Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 6 chuyên đề Số nguyên tố

sè nguyªn tè I/ §Þnh nghÜa 1) Sè nguyªn tè lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1, chØ cã 2 íc sè lµ 1 vµ chÝnh nã. 2) Hîp sè lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1 vµ cã nhiÒu h¬n 2 íc. -Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất các số nguyên tố còn lại là số lẻ. 2 là số nguyên tố nhỏ nhất. -Không có số nguyên tố lớn nhất VÝ dô 1: 2; 3; 5; 7; 11; 13;17; 19.... Ví dụ 2: viết tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn 100 Tổng của 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn hay số lẻ. Là số chẵn vì chỉ có 1 số chẵn duy nhất là số 2 còn lại 24 số nguyên tố lẻ. -Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất các số nguyên tố còn lại là số lẻ. 2 là số nguyên tố nhỏ nhất. -Không có số nguyên tố lớn nhất. Ví dụ 3: Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó. Ta có 1012 là số chẵn suy ra tổng của ba số nguyên tố là 1 số chẵn khi tồn tại 1 số nguyên tố chẵn và 2 số nguyên tố lẻ , vì 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất . Vậy số nhỏ nhất là 2. Ví dụ 4: Tìm bốn số nguyên tố liên tiếp, sao cho tổng của chúng là số nguyên tố Nếu 4 số nguyên tố liên tiếp là số lẻ (Loại) Vì tổng của 4 số lẻ là số chẵn lớn hơn 2 Suy ra: Bốn số nguyên tố liên tiếp là 2;3;5;7 vì 2 + 3 +5 +7 =17 là số nguyên tố. Ví du 5: Tổng của hai số nguyên tố bằng 2003 hay không ? 2) Hîp sè lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1 vµ cã nhiÒu h¬n 2 íc. VÝ dô: 4 cã 3 íc sè: 1 , 2 vµ 4 nªn 4 lµ hîp sè. 6 là hợp số vì 6 có 4 ước số là : 1, 2 , 3 , 6 9 là hợp số vì 9 có 3 ước số là : 1, 3, 9 1 Bài 1. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số Bài 2. Tìm các dãy số sao cho. a) Có 10 số tự nhiên liên tiếp không chứa thừa số nguyên tố nào? Là dãy số sau:12! + 2 , 12!+3, 12!+4,..., 12!+11 b) Có 15 số tự nhiên liên tiếp không chứa thừa số nguyên tố nào? Là dãy số sau: 17! + 2, 17!+3, 17!+4, ....., 17! + 16 c) Có 2021 số tự nhiên liên tiếp không chứa thừa số nguyên tố nào? Là dãy số sau: 2023! +2, 2023!+3, 2023!+ 4,...., 2023!+2022 Bài 3. Tìm số tự nhiên k sao cho dãy số sau chứa nhiều số nguyên tố nhất Lần 1 : K +1, k+2, k+3 , ..., k+10 Nếu k = 0 ta có dãy số 1, 2, 3,4,5,6,7,8,9,10 trong đó có 4 số nguyên tố 2, 3 ,5 ,7. Nếu k = 1 ta có dãy số sau 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 trong đó có 5 số nguyên tố là 2,3,5,7,11. Nếu k > 1 thì không có số nguyên tố 2 chỉ có số nguyên tố lẻ trong 10 số tự nhiên liên tiếp có 5 số chẵn 5 số lẻ trong 5 số lẻ liên tiếp thì có một số chia hết cho 3.suy ra dãy số còn lại có nhiều nhất 4 số nguyên tố. Vậy k = 1 thì dãy số có nhiều nhất 5 số nguyên tố Lần 2 : K +1, k+2, k+3 , ..., k+10 Nếu k = 0 ta có dãy số 1, 2, 3,4,5,6,7,8,9,10 trong đó có 4 số nguyên tố 2, 3 ,5 ,7. Nếu k = 1 ta có dãy số sau 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 trong đó có 5 số nguyên tố là 2,3,5,7,11. 2 Nếu k > 1 thì không có số nguyên tố 2 chỉ có số nguyên tố lẻ trong 10 số tự nhiên liên tiếp có 5 số chẵn 5 số lẻ trong 5 số lẻ liên tiếp thì có một số chia hết cho 3.suy ra dãy số còn lại có nhiều nhất 4 số nguyên tố. Vậy k = 1 thì dãy số có nhiều nhất 5 số nguyên tố Lần 3 : K +1, k+2, k+3 , ..., k+10 Nếu k = 0 ta có dãy số 1, 2, 3,4,5,6,7,8,9,10 trong đó có 4 số nguyên tố 2, 3 ,5 ,7. Nếu k = 1 ta có dãy số sau 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 trong đó có 5 số nguyên tố là 2,3,5,7,11. Nếu k > 1 thì không có số nguyên tố 2 chỉ có số nguyên tố lẻ trong 10 số tự nhiên liên tiếp có 5 số chẵn 5 số lẻ trong 5 số lẻ liên tiếp thì có một số chia hết cho 3.suy ra dãy số còn lại có nhiều nhất 4 số nguyên tố. Vậy k = 1 thì dãy số có nhiều nhất 5 số nguyên tố Bài 4*. Tìm số nguyên tố có ba chữ số biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên. Cách 2: 53 = 125 số ngược lại 521 là số nguyên tố 63 = 216 số ngược lại 612 (loại) 73 = 343 số ngược lại 343 (loại) 83 = 512 số ngược lại 215 (loại ) 93 = 729 số ngược lại 927 (loại ) Vậy số đó là 521. Bài 5. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị , chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết dưới dạng tích của ba số nguyên tố liên tiếp. 3 Bài 6. Tìm số nguyên tố P, biết P +2 và P +10 là số nguyên tố . Nếu P = 2 thì P + 2 = 2 +2 = 4 (loại) Nếu p = 3 thì P + 2 = 3 +2 = 5 là số nguyên tố P + 10 = 3+ 10 = 13 là số nguyên tố Nếu P > 3 thì P có dạng 3k +1 ; 3k +2 (k là số tự nhiên ) Nếu P = 3k + 2 thì P +10 = 3k +12 (loại ) vì chia hết cho 3 Nếu P = 3k +1 thì P + 2 = 3k +3 (loại ) vì chia hết cho 3 Vậy P = 3 Bài 7. Tìm số nguyên tố P, biết P +20 và P +10 là số nguyên tố . Nếu P = 2 thì P + 20 = 2 +20 = 22 (loại) Nếu p = 3 thì P + 20 = 3 +20 = 23 là số nguyên tố P + 10 = 3+ 10 = 13 là số nguyên tố Nếu P > 3 thì P có dạng 3k +1 ; 3k +2 (k là số tự nhiên ) Nếu P = 3k + 2 thì P +10 = 3k +12 (loại ) vì chia hết cho 3 Nếu P = 3k +1 thì P + 20 = 3k + 21 (loại ) vì chia hết cho 3 Vậy P = 3 Bài 8. Tìm số nguyên tố P biết p + 10 vµ p + 14. Nếu P = 2 thì P + 10 = 2 +10 = 12 (loại) Nếu p = 3 thì P + 14 = 3 +14 = 17 là số nguyên tố P + 10 = 3+ 10 = 13 là số nguyên tố Nếu P > 3 thì P có dạng 3k +1 ; 3k +2 (k là số tự nhiên ) Nếu P = 3k + 2 thì P +10 = 3k +12 (loại ) vì chia hết cho 3 Nếu P = 3k +1 thì P + 14 = 3k + 15 (loại ) vì chia hết cho 3 Vậy P = 3 Bài 9. Tìm số nguyên tố P biết p + 14 vµ p + 34 Nếu P = 2 thì P + 14 = 2 +14 = 16 (loại) Nếu p = 3 thì P + 14 = 3 +14 = 17 là số nguyên tố P + 34 = 3+ 34 = 37 là số nguyên tố Nếu P > 3 thì P có dạng 3k +1 ; 3k +2 (k là số tự nhiên ) 4 Nếu P = 3k + 2 thì P +34 = 3k +36 (loại ) vì chia hết cho 3 Nếu P = 3k +1 thì P + 14 = 3k + 15 (loại ) vì chia hết cho 3 Vậy P = 3 Bài 10. Tìm số nguyên tố P biết p + 2 vµ p + 10. Nếu P = 2 thì P + 2 = 2 +2 = 4 (loại) Nếu p = 3 thì P + 2 = 3 +2 = 5 là số nguyên tố P + 10 = 3+ 10 = 13 là số nguyên tố Nếu P > 3 thì P có dạng 3k +1 ; 3k +2 (k là số tự nhiên ) Nếu P = 3k + 2 thì P +10 = 3k +12 (loại ) vì chia hết cho 3 Nếu P = 3k +1 thì P + 2 = 3k + 3 (loại ) vì chia hết cho 3 Vậy P = 3 Bài 11. Tìm số nguyên tố P biết p + 2 vµ p + 16. Nếu P = 2 thì P + 2 = 2 +2 = 4 (loại) Nếu p = 3 thì P + 2 = 3 +2 = 5 là số nguyên tố P + 16 = 3+ 16 = 19 là số nguyên tố Nếu P > 3 thì P có dạng 3k +1 ; 3k +2 (k là số tự nhiên ) Nếu P = 3k + 2 thì P +16 = 3k +18 (loại ) vì chia hết cho 3 Nếu P = 3k +1 thì P + 2 = 3k + 3 (loại ) vì chia hết cho 3 Vậy P = 3 Bài 12. Tìm số nguyên tố P biết p + 8 vµ p + 10. Nếu P = 2 thì P + 8 = 2 +8 = 10 (loại) Nếu p = 3 thì P + 8 = 3 +8 = 11 là số nguyên tố P + 10 = 3+ 10 = 13 là số nguyên tố Nếu P > 3 thì P có dạng 3k +1 ; 3k +2 (k là số tự nhiên ) Nếu P = 3k + 2 thì P +10 = 3k +12 (loại ) vì chia hết cho 3 Nếu P = 3k +1 thì P + 8 = 3k + 9 (loại ) vì chia hết cho 3 Vậy P = 3 Bài 13. Tìm số nguyên tố P biết p + 38 vµ p + 10. Nếu P = 2 thì P + 38 = 2 +38 = 40 (loại) Nếu p = 3 thì P + 38 = 3 +38 = 41 là số nguyên tố P + 10 = 3+ 10 = 13 là số nguyên tố Nếu P > 3 thì P có dạng 3k +1 ; 3k +2 (k là số tự nhiên ) Nếu P = 3k + 2 thì P +10 = 3k +12 (loại ) vì chia hết cho 3 Nếu P = 3k +1 thì P + 38 = 3k + 39 (loại ) vì chia hết cho . Vậy P = