b
2
Câu 4: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x + 2xy + y - 2x + 2y +1
b, Cho a+b+c= 1, Tìm giá trị nhỏ nhất P = a3 + b3 + c3 + a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b)
Câu 5: a, Tìm x,y,x
Z biết: x2 + 2y2 + z2 - 2xy – 2y + 2z +2 = 0
b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 6x + 15y + 10z = 3
Câu 6:
Cho
. H là trực tâm, đường thẳng vuông góc với AB tại B, với AC tại C cắt nhau tại D.
a, CMR: Tứ giác BDCH là hình bình hành.
b, Nhận xét mối quan hệ giữa góc
và
của tứ giác ABDC.
ĐỀ SỐ 5
Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 ; b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Câu 2: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14. Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c
D = x2009 + y2010 + z2011
0. Tính giá trị của
Biết x,y,z thoả mãn:
Câu 3: a, Cho a,b > 0, CMR:
=
+
+
+
; b, Cho a,b,c,d > 0. CMR:
+
+
+
0
Câu 4: a, Tìm giá trị lớn nhất: E =
b, Tìm giá trị lớn nhất: M =
với x,y > 0;
với x > 0
Câu 5: a, Tìm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y; b, Tìm nghiệm
Z của PT: x2 + x + 6 =
y2
Câu 6: Cho
M là một điểm
miền trong của
BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D.
. D, E, F là trung điểm AB, AC,
Bài tập tự Luyện
a, CMR: AB’A’B là hình bình hành.
b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’
ĐỀ SỐ 6
Câu 1: Cho
=
và
=
Tính giá trị của biểu thức A =
Câu 2: Cho x2 – x = 3, Tính giá trị của biểu thức M = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2
Câu 3:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x+1)(x+2)(x+3)
b, Cho x,y > 0 và x + y = 10, Tìm giá trị nhỏ nhất của N =
Câu 4:
a, Cho 0
a, b, c
1.
CMR: a2 + b2 + c2
+
1+ a2b + b2c + c2a
b, Cho 0
a,Tìm a để PT
<3
= 5 – a có nghiệm
Z+
b, Tìm nghiệm nguyên dương của PT:
+
+
=
Câu 6:
Cho hình vuông ABCD, trên CD lấy M, nối M với A. Kẻ phân giác góc
giác góc
cắt CD tại Q. CMR PQ
cắt BC tại P, kẻ phân
AM
ĐỀ SỐ 7
Câu 1: Cho a, b, c khác nhau thoả mãn:
+
+
=1
Thì hai phân thức có giá trị là 1 và 1 phân thức có giá trị là -1.
Câu 2:
Câu 3:
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1.
5
Tìm giá trị lớn nhất A =
3
Cho M = a – 5a +4a với a Z
a, Phân tích M thành nhân tử.
b, CMR: M 120
Câu 4:
Cho N 1, n
a Z
N a, CMR: 1+ 2+ 3+....+n =
b, CMR: 12 +22 + 32 +......+n2 =
Câu 5: Tìm nghiệm nguyên của PT: x2 = y(y+1)(y+2)(y+3)
;
+
+
Bài tập tự Luyện
Câu 6:
Giải BPT:
Câu 7: Cho 0
>
a, b, c
-1
2 và a+b+c = 3. CMR: a2 + b2 + c2
5
Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp 2 lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx tạo với CD
một góc 150 cắt AD tại E. CMR:
cân.
ĐỀ SỐ 8
Câu 1: Cho A =
a, Rút gọn A
b, Nếu n Z thì A là phân số tối giản.
Câu 2:
Cho x, y > 0 và x+y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
P = (1 -
)(1 -
)
Câu 3:
a2 + b2 + c2 < 2(ab+bc+ca)
a, Cho a, b ,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR:
b, Cho 0
a, b , c
Câu 4:
Tìm x, y, z biết:
Câu 5:
Cho n Z và n
Câu 6:
a + b2 +c3 – ab – bc – ca
1. CMR:
1
x+y–z = y+z-x = z+x-y = xyz
1. CMR: 13 + 23 +33 +......+n3 =
Giải bất phương trình: (x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5
Câu 7: Chia tập N thành các nhóm: 1; (2,3); (4,5,6)....., nhóm n gồm n số hạng. Tính tổng các số trong
nhóm 94.
Câu 8: Cho hình vuông ABCD. M, N là trung điểm AB, BC, K là giao điểm của CM và DN. CMR: AK =
BC
ĐỀ SỐ 9
Câu 1:
Cho M =
+
+
;N=
+
+
a, CMR: Nếu M = 1 thì N = 0
b, Nếu N = 0 thì có nhất thiết M = 1 không?
Câu 2:
Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 2.
Câu 3:
Cho x, y, z
CMR:
+
0 và x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998.
+
1
Tìm giá trị lớn nhất của M = x + y + z
Câu 4:
a, Tìm các số nguyên x để x2 – 2x -14 là số chính phương.
b, Tìm các số
Câu 5:
sao cho
là số nguyên tố
Cho a, b, c, d là các sô nguyên dương
CMR: A =
+
+
+
không phải là số nguyên.
Bài tập tự Luyện
Câu 6:Cho
cân (AB=AC) trên AB lấy điểm M, trên phần kéo dài của AC về phía C lấy điểm N sao
cho: BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP. CMR: BC
PC
Câu 7: Cho x, y thoả mãn: 2x2 +
Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất
+
= 4 (x 0).
ĐỀ SỐ 10
Câu 1:
Cho a, b, c > 0 và P =
Q=
+
+
a, CMR: P = Q ;
+
+
b, CMR: P
Câu 2:Cho a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 1. CMR:
abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca)
Câu 3:CMR
0
x, y Z thì: A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương.
Câu 4:
a, Tìm số tự nhiên m, n sao cho: m2 + n2 = m + n + 8
b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x2y = (x2+1)(x2+y2)
Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A =
Câu 6:
Cho x =
Câu 7:
Giải BPT:
Câu 8: Cho
;y=
Tính giá trị: M =
(x là ẩn số)
, trên BC lấy M, N sao cho BM = MN = NC. Gọi D, E là trung điểm của AC, AB, P là
giao của AM và BD. Gọi Q là giao của AN và CE. Tính PQ theo BC
ĐỀ SỐ 11
Câu 1:
Cho x =
;y=
;z=
CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A =
Câu 3:
a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1.
CMR: b+c
16abc
b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau:
2a(1-b) > 1
8c(1-d) > 1
Bài tập tự Luyện
3b(1-c) > 2
32d(1-a) > 3
2
Câu 4: Giải BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m – 1
Câu 5:
a, Tìm nghiệm nguyên tố của PT: x2 + y2 + z2 = xyz
b, Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương.
Câu 6: Tìm số có 2 chữ số mà số ấy là bội số của tích hai chữ số của nó.
Câu 7:
Cho hình thang ABCD (BC// AD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD; Gọi E, F là
trung điểm của AD, BC.
CMR: E, O, F thẳng hàng.
ĐỀ SỐ 12
Câu 1:
Tìm đa thức f(x) biết:
f(x) chia cho x+3 dư 1
f(x) chia cho x-4 dư 8
f(x) chia cho (x+3)(x-4) thương là 3x và dư
Câu 2:
A = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000
a, Phân tích thành nhân tử:
b, Cho:
Câu 4: CMR:
Câu 5:
. CMR:
+
+.....+
<
Với n N và n 1
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: M =
(x≠0; y≠0)
Câu 6:
a, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x2 + 4x = 19 – 3y2
b, CMR phương trình sau không có nghiệm nguyên: x2 + y2 + z2 = 1999
Câu 7:
Cho hình vuông ABCD. Trên BD lấy M, từ M kẻ các đường vuông góc AB, AD tại E, F.
a, CMR: CF = DE; CF
DE
b, CMR: CM = EF; CM
EF
c, CMR: CM, BF, DE đồng qui
ĐỀ SỐ 13
Câu 1: a, Rút gọn: A = (1-
)(1-
).....(1-
b, Cho a, b > 0 và 9b(b-a) = 4a2. Tính :
Câu 2: a, Cho a, b, c > o. CMR:
+
)
M=
+
Bài tập tự Luyện
b, Cho ab
1. CMR:
+
Câu 3: Tìm x, y, z biết: x+2y+3z = 56 và
=
=
Câu 4: a, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M =
; b, Tìm giá trị nhỏ nhất A =
Câu 5: Giải BPT: mx2 – 4 > 4x + m2 – 4m
Câu 6: a, Tìm số nguyên dương x thoả mãn:
b, Tìm nghiệm nguyên của PT:
Câu 7:
x(x+1) = k(k+2) (k là số nguyên dương cho trước).
2x-5y-6z =4.
Cho hình vuông ABCD, Về phía ngoài hình vuông trên cạnh BC vẽ
hình vuông trên cạnh AB vẽ
đều.
đều, về phía trong
CMR: D, E, F thẳng hàng.
ĐỀ SỐ 14
Câu 1:
Cho A = (
a, Tìm ĐKXĐ của A
b, Tìm x, y để A > 1 và y < 0.
Câu 2:
a, Giải PT: x4 + 2x3 – 2x2 + 2x - 3 = 0
b, Giải BPT: 3 – mx < 2(x-m) – (m+1)2
Câu 3:
Cho a, b, c > 0. CMR:
Câu 4:
CM: A = n6 – n4 +2n3 +2n2 không là số chính phương với n N và n >1
Câu 5:
Cho f(x) = x2 + nx + b thoả mãn
.
Câu 6: Cho x, y > 0 thoả mãn xy= 1. Tìm giá trị lớn nhất :
Câu 7:
Xác định f(x)
A=
Cho hình thang ABCD (AD//BC). M, N là trung điểm của AD, BC. Từ O trên MN kẻ
đưởng thẳng song song với AD cắt AB, CD tại E và F.
CMR: OE = OF
ĐỀ SỐ 15
Câu 1: Cho xyz = 1 và x+y+z =
Câu 2: Cho a ≠ 0 ;
= 0.
1 và
Câu 3: Tìm m để phương trình có nghiệm âm :
Tính giá trị M =
Tìm a nếu x1997 = 3
Bài tập tự Luyện
Câu 4:
Với n N và n >1. CMR:
Câu 5: Cho M = 3x2 - 2x + 3y2 – 2y + 6x +1 Tìm giá trị M biết: xy = 1 và
đạt giá trị
nhỏ nhất.
Câu 6: Tìm x, y N biết: 2x + 1 = y2
Câu 7:
Cho
(AB < AC). AD, AM là đường phân giác, đường trung tuyến của
Đường thẳng qua D và vuông góc với AD cắt AC tại E.
So sánh S
và S
ĐỀ SỐ 16
Câu 1: Cho (a2 + b2 + c2)( x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 . CMR:
với
abc ≠ 0
Câu 2: Cho abc ≠ 0 và
CMR:
Câu 3:
Cho a, b, c là 3 số dương và nhỏ hơn 1CMR: Trong 3 số: (1-a)b; (1-b)c; và (1-c)a không đồng
thời lớn hơn
Câu 4: Cho x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4xy + 4 = 0 và xy > 0. Tìm giá trị lớn nhất A =
Câu 5:
a, CMR PT: 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 không có nghiệm nguyên.
b, Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Câu 6:
Cho n N và n >1 CMR: 1 +
Câu 7:
Cho
về phía ngoài
CMR: Trung tuyến AI của
Câu 8: CMR:
vẽ tam giác vuông cân ABE và CAF tại đỉnh A.
vuông góc với EF và AI =
là phân số tối giản (với n N).
ĐỀ SỐ 17
Câu 1:Phân tích ra thừa số:
EF
.
Bài tập tự Luyện
a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15
b, x3 + 6x2 + 11x + 6
Câu 2:
Cho x > 0 và x2 +
Tính giá trị của M = x5 +
= 7.
Câu 3: Cho x, y thoả mãn 5x2 + 8xy + 5y2 = 72 Tím giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = x2 + y2
Câu 4:
a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c
1 CMR:
b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1. CMR: 0
a, b, c
Câu 5:
S = 1+2x+3x2+4x3+.....+ nxn-1 (x≠1)
Tính tổng
Câu 6: Tìm nghiệm nguyên của PT:
Câu 7:
Cho
=3
biết đường cao AH và trung tuyến AM chia góc
thành 3 phần bằng nhau.
Xác định các góc của
ĐỀ SỐ 18
Câu 1:
Rút gọn: M =
Câu 2:
Cho: x =
Tính giá trị P = (x+y+xy+1)3
Câu 3: Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau:
2a(1-b) > 1
8c(1-d) > 1
3b(1-c) > 2
32d(1-a) > 3
Câu 4:
Cho P = 5x+y+1; Q = 3x-y+4
CMR: Nếu x = m; y = n Với m, n
Câu 5:
N thì P.Q là số chẵn.
a, CMR PT: 2x2 – 4y2 = 10 không có nghiệm nguyên.
b, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n > 1 sao cho: A = 12 + 22 +....+n2 là một số chính phương.
Câu 6:
Cho
vuông cân ở A, qua A vẽ đường thẳng d sao cho B, C thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ
là d, vẽ BH, CK cùng vuông góc với d (H, K là chân đường vuông góc).
a, CMR: AH = CK
b, Gọi M là trung điểm BC. Xác định dạng
ĐỀ SỐ 19
Câu 1:
2
2
Cho a, b, c ≠ 0; a + 2bc ≠ 0; b + 2ca ≠ 0; c2 + 2ab ≠ 0 và a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2
Bài tập tự Luyện
CMR: S =
M=
Câu 2:
Câu 3:
a, Cho a, b, c > 0
CMR:
b, Cho 0
1. CMR: a+b+c+
a, b, c
+ abc
a, Tìm giá trị nhỏ nhất: A =
b, Tìm giá trị lớn nhất: M =
Câu 4: a,Tìm nghiệm
b, Tìm nghiệm
Câu 5: Cho
(x,y > 0)
Z+ của:
Z của: x4 + x2 + 4 = y2 – y
, đặt trên các đoạn kéo dài của AB, AC các đoạn BD = CE. Gọi M là trung điểm của
BC, N là trung điểm của DE. CMR: MN // đường phân giác trong của góc
Câu 6:
của
Tìm các số nguyên dương n và số nguyên tố P sao cho P =
ĐỀ SỐ 20
Câu 1: a, Cho a+b+c = 1; a2 + b2 + c2 = 1 và
; abc ≠ 0. CMR: xy + yz + xz = 0
b, Cho x, y, z > 0 và 2x2 + 3y2 – 2z2 = 0 , CMR: z là số lớn nhất.
Câu 2: a, Cho a, b, c ≠ 0. CMR:
b, Cho n N, n > 1. CMR:
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất với a, b, c > 0
a, P =
b, Q =
Câu 5: Tìm các số chính phương sao cho chia nó cho 39 được thương số nguyên tố và dư 1
Câu 6:
Cho tứ giác ABCD, đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Gọi F, G là trung điểm của AC,
BD.
a, CMR: S
=
b, Gọi M là giao điểm của AD, BC. Chứng minh FG đi qua trung điểm ME.
Bài tập tự Luyện
ĐỀ SỐ 21
Câu 1:
Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = abc
CMR: a(b2-1)( c2-1) + b(a2-1)( c2-1) + c(a2-1)( b2-1) = 4abc
Câu 2: Cho n là số nguyên tố
CMR: A = n4 – 14n3 +71n2 – 154n + 120 chia hết cho 24.
Câu 3:
Tìm nghiệm nguyên của PT: 4x2y = (x2+1)(x2+y2)
Câu 4: Tìm a, b để M = x4 - 6x3 +ax2 +bx + 1 là bình phương của một đa thức khác.
Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của PT: P = x2+y2 và biết x2+y2+xy = 4
Câu 6: Tìm các số a, b, c thoả mãn đồng thời các BĐT:
;
;
Câu 7: Cho hình thang ABCD (AD//BC), AD > BC. Các đường chéo AC và BD vuông góc
với nhau tại I. Trên AD lấy điểm M sao cho AM có độ dài bằng độ dài trung bình của hình
thang ABCD.
CMR:
cân tại M
ĐỀ SỐ 22
Câu 1: Cho x3 + x = 1. Tính A =
Câu 2: Giải BPT:
Câu 3:
Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn:
x=1y=1z=1Tìm số lớn nhất trong ba số x, y, z.
Câu 4: Cho x, y thoả mãn: x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
M = x3+y3+xy
Câu 5: CMR:
Câu 6: Tìm nghiệm nguyên dương của PT sau:
x+y+z+t = xyzt
Câu 7: Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M nằm trong hình vuông sao cho:
=
= 150 .
CMR:
đều
ĐỀ SỐ 23
Câu 1: a, Cho a2 + b2 + c2 =
.
CMR: a = b = c
Bài tập tự Luyện
b, Cho (a2 + b2)( x2 + y2) = (ax+by)2. CMR:
với x, y ≠ 0
c, Rút gọn: A = (x2-x+1)(x4-x2+1)(x8-x4+1)(x16-x8+1)(x32-x16+1)
Câu 2: a, Tìm số nguyên dương n để n5+1 chia hết cho n3+1
b, Tìm các số a, b, c sao cho: ax3+bx2+c chia hết cho x+2 và chia cho x2-1 thi dư x+5.
c, Nếu n là tổng 2 số chính phương thì n2 cũng là tổng 2 số chính phương.
Câu 3: a, Cho A = 11.....1 (n chữ số 1), b = 100....05 (n-1 chữ số 0). CMR: ab + 1 là số chính phương.
b, Tìm nghiệm tự nhiên của PT: x+y+1 = xyz
Câu 4: a, Cho x, y
N Tìm giá trị lớn nhất của A =
b, Cho x, y, z > 0 x+y+z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất B =
Câu 5: a, MCR:
b, MCR:
Câu 6: Cho
vuông tại A, cạnh huyền BC = 2AB, D là điểm trên AC sao cho góc
E là điểm trên AB sao cho góc
=
=
,
. F là giao điểm của BD và CE, K và H là điểm đối xứng
của F qua BC, CA. CMR: H, D, K thẳng hàng.
ĐỀ SỐ 24
Câu 1: Cho
M=
Tính giá trị M biết:
Câu 2: a, Cho a+b = ab. Tính
x2+9y2-4xy = 2xy-
(a3+b3-a3b3)3 + 27a6b6.
b, Cho a, b thoả mãn:
Tìm các giá trị có thể của
N=
Câu 3: a, Tìm số tự nhiên n để n4+4 là số nguyên tố.
b, Tìm số nguyên tố p sao cho 2p+1 là lập phương của số tự nhiên.
Câu 4:
a, Cho
. CMR:
b, Chứng tỏ có ít nhất một bất đẳng thức sau là sai: a(a+b) < 0; 2a > b2+1
c, Chứng tỏ có ít nhất 1 BĐT sau là đúng
a3b5(c-a)7(c-b)9
0; bc5(c-b)9(a-c)13
4
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất: A = (x+5) + (x+1)
Câu 6: Cho
0; c9a7(b-c)5(b-a)3
0
4
có 3 góc nhọn, đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D,E,F là trung điểm của BC,
CA, AB, Gọi P, Q, R là trung điểm của IA, IB, IC.
a, CM: PQRE, PEDQ là hình chữ nhật.
Bài tập tự Luyện
b, CM: PD, QE, RF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng.
c, CM: H,K,L,D,E,F,P,Q,R cùng cách đều một điểm.
ĐỀ SỐ 25
Câu 1: Cho A = 4x2+8x+3; B = 6x2+3x
a, Biến đổi S thành tích biết S = A + B
b, Tìm giá trị của x để A và B lấy giá trị là số đối nhau.
Câu 2:
Cho 3 số x, y, z thoả mãn đồng thời
2
x +2y = -1
y2+2z = -1
z2+2x = -1
Tính giá trị của A = x2001 + y2002 + z2003
Câu 3:
CMR PT: 2x2-4y2 = 10 không có nghiệm nguyên.
Câu 4: Cho 2 đường thẳng ox và oy vuông góc với nhau và cắt nhau tại O, Trên ox lấy về hai phía của O
hai đoạn thẳng OA = 4cm; OB = 2cm. Gọi M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn AB. MA,
MB cắt nhau với oy ở C và D. Gọi E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BD.
a, CMR: MF + ME =
(AC+BD)
b, Đường thẳng CF cắt ox tại P. Chứng minh P là một điểm cố định khi M di chuyển trên đường
trung trực của AB.
Câu 5:
Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số, Mẫu số là tổng các chữ số của tử số.
ĐỀ SỐ 26
Câu 1: Cho x, y > 0 sao cho: 9y(y-x) = 4x2 . Tính:
Câu 2:
Cho a, b, c thoả mãn:
abc = 1 và
CMR: Có ít nhất 1 phân số là bình phương của một trong 2 số còn lại.
Câu 3: Tìm các nghiệm nguyên thoả mãn 2 BPT: 16 + 5x > 3+ 11 và
Câu 4: Cho A =
a, A thay đổi như thế nào nếu ta hoán vị 2 trong 3 số a, b, c.
b, Tìm A nếu x=a.
c, Tìm A nếu b =
Bài tập tự Luyện
d, Nếu a-b = b-c > 0. Tìm x nếu phân thức thứ nhất bằng phân thức thứ 3. Tìm giá trị của phân thức
thứ nhất và phân thức thứ 3.
Câu 5: Cho
> 0. CMR:
Câu 6: Cho hình chữ nhật ABCD, Lấy P thuộc BD, trên tia CP lấy M sao cho
PM = CP, Kẻ ME ^ AD; MF ^ AB
a, CMR: AM // BD; EF // AC
b, CMR: E,F,P thẳng hàng.
Câu 7:
Cho hình vuông ABCD có cạnh là 1, trên AB, AD lấy M,N sao cho
= 450. Tính chu vi
ĐỀ SỐ 27
Câu 1: Cho M = x3+x2-9x-9; N = (x-2)2 – (x-4)2
a, Rút gọn A =
b, CMR: Nếu x chẵn
A tối giản.
Câu 2: Tìm số có 4 chữ số
Câu 3: CMR:
Câu 4:
thỏa mãn: 665(abcd +ab +ad +cd +1) = 738(bcd +b+ d)
(x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10
1
Cho số chính phương M gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi số của M một đơn vị thì được một
số N là số chính phương. Tìm hai số M, N.
Câu 5:
So sánh A, B biết: A = 20+21+....+2100+9010 ; B = 2101+1020
Câu 6: Cho
, đường cao AF, BK, CL cắt nhau tại H. Từ A kẻ Ax
AB, từ C kẻ Cy
giao của Ax và Cy. Lấy O, D, E là trung điểm của BP, BC, CA.
a, CMR:
đồng dạng với
b, Gọi G là trọng tâm của
CMR: O, G, H thẳng hàng.
ĐỀ SỐ 28
Câu 1:
Rút gọn: A =
Câu 2: a, CMR: M =
, với x+y+z = 0
không tối giản
b, CMR: Nếu các chữ số a, b, c
Câu 3:
0 thoả mãn:
:
= a:c Thì:
:
= a:c
a, Rút gọn: P =
b, Cho Q =
Câu 4: a, Cho a, b, c
(mẫu có 99 chữ số 0). Tìm giá trị của Q với 200 chữ số thập phân.
0. CMR: a4+b4+c4
abc(a+b+c).
b, CMR: Nếu a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác thì: a2+b2+c2 < 2(ab+ac+bc).
