20 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán

20 CHUYÊN DỀ NG TOÁN 8ỠCHUYÊN PH TÍCH ĐA TH THÀNH NHÂN TỀ A. TIÊU:Ụ* th ng các ng toán và các ph ng pháp phân tích đa th thành nhân tệ ươ ử* Gi bài phân tích đa th thành nhân tả ử* Nâng cao trình và năng phân tích đa th thành nhân tộ ửB. CÁC PH NG PHÁP VÀ BÀI PƯƠ ẬI. TÁCH NG THÀNH NHI NG :Ộ ỬĐnh lí sung:ị ổ+ Đa th f(x) có nghi thì có ng p/q trong đó là do, làứ ướ ực ng cao nh ướ ươ ấ+ f(x) có ng các ng thì f(x) có nhân là 1ế ử+ f(x) có ng các các ng ch ng ng các các ủh ng thì f(x) có nhân là 1ạ ử+ là nghi nguyên f(x) và f(1); f(­ 1) khác thì f(1)a và f(­1)a đu là ốnguyên. nhanh chóng lo tr nghi là doể ướ ự1. Ví 1:ụ 3x 8x 4Cách 1: Tách ng th 2ạ ứ3x 8x 3x 6x 2x 3x(x 2) 2(x 2) (x 2)(3x 2)Cách 2: Tách ng th nh t:ạ ấ3x 8x (4x 8x 4) (2x 2) (2x x)(2x x) (x 2)(3x 2)Ví 2:ụ 4Ta nhân th nghi f(x) có thì ế1; 2; 4 ch có f(2) nên làỉnghi f(x) nên f(x) có nhân là 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm cóệ ửxu hi nhân là 2ấ ử20 CHUYÊN DỀ NG TOÁN 8ỠCách 1: 3 22 2) 2( 2)x x 22 2x x Cách 2: 3 24 2)( 4) 2)( 2)x x 2 22 2) 2)( 2)x x   Ví 3:ụ f(x) 3x 7x 17x 5Nh xét: ậ1, 5 không là nghi f(x), nh f(x) không có nghi nguyên. Nên ệf(x) có nghi thì là nghi tế ỉTa nh th 13 là nghi f(x) do đó f(x) có nhân là 3x 1. Nênệ ửf(x) 3x 7x 17x 3 23 15 15 5x x 2(3 1) (3 1) 5(3 1) (3 1)( 5)x x Vì 22 1) 1) 0x x nên không phân tích đc thành ượnhân aử ữVí 4:ụ 5x 8x Nh xét: ng các các ng ch ng ng các các ng ạt nên đa th có nhân là 1ử ửx 5x 8x (x (4x 4x) (4x 4) 2(x 1) 4x(x 1) 4(x 1)= (x 1)(x 4x 4) (x 1)(x 2) 2Ví 5:ụ f(x) 2x 3x 4x 2T ng các ng thì nên đa th có nhân là 1, chia f(x) cho (x 1) ta có:ổ ửx 2x 3x 4x (x 1)(x 2)Vì không có nghi nguyên cũng không có nghi nên ỉkhông phân tích đc aượ ữVí 6:ụ 1997x 1996x 1997 (x 1) (1996x 1996x 1996)= (x 1)(x 1) 1996(x 1)= (x 1)(x 1996) (x 1)(x 1997)20 CHUYÊN DỀ NG TOÁN 8ỠVí 7:ụ 2001.2002 2001.(2001 1)= 2001 2001 (x 2001 2) (x 2001) (x 2001)(x 2002)II. THÊM CÙNG NG :Ớ Ử1. Thêm, cùng ng xu hi hi hai bình ph ng:ớ ươVí 1ụ 4x 81 4x 36x 81 36x (2x 9) 36x (2x 9) (6x) (2x 6x)(2x 6x) (2x 6x )(2x 6x 9) Ví 2:ụ 98x (x 2x 96x (x 1) 16x 2(x 1) 64x 16x 2(x 1) 32x 4= (x 8x 2) 16x 2(x 2x 2) (x 8x 1) 16x 2(x 1) 2= (x 8x 1) (4x 4x (x 4x 8x 4x 1)(x 4x 8x 4x 1)2. Thêm, cùng ng xu hi nhân chungớ ửVí 1: (x x) (x x(x 1) (x x(x 1)(x 1) (x x(x 1)(x (x 1) (x 1)= (x 1)[x(x 1)(x 1) 1] (x 1)(x 1)Ví 2:ụ (x (x (x 1) x(x 1)(x 1) 2(x 1) (x 1) (x 1)(x 1)(x x) (x 1)(x 1) (x 1) (x 1)[(x x) (x 1] (x 1)(x 1) Ghi nh :ớ Các đa th có ng xứ 3m 3n nh xư ;x đu có nhân chung là xề 1III. ĐT BI PH :Ặ ỤVí 1:ụ x(x 4)(x 6)(x 10) 128 [x(x 10)][(x 4)(x 6)] 128 (x 10x) (x 10x 24) 12820 CHUYÊN DỀ NG TOÁN 8ỠĐt xặ 10x 12 y, đa th có ngứ (y 12)(y 12) 128 144 128 16 (y 