Dãy số

Đề tài Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng PhongMột số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong MỤC LỤC MỤC LỤC ..................................................................................................................... LỜI MỞ ĐẦU................................................................................................................ I. SỬ DỤNG CSC CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT. .................................... II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 23 III. XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH ................................. 28 IV. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ .... 32 BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TỔ HỢP ......................................................................... 32 BÀI TậP ÁP DụNG ..................................................................................................... 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 47Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên qua đến dãy số và đặc biệt là bài toán xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số Hơn nữa một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết. Do đó xác định công thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong các bài toán dãy số. Chuyên đề “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số nhằm chia sẻ với các bạn một số kinh nghiệm giải bài toán tìm CTTQ của dãy số mà bản thân đúc rút được trong qua trình học tập. Nội dung của chuyên đề được chia làm bốn mục I: Sử dụng CSC CSN để xây dựng phương pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số có dạng công thức truy hồi đặc biệt. II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác để xác định CTTQ của dãy số III: Sử dụng phương pháp hàm sinh để xác định CTTQ của dãy số IV: Ứng dụng của bài toán xác định CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về dãy số tổ hợp Một số kết quả trong chuyên đề này đã có một số sách tham khảo về dãy số, tuy nhiên trong chuyên đề các kết quả đó được xây dựng một cách tự nhiên từ đơn giản đến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và phát triển tư duy cho các em học sinh. Trong quá trình viết chuyên đề, chúng tôi nhận được sự động viên, giúp đỡ nhiệt thành của BGH và quý thầy cô tổ Toán Trường THPT BC Lê Hồng Phong. Chúng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc. Vì năng lực và thời gian có nhiều hạn chế nên chuyên đề sẽ có những thiếu sót. Rất mong quý Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp thông cảm và góp để chuyên đề được tốt hơn.Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ I. SỬ DỤNG CSC CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT. Trong mục này chúng tôi xây dựng phương pháp xác định CTTQ của một số dạng dãy số có công thức truy hồi đặc biệt. Những phương pháp này được xây dựng dựa trên các kết quả đã biết về CSN CSC kết hợp với phương pháp chọn thích hợp. Trước hết ta nhắc lại một số kết quả đã biết về CSN CSC 1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân 1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng Định nghĩa: Dãy số )nugọi là cấp số cộng nếu có một số thực sao cho với mọi số nguyên 2n³ ta có:1n nu d-= +. d: gọi là công sai của CSC; 1u: gọi số hạng đầu, nu gọi là số hạng tổng quát của cấp số Định lí 1: Cho CSC )nu. Ta có 1( 1)nu d= (1). Định lí 2: Gọi nS là tổng số hạng đầu của CSC )nucó công sai d. Ta có: 1S [2 1) ]2nnu d= (2). 1. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân Định nghĩa: Dãy số )nu có tính chất 1. *n nu n+= \\" Î¥ gọi là cấp số nhân công bội Định lí 3: Cho CSN )nu có công bội q. Ta có: 11nnu q-= (3). Định lí 4: Gọi nS là tổng số hạng đầu của CSN )nucó công bội Ta có: 11 -1 -nnqS uq= (4).Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong 2. Áp dụng CSC CSN để xác định CTTQ của một số dạng dãy số đặc biệt Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số )nu được xác định bởi 11, 2n nu n-= \\" ³. Giải: Ta thấy dãy )nu là một CSC có công sai 2d= -. Áp dụng kết quả (1) ta có: 2( 1) 3nu n= +. Ví dụ 1.2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số )nu được xác định bởi 13, 2n nu n-= \\" ³. Giải: Ta thấy dãy )nu là một CSN có công bội 2q=. Ta có:13.2nnu-=. Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát của dãy )nu được xác định bởi: 12, 2n nu n-= \\" ³. Giải: Trong bài toán này chúng ta sẽ gặp khó khăn vì dãy )nu không phải là CSC hay CSN! Ta thấy dãy )nu không phải là CSN vì xuất hiện hằng số 1- VT. Ta tìm cách làm mất 1- đi và chuyển dãy số về CSN. Để thực hiện đồ này ta đặt .n nu l= ,k là các hằng số và 0k¹ ta sẽ chọn ,k sau). Khi đó, ta có: 12 1. 3n nlk vk--+ +. Ta chọn 1, 02lk lk-= và bất kì nên ta chọn 112klì=ïí=ïî. 113( :52n nnv vvv-ì=ïÞí= -ïî. Dễ thấy dãy )nv là CSN với công bội 3q= 115. .32n nnv q- -Þ -. Suy ra: 11 5.3 12 2nn nu v-= Ta thấy bất kì, do đó khi đặt ta chọn 1k=. Tương tự cách làm này ta có được kết quả tổng quát sau:Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong Dạng 1: Dãy số 1( 2n nu au n-= \\" (, 0a b¹ là các hằng số) có CTTQ là: 1111( 1) khi 1. khi 11nnnu auau ba--ì+ =ï=í-+ ¹ïî -. Ví dụ 1.4: Xác định CTTQ của dãy )nuđược xác định bởi 12; 2n nu n+= +. Giải: ví dụ này chúng ta không thể sử dụng kết quả được vì hệ số tự do đây không phải là hằng số mà là một hàm bậc nhất biến n. Tuy nhiên chúng ta có thể bắt chước cách giải trên làm mất 2n+ VP, ta đặt :. .n nu l= +; ,k là các hằng số 0k¹. Khi đó ta có: 13 2( 1) .n nt tkv kv tn nk k+ ++ ++ +. Ta chọn ,k sao cho: 3301200 ttkll tkkì+ì= -=ïïïÛ -í í- +ï ï=¹ïîî, ta chọn 1k=. 1116( 6.2 3.22n nn nn nvv vv v--ì=ïÞ =í=ïî. Vậy 3.2 1nn nu n= -. Ta thấy trong cách giải trên không phụ thuộc vào k, nên khi đặt ta có thể chọn 1k=. Ví dụ 1.5: Cho dãy số 112( :2 1nn nuuu n-ì=ïí= +ïî. Tìm CTTQ của dãy )nu. Giải: Với bài toán này nếu ta thực hiện cách làm như trên sẽ không dẫn đến kết quả, vì sau khi đặt ta có 12 1.n ntv nk k+-= dẫn đến ta không thể làm mất được. Ta sẽ đi tìm lời giải khác cho bài toán trên. Ta viết công thức truy hồi của dãy đã cho dưới dạng sau 12 1n nu n-- +. Từ đây ta có: 1( ... )n nu u- -= +Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong 2( 1) ... 2.2 2n n= +()2 ... 1n n= 2( 1)2 12n nn n+= -. Từ kết quả chúng ta tìm được, ta thấy được nguyên nhân mà cách làm ban đầu không cho ta kết quả là CTTQ của dãy số là một đa thức bậc hai theo n, mà với cách đặt ban đầu thì ta thấy là trong CTTQ của dãy là một đa thức bậc nhất. Từ phân tích này ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau: Đặt 2n nu an bn c= +. Khi đó, ta có: 21( 1) 1) 1n nv an bn n-+ 12(1 1n nv b-Û +. Ta chọn 11 2a aa bì ì- =ï ïÛí í- =ï ïî î, bất kì nên ta chọn 0c=. Khi đó: 11 111( ... 1n nn nvv vv v- --ì= -ïÞ -í=ïî Vậy 22 1n nu n= -. Vì bất kì nên ta chỉ cần đặt 2( )n nu an bn an b= Dạng 2: Từ ví dụ và cách giải thứ hai của ví dụ ta rút ra được cách tìm CTTQ của dãy )nuđược xác định bởi: 01. )n nu xu n-ì=ïí= +ïî, trong đó )f là một đa thức bậc theo n; là hằng số. Ta làm như sau: Nếu 1a=, ta đặt )n nu n= với )g là một đa thức theo bậc k, thay vào công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn :g n( 1) 1) )ng n- =ta có được dãy ()nv là CSN với công bội 1q= từ đó ta tìm được CTTQ của dãy ()nv suy ra ta có CTTQ của dãy )nu. Nếu 1a¹, ta đặt )n nu n= với )h là một đa thức theo nbậc k. Thay vào công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn :h n( 1) )h ah n- ta có được dãy ()nv là CSN với công bội a= từ đó ta tìm được CTTQ của dãy ()nv. Suy ra ta có CTTQ của dãy )nu.Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong Ví dụ 1.6: Cho dãy số 111( :3 2, 3, ...nnn nuuu n-ì=ïí= =ïî.Tìm CTTQ của dãy )nu. Giải: Với cách giải tương tự như các ví dụ trên ta đặt: .2nn nu a= +. Ta có: 11 1.2 3( .2 2)n nn nv a-- -+ Ta chọn 11 12 .3 5.3n nn na v- --= Vậy 15.3 2n nnu- += -. Lưu Trong trường hợp tổng quát dãy 1( .nn nu ba-= +, ta đặt .nn nu ya= +. Khi đó ta có: 11. .n nn nx ay ba a--+ 11. )nn nx ba a--é ùÞ +ë û. Do đó, nếu aa¹, ta chọn byaaa=- 11 1. .nn nx a--Þ =211( .n nnb bu aa aa aaa a-Þ +- Trường hợp 1. .nn na aa-= 11 1( ... .n nn nu au a- -- -Þ 11( 1)n nnu a-Þ +. Vậy ta có kết quả sau. Dạng 3: Cho dãy 11( :. 2nnn nu puu na-ì=ïí= \\" ³ïî. Khi đó ta có: ·Nếu 11( 1)nna ab aa-é ù= +ë û. ·Nếu 211( .n nnb ba aa aa aa aa a-¹ +- -. Chú Trong trường hợp aa= ta có thể tìm CTTQ của dãy )nu như sau: Đặt .nn nu a= +. Khi đó ta có: 11. 1). .n nn nx ay aa--+ 1. ).nn nx a-Þ nên ta chọn b= 11 1. 1)n nn nx ab bn ab a- -é ùÞ +ë û.Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ của dãy 112( :5 2.3 6.7 12 2, 3, ... nnn nuuu n-ì= -ïí= =ïî. Giải: Đặt .3 .7n nn nu c= +. Khi đó ta có: 11.3 .7 5( .3 .7 2.3 6.7 12n nn nv c- --+ 115 (2 6) (2 42) 12n nn nv c- --Û +. Ta chọn 3, 42 214 12 3a aa bc cì ì+ -ï ï+ -í íï ï+ -î î. Khi đó: 11 15 .5 157.5n nn nv v- --= Vậy 13 3.7 157.5 3.7 3n nn nu v+ += -. Qua ví dụ trên ta có kết quả sau: Dạng 4: Để tìm CTTQ của dãy số 11( :. 2n nnn nu puu na b-ì=ïí= \\" ³ïî trong đó 0; 1; .a aa b¹ ¹) ta làm như sau: ·Nếu 11 .n nn na da b-= 21 10( )nn iiu u-- -=Þ -å 21 10 0( .( 1)n nn ii iu na b- -- -= == -å 11 1. .( 1)1 1n nnu na ba ba bæ ö- -Þ -ç ÷ç ÷- -è ø. ·Nếu 1a¹, ta đặt .n nn nu za b= Ta có: 11. 1)n nn nv ax by da b- --= Ta chọn ;1b dx za aa ba b= =- -.Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong Khi đó: 21 11 1. .1n nn nb dv aa aa ba b- --æ ö= -ç ÷ç ÷- -è 2111 1n nnb du aa aa ba ba b-æ ö= +ç ÷ç ÷- -è ø. Chú Nếu aa= hoặc ab= thì khi đặt nutheo nv thì ta nhân thêm vào trước na hoặc nb. Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ của dãy 111( :2 2nnn nuuu n-ì=ïí= \\" ³ïî. Giải: Để tìm CTTQ của dãy ()nu ta sử dụng hai kết quả và kết quả Đặt .3nn nu bn c= +. Ta có: ()11.3 .3 1) 3n nn nv bn n--+ 112 1)3 1) 2nn nv c--Û +. Ta chọn 1; 2a c= =. Khi đó: 11 12 .2 5.2n nn nv v- --= Vậy 15.2 2n nnu n-= +. Dạng 5: Nếu dãy số 11( :. ); 2nnn nu puu na-ì=ïí= \\" ³ïî, trong đó )f là đa thức theo bậc ta tìm CTTQ của dãy như sau: Nếu 1a¹ ta đặt )nn nu na= +, với )g là đa thức theo bậc k. Ta sẽ chọn sao cho dãy )nv là một CSN, khi đó ta sẽ tìm được CTTQ của dãy )nv từ đó ta có CTTQ dãy )nu. Nếu 1a= thì ta tìm được nu theo cách làm đã kết quả và 3.Trên đây chỉ là phần trích dẫn 10 trang đầu của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầyđủ tài liệu gốc thì ấn vào nút Tải về phía dưới.