Cực trị hình học

Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan 122131xOCABMPN 1Giáo viên hướng dẫn: ĐỖ KIM SƠNNhóm biên sọan lớp 10 Tóan Trong hoạt động của mình, con người luôn luôn đối mặt với một câu hỏi tìm giá trị cực đại hoặc cực tiểu của một đối tượng hình học nào đó về độ dài, diện tích, bề mặt hoặc thể tích,… Ngay trong tự nhiên, những hình có dạng đều, chúng mang những tính chất rất đặc biệt, trong nó chứa ẩn những tính chất “cực trị” mà các hình khác không có được như tam giác đều, hình vuông, lục giác đều hoặc hình tròn, khối cầu,….Ngày nay những bài toán cực trị vẫn được quan tâm và nghiên cứu. Những phương pháp giải và các dạng bài tập này trong hình học rất đặc trưng và bắt nguồn từ lý thuyết cơ bản của toán học. ta, những loại sách tổng kết lại những bài toán cực trị trong hình học còn hiếm, nhất là không hệ thống phương pháp giải và đưa ra một cách nhìn mới trong học tập, rất nhiều cuốn bài tập chỉ mang tính chất liệt kê không làm nổi bật những tưởng của đề toán và các phương pháp tiếp cận giải toánThời gian qua, nhờ sự hướng dẫn của giáo viên bộ môn, chúng em xin giới thiệu chuyên đề “Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học” Chuyên đề này chỉ giới thiệu về một số phương pháp tìm cực trị cơ bản thường gặp trong hình học phẳng và hình học vectơ. Trong mỗi phương pháp sẽ có các ví dụ minh họa. Và cuối cùng là phần bài tập tổng hợp với các bài tập giải bằng những phương pháp khác nhau. Trong quá trình biên soạn, sưu tầm và tập hợp các phương pháp cùng những ví dụ, bài tập, tuy chúng em đã cố gắng rất nhiều nhưng thiếu sót là điều khó tránh. Vì vậy, chúng em mong thầy và các bạn thông cảm. Xin chân thành cảm ơn! Nhóm biên tậpTóm tắt kiến thức :2Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan1) Cực trị hình học Cho biểu thức phụ thuộc điểm biến thiên trên miền D. Ta nói 0( ,: )max )f DX Mf M£ " Î$ =ìï= Ûíïî 0( ,: )min )f DX mf m³ " Î$ =ì= Ûíî2) Phép toán vector: Phép cộng vector: Quy tắc điểm: AB BC AC+ =uuur uuur uuur* Quy tắc hình bình hành: nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC+ =uuur uuur uuurPhép trừ vector: Quy tắc: AC AB BC- =uuur uuur uuurTích vector với số: Cho số và 0a ¹r r. Tích vector với số là một vector kí hiệu r, cùng hướng vector nếu và ngược hướng vector nếu và có độ dài bằng || |k arTích vô hướng của hai vector Cho ,a khác vector Ta có cos( )a b=r rMột số kí hiệu dùng trong tài liệu, ,a c: độ dài các cạnh BC, CA, AB củaABCD ., ,a ch h: độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, củaABCD ., ,a cm m: độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, củaABCD .,R r: bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ABCD ., ,a cr r: bán kính các đường tròn bàng tiếp góc A, B, củaABCD .Một số điểm đặc biệt trong tam giácĐiểm Lemoine:3Nhóm biên sọan lớp 10 TóanĐịnh nghĩa: Trên các cạnh BC, CA, AB của ABCD lấy các điểm 1, ,A tương ứng sao cho2 21 12 21 1, ,AC BA CBb aC c= =(các đường 1, ,AA BB CC là các đường đối trung). Khi đó các đường thẳng1 1, ,AA BB CC đồng quy tại điểm gọi là điểm Lemoine.Tính chất: ChoABCD là điểm trong tam giác. Gọi H, K, theo thứ tự là hình chiếu của trên BC, CA, AB. Khi đó là điểm Lemoine của ABCD khi và chỉ khi là trọng tâm củaHKND khi và chỉ khi2 20a LA LB LC+ =uur uuur uuur Điểm Toricelli Cho ABCD có các góc đều nhỏ hơn 0120 Khi đó tồn tại duy nhất điểm có tính chất cùng nhìn các cạnh BC, CA, AB dưới các góc 0120 Điểm như vậy gọi là điểm Toricelli của ABCD .