4)(y 4)= 10x )(x 10x 16 (x 2)(x 8)( 10x )Ví 2:ụ 6x 7x 6x 1Gi ta vi ếx 6x 7x 6x 6x 26 [(x 21 6(x ]Đt thì 21 2, do đóA 2(y 6y 7) 2(y 3) (xy 3x) [x(x 3x] (x 3x 1) Chú ý: Ví trên có th gi ng cách áp ng ng đng th nh sau:ụ ưA 6x 7x 6x (6x 2x (9x 6x 2x 2(3x 1) (3x 1) (x 3x 1) Ví 3:ụ 2( )( +zx)x xy yz = 2( 2( +zx) +zx)x xy yz xy yz   Đt ặ2 2x z a, xy yz zx ta có a(a 2b) 2ab (a b) 2x z xy yz zx) 2Ví 4:ụ 42( 2( )( )x z Đt xặ a, b, ta có:B 2a 2bc 2a 2b 2bc 2(a 2) (b –c 2) 2Ta có: bạ 2(2 2x x và –c 2(xy yz zx) Do đó;B 4(2 2x x (xy yz zx) 24 )x yz xy xyz xyz z Ví 5:ụ 3( 4( 12a abc Đt m, thì 4ab mặ (a b)[(a b) ab] m(n 2m n4 ). Ta có:20 CHUYÊN DỀ NG TOÁN 8ỠC (m c) 4. 23 2m 3mn4c 3c(m )4 3( +mc mn cn 2)= 3[c 2(m c) 2(m c)] 3(m c)(c n)(c n) 3(a c)(c b)(c b)III. PH NG PHÁP ĐNH:ƯƠ ỊVí 1: xụ 6x 12x 14x 3Nh xét: các 1, 3 không là nghi đa th c, đa th không có nghi ệnguyên ng không có nghi tủ ỉNh đa th phân tích đc thành nhân thì ph có ng ượ ạ(x ax b)(x cx d) (a c)x (ac d)x (ad bc)x bdđng nh đa th này đa th đã cho ta có: ứ612143a cac dad bcbd   Xét bd b, Z, 1, 3 thì đi ki trên tr thànhớ ở68 43 14 23a cac ca ac abd       V y: xậ 6x 12x 14x (x 2x 3)(x 4x 1) Ví 2:ụ 2x 3x 7x 6x 8Nh xét: đa th có nghi là nên có th là do đó ta có:ậ 2x 3x 7x 6x (x 2)(2x ax bx c) 2x (a 4)x (b 2a)x (c 2b)x 2c 312 752 642 8aab abc bcc          Suy ra: 2x 3x 7x 6x (x 2)(2x 5x 4) Ta có 2xạ 5x là đa th có ng các ng và ch ẵb ng nahu nên có nhân là nên 2xằ 5x (x 1)(2x 4)V y: 2xậ 3x 7x 6x (x 2)(x 1)(2x 4)20 CHUYÊN DỀ NG TOÁN 8ỠVí 3: ụ12x 5x 12y 12y 10xy (a by 3)(cx dy 1)= acx (3c a)x bdy (3d b)y (bc ad)xy 1241033 561223 12acabc adcc abbddd b          12x 5x 12y 12y 10xy (4 6y 3)(3x 2y 1)BÀI P: ẬPhân tích các đa th sau thành nhân :ứ ửCHUYÊN ĐỀ SƠ LƯỢC VỀ CHỈNH HỢP, CHUYÊN 2: HOÁN PỀ ỢA. TIÊU:Ụ 1) 7x 62) 9x 6x 163) 6x 304) 2x 5x 35) 27x 27x 18x 46) 2xy 127) (x 2)(x +3)(x 4)(x 5) 248) 4x 32x 19) 3(x 1) (x 1) 10) 64x 411) 2b 612) 3xy 113) 4x 4x 5x 2x 114) 115) 3x 16) 3x 22xy 11x 37y 7y +1017) 8x 6320 CHUYÊN DỀ NG TOÁN 8Ỡ* đu HS hi ch nh p, hoán và pướ ợ* ng ki th vào ssó bài toán th và th tậ ế* ng thú và nâng cao năng gi toán cho HSạ ảB. KI TH C:Ế ỨI. Ch nh p:ỉ ợ1. đnh nghĩa: Cho ph cách ph ậh n) theo th nh đnh là ch nh ch ph ầt yử ấS các ch nh ch ph đc kí hi ượ kn A2. Tính ch nh ch ph II. Hoán :ị1. Đnh nghĩa: Cho ph cách ph pị ậh theo th nh đnh là hoán ph yợ ấS các hoán ph đc kí hi Pố ượ ện2. Tính hoán ph ử( n! giai th a)ừIII. p:ổ ợ1. Đnh nghĩa: Cho ph con ph ửtrong ph n) là ch ph yọ ấS các ch ph đc kí hi ượ kn C2. Tính ch ph kn n(n 1)(n 2)…[n (k 1)]kn nn k! n(n 1)(n 2)...[n (k 1)]k! Pn nn n(n 1)(n 2) …2 .1 n!20 CHUYÊN DỀ NG TOÁN 8ỠC. Ví :ụ1. Ví 1:ụCho ch 1, 2, 3, 4, 5ữ ốa) có bao nhiêu nhiên có ba ch các ch khác nhau, ba trong các chố ữs trênốb) Có bao nhiêu nhiên có ch các ch khác nhau, ch trênố ốc)Có bao nhiêu cách ch ra ba ch trong ch trênọ ốGi i:ảa) nhiên có ba ch các ch khác nhau, ba trong các ch trên là ốch nh ch ph 35 5.(5 1).(5 2) 60 sốb) nhiên có ch các ch khác nhau, ch trên là hoán ịcua ph (ch nh ch ph ):ầ 55 5.(5 1).(5 2).(5 3).(5 4) 120 sốc) cách ch ra ba ch trong ch trên là ch ph :ọ 35 5.(5 1).(5 2) 60103! 3.(3 1)(3 2) 6 nhóm2. Ví 2:ụCho ch 1, 2, 3, 4, 5. Dùng ch này:ữ ốa) đc bao nhiêu nhiên có ch trong đó không có ch nào i? ượ ạTính ng các đcổ ượb) đc bao nhiêu ch có ch khác nhau?ậ ượ ốc) đc bao nhiêu nhiên có ch trong đó hai ch nhau ph khác ượ ảnhaud) đc bao nhiêu nhiên có ch các ch khác nhau, trong đó có hai ượ ốch hai ch ch nữ ẵGi iả20 CHUYÊN DỀ NG TOÁN 8Ỡa) nhiên có ch các ch khác nhau, trong các ch trên là ốch nh ch ph 45 5.(5 1).(5 2).(5 3) 120 sốTrong hang (Nghìn, trăm, ch c, đn ), ch có t: 120 24 nỗ ầT ng các ch hang: (1 5). 24 15 24 360ổ ỗT ng các đc p: 360 3600 36000 360000 399960ổ ượ ậb) ch cùng có cách ch (là ho 4)ữ ặb ch tr là hoán ch còn và có Pố ướ ạ4 4! 24 cách ch nọT có 24 48 cách ch nấ ọc) Các ph có ng abcde trong đó có cách ch n, có cách ch (khác ọa), có cách ch (khác b), có cách ch (khác c), có cách ch (khác d)ọ ọT có: 1280 sấ ốd) Ch trong ch ch n, có cách ch nọ ọch trong ch có cách ch n. Các ch có th hoán do đó có: ị1 4! =1 72 sốBài 3: Cho ·0xAy 180 Trên Ax đi khác A, trên Ay đi khác A. trong 12 ểđi nói trên (k đi A), hai đi nào ng đc nhau đo ượ ạth ng.ẳCó bao nhiêu tam giác mà các đnh là trong 12 đi yỉ ấGi iảCách 1: Tam giác ph đm ba lo i:ả ạ+ Lo 1: các tam giác có đnh là A, đnh th 2ạ ứthu Ax (có cách ch n), đnh th thu Ay (có 5ộ ộcách ch n), có: 30 tam giácọ ồxyB5B4B2B1A5A4A3A6B3A2A1A20 CHUYÊN DỀ NG TOÁN 8Ỡ+ Lo 2: Các tam giác có đnh là trong đi Bạ ể1 B2 B3 B4 B5 (có cách ch n), ọhai đnh kia là trong đi Aỉ ể1 A2 A3 A4 A5 A6 Có 266.5 30152! 2C cách ch n)ọG 15 75 tam giác ồ+ Lo 3: Các tam giác có đnh là trong đi Aạ ể1 A2 A3 A4 A5 A6 hai đnh kia là ỉ2 trong đi Bể1 B2 B3 B4 B5 có: 6. ồ255.4 206. 6. 602! 2C tam giácT có: 30 75 60 165 tam giácấ ảCách 2: các tam giác ch trong 12 đi là ấ31212.11.10 1320 13202203! 3.2 6C S ba đi th ng hang trong đi thu tia Ax là: ộ377.6.5 210 210353! 3.2 6C S ba đi th ng hang trong đi thu tia Ay là: ộ366.5.4 120 120203! 3.2 6C S tam giác thành: 220 35 20) 165 tam giácố ạD. BÀI P:ẬBài 1: cho 0, 1, 2, 3, 4. các ch trên có th đc bao nhiêu nhiên:ố ượ ựa) Có ch ch y?ữ ấb) Có ch có các ch khác nhau?ữ ốc) có ch các ch khác nhau?ữ ốd) có ch các ch có th gi ng nhau?ữ ốBài 2: Có bao nhiêu nhiên có ch các ch 1, 2, bi ng đó ốchia cho 9ếBài 3: Trên trang có đng th ng đng và đng ngang đôi ườ ườ ắnhau. trên trang đó có bao nhiêu hình ch nh tỏ ậCHUYÊN LU TH NH TH CỀ