BC. Gọi P là
Bài tập tự Luyện
Câu 5: Cho x, y thoả mãn: x2+y2 = 4+xy. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A = x2+y2
Câu 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh là 1. Trên AB, AD lấy P, Q sao cho
cân có chu vi là 2.
a, CMR: PQ + QD = PQ
b, CMR:
= 450
ĐỀ SỐ 29
Câu 1:Cho A =
CMR: Nếu a+b+c = 0 thì:
a, ABC = 1
b, A + B + C = 3
Câu 2: Cho n N, n > 0 CMR:
Câu 3:
Cho a, b, c, d là các số nguyên dương.
a, CMR: A =
không là số nguyên.
b, Tìm 5 số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phương của số này bằng tổng các lập phương của 4 số còn
lại.
Câu 4: Cho x, y, z thoả mãn. xyz = 1;
Câu 5: Cho
CMR: Có 1 trong 3 số x, y, z là lớn hơn 1.
, đường thẳng d cắt AB, AC, trung tuyến AM tại E, F, N.
a, CMR:
b, Giả sử d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy K, KN cắt AB tại P, KM cắt AC tại Q. CMR: PQ // BC
Câu 6:
Cho hình thang có độ dài hai đường chéo là 3,5. Độ dài đoạn thẳng nối trung điểm 2 đáy là 2.
Tìm diện tích hình thang?
ĐỀ SỐ 30
Câu 1:
CMR:
thì
Câu 2:
Cho: (x-y)2+(y-z)2+(z-x)2 = (x+y-2z)2+(y+z-2z)2+(x+z-2y)2 CMR: x = y = z.
Câu 3:
a, Phân tích thành nhân tử: A = x3(x2-7)2-36x.
b, CMR: A 210 với mọi x
Câu 4:
Cho:
Câu 5:
Cho
N
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
P = a+b+c-ab-bc-ca
vuông tại B, trên tia đối tia BA lấy D sao cho: AD = 3AB. Đường thẳng vuông góc
với CD tại D cắt đường thẳng vuông góc với AC tại E.
CMR:
cân
Bài tập tự Luyện
ĐỀ SỐ 31
Câu 1:
Cho a+b+c = 0
CMR:
Câu 2: Tìm x, y, z biết:
Câu 3:
xy+3y+2z -4
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR:
Câu 4: a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 27 Tìm a, b, c sao cho: ab+bc+ca đạt giá trị lớn nhất.
b, Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phương của 1 số bằng tổng các lập phương của 3 số còn lại.
Tìm nghiệm nguyên dương của PT: x2 + (x+y)2 = (x+9)2
Câu 5:
Câu 6: Cho lục giác lồi ABCDEF, các đường thẳng AB, EF cắt nhau tại P, EF và CD cắt nhau tại Q, CD
và AB cắt nhau tại R. Các đường thẳng BC và DE; DE và FA; FA và BC cắt nhau tại S,T,U.
CMR: Nếu
thì
ĐỀ SỐ 32
Câu 1: a, CMR: 62k-1+1 chia hết cho 7 với
b, CMR: Số a = 11.....1 + 44.....4 + 1 là bình phương của một số tự nhiên.
(Trong đó có 2k chữ số 1 và k chữ số 4).
Câu 2:
a, Tìm số dư của phép chia: x2002+x+1 chia cho x2-1
b, Tìm số nguyên dương x, y sao cho : 3(x3-y3) = 2001.
Câu 3:
a, Cho a, b, c > o. CMR:
b, Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: y = x3-6x2+21x+18 Với
Câu 4:
Cho
(AB = AC). Biết
= 200, và AB = AC = b; BC = a
CMR:a3 + b3 = 3ab2
ĐỀ SỐ 33
Câu 1:
Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và ab+bc+ca = 0
Tìm giá trị của: M = (a-1)1999+ b2000 + (c+1)2001
Câu 2: Cho x, y, z là các số nguyên khác 0. CMR:
Nếu : x2 – yz = a
y2 – zx = b
z2 – xy = c
Thì ax+by+cz chia hết cho a+b+c
Câu 3:
.