Điểm Gergone Đường tròn nội tiếp ABCD tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại1 1, ,A C. Khi đó các đường thẳng 1, ,AA BB CC đồng quy tại điểm gọi là điểm Gergone.Điểm Naghen Các đường tròn bàng củaABCD tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại1 1, ,A C. Khi đó các đường thẳng 1, ,AA BB CC đồng quy tại điểm gọi là điểm Naghen.4Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Phương pháp 1: Vận dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc.5Nhóm biên sọan lớp 10 TóanVí dụ 1.1: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, sao cho AE= BF= CG= DH. Xác định vị trí của các điểm E, F, G, sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.Giải: HAE= EBF(c-g-c) ÞHE= EF.OCABDEHFGTương tự ta có: HE= EF= FG= GH nên tứ giác EFGH là hình thoi. HAE= EBF còn suy ra ··AHE BEF= Ta lại có····0 090 90AHE AEH BEF AEH+ Do đó: ·090HEF= Như vậy hình thoi EFGH là hình vuông. Gọi là giao điểm của AC và EG. Tứ giác AECG có AE= CG, AE// CG nên là hình bình hành, suy ra là trung điểm của AC và của EG, do đó là tâm của cà hai hình vuông ABCD và EFGH. HOE vuông cân: 22. 2HE OE HE OE= Chu vi EFGH= 4.HE= .OE. Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất OE nhỏ nhất. Kẻ OK AB^ Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: OE OK( độ dài OK không đổi) nên OE= OK ÛE Do đó min OE= OK Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E, F, G, là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Nhận xét về phương pháp giải: trong cách giải trên có các biến đổi tương đương sau: Chu vi EFGH nhỏ nhất HE nhỏ nhất OE nhỏ nhất. Quan hệ OE OK (OK không đổi) cho phép ta xác định vị trí của điểm để OE có độ dài nhỏnhất .Ví dụ 1.2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a. Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua trung điểm của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự C, D. Xáx định vị trí của các điểm C, sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.Giải: Gọi là giao điểm của CM và DB. MAC= MBK(g-c-g) ÞMC= MK.6Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan DCK có đường cao DM là trung tuyến nên là tam giác cân, suy ra ··HDM MDB= Kẻ MH CD^ Do thuộc tia phân giác cùa góc nên: MH= MB= a. 1. .2MCDS CD MH=xyaaHKDMABC Do CD AB= 2a và MH= nên: 21.2 .2MCDS a= =2.MCDS CD Ax= Khi đó ··0 045 45AMC BMD= Vậy 2MCDS a= Các điểm C, được xác định trê Ax, By sao cho AC= BD= aVí dụ 1.3: Cho tam giác ABC có góc là góc tù, điểm di chuyển trên cạnh BC. Xác đ5nh vị trí của điểm sao cho tổng các khoảng cách từ và từ đến đường thẳng Ad có giá trị lớn nhất.Giải: Gọi là diện tích ABC. Khi di chuyển trên cạnh BC ta có:ABD ACDS S+ Kẻ ,BE AD CF AD^ ta có 1. .2 2AD BE AD CF S+ nên BE+ CF SAD Do đó BE CF lớn nhất AD nhỏ nhất.7Nhóm biên sọan lớp 10 TóanFEHABCD Đường xiên AD nhỏ nhất hình chiếu HD nhỏ nhất. Ta có HD HB do ·090ABD> và HD HB khi và chỉ khi B. Như vậy khi trùng thì tổng các khoảng cách từ và từ đến AD có giá trị lớn nhất.Ví dụ 1.4: Cho hình bình hành ABCD. Qua vẽ đường thẳng không cắt hình bình hành. Gọi B’, C’, D’, lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm B, C, trên đường thẳng d.Xác định vị trí của đường thẳng để tổng BB’ CC’ DD’ có giá trị lớn nhất.Giải: Gọi là giao điểm của AC và BD. O’ là hình chiếu vuông góc của trên d.' ' '/ 'DD BB DD BB^ DD’B’B là hình thang.dO'OB'C'D'CABDMà ' ' '/ 'OO DD OO DD^ và là trung điểm BD ABCD là hình bình hành) Do đó OO’ là đường trung bình của hình thang DD’B’B' '' ' ' 2. '2BB DDOO BB DD OO+Þ =' ' '/ 'OO CC OO CC^ và là trung điểm AC.