Các bài toán tiêu biểu ôn thi HSG Toán 9

Bài 1. Cho Bài 2. Cho 0 < a,b < 3 x, y . Chứng minh rằng aé 1+ 3 - a - b) ( 1+ b) ù £4 ê ú ë ( û . 2 2 là các số thực thỏa mãn x + 2y + 2xy = 24 - 5x - 5y . 2 2 Tìm giá trị lớn nhất của P = x + y - x - y + 2xy - 2. Bài 3. Cho hai số thực không âm thỏa mãn 2ab + 1 £ 2a . P = Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức a +b a2 + b2 . Gợi ý: Bài 1: aé 1+ ( 3 - a - b) ( 1+ b) ù =aé 4 - a + ( 2- a) b - b2 ù ê ú ê ú ë û ë û 2 2ù é é 2ù æ 2- aö 2 - a) 2 a ( ( ) ê ú ê ú ÷ ÷ = a ê4 - a + - ç b£ a 4 a + ú ê ú ç ÷ ç ÷ú ê ê 4 2 ø 4 ú è ê ú ê ú ë û ë û 2 ( 2- a) a - 4 £ 4 4+ ( ) 4 Dấu bằng có khi và chỉ khi a = 2 và b = (2 – a)/2 = 0. Điều này không xẩy ra. Bài 2: Từ x2 + 2y2 + 2xy = 24 - 5x - 5y ® ( x + y) + 5( x + y) = 24- y2 2 ® ( x + y) + 5( x + y) £ 24 2 ® ( t + 8) ( t - 3) £ 0 ® - 8£ t £ 3 Với t = x + y. Do đó P = x2 + y2 - x - y + 2xy - 2 = ( )( ) - 6t + 22 £ 0 - 6.( - 8) + 22 = 70 Vậy maxP = 70 khi x = -8; y = 0 Bài 3: Tìm max Từ 2ab + 1 £ 2a ® 2a ³ 2 2ab.1 ® a ³ 2b ® t = a ³ 2 b . Dấu bằng xẩy ra khi 2ab = 1 và a/b = 2 hay a = 1; b = 1/2. Khi đó: a +1 a +b t +1 2t b P = = = = 1+ 2 2 t +1 a2 + b2 t2 + 1 æö a ÷ ç 1 ç ÷+ ÷ ÷ ç èbø = 9 ( t - 2) ( 1- 2t) + £ 5 t2 + 1 9 3 = 5 5 3 5 khi a = 1; b = 1/2. Vậy maxP = Tìm min Do a; b là các số không âm nên dễ thấy P = a +b a +b 2 2 = ( a + b) 2 a2 + 2ab + b2 = ³ a2 + b2 a2 + b2 Vậy minP = 1 khi a = ½; b = 0. a2 + b2 =1 a2 + b2