( ABCD là hình bình hành) Do đó OO’ là đường trung bình cùa ACC’ '' ' 2. '2CCOO CC OOÞ =, 'A OO dÎ nên OO’ OA. Do đó BB’ CC’ DD’ 4.OO’ 4.OA không đổi) Dấu “=” xảy ra ÛO’ Ûd vuông góc AC tại A.8Nhóm biên sọan lớp 10 TóanPhương pháp 2: Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúcVí dụ 2.1: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm thuộc cạnh AD. Xác định vị trí các điểm: thuộc cạnh AB, thuộc cạnh BC, thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.Giải: Gọi I, K, theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH. AEF vuông tại có AI là trung tuyến AI= 1.2 EFKICABDFHEG Tương tự MC= 1.2GH .IK là đường trung bình của EFG ÞIK= 1.2 FG. Tương tự KM= 1.2EH Do đó: chu vi EFGH= EF FG GH +HE= 2(AI IK KM MC) Ta lại có: AI IK KM MC AC (so sánh độ dài đoạn thẳng và đường gấp khúc) Suy ra: chu vi EFGH 2AC không đổi). Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC A, I, M, thẳng hàng. Nhận xét về phương pháp giải: bằng cách vẽ trung điểm các cạnh EF, GH, và trung điểm của đường chép EG, ta tính được chu vi của tứ giác EFGH bằng hai lần độ dài đường gấp khúc AIKMC, độ dài đường gấp khúc trên nhỏ nhất khi đường gấp khúc đó trở thành đoạn thẳng AC.Ví dụ 2.2: Cho tam giác ABC nhọn. Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất nội tiếp ABC, tức là có ba đỉnh nằm trên ba cạnh của tam giác ấy.Giải: Cách 1: Xét tam giác MNP nội tiếp ABC một cách tùy thuộc AB, thuộc BC, thuộc AC). Vẽ E, sao cho AB là đường trung trực của NE, AC là đường trung trực của NF. Chu vi MNP NM MP PN EM MP PF EF9MNhóm biên sọan lớp 10 Tóan12ABCMNPEF Ta cần xét khi nào thì EF nhỏ nhất. Ta có ·µµ·1 22 2EAF BAC = EAF là tam giác cân có góc đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ nhất khi và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất.EF nhỏ nhất AE nhò nhất AN nhỏ nhất ÛAN BC^ Như vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất khi là chân đường cao kẻ từ A, còn và là giao điểm cùa EF với AB, AC. Ta có nhận xét rằng khi là chân đường cao kẻ từ thì và cũng là chân hai đường cao còn lại của tam giác. CM Xét HMP: AB là đường phân giác của góc EMH, AC là đường phân giác ngoài của góc FPH. Ta có AB, AC gặp nhau tại nên HA là tia phân giác của góc MHP. Vì AH HC nên HC là đường phân giác ngoài tại đỉnh H. Theo trên AC là đường phân giàc ngoài tại đỉnh P, HCgặp AC tại nên MC là tia phân giác góc trong tại đỉnh M. HABCMPEF MB và MC là các tia phân giác của các góc kề bù nên MB MC. Tương tự PC PB Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất khi M, N, là chân ba đường cao của tam giác ABC. Do tam giác ABC nhọn nên M, N, thuộc biên của tam giác.Cách 2: Lấy M, N, tùy trên AB, BC, CA và nối tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với M, N, P.Gọi là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, là diện tích tam giác. Khi đó: 1. .2OMBNS OB MN£10Trên đây chỉ là phần trích dẫn 10 trang đầu của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầyđủ tài liệu gốc thì ấn vào nút Tải về phía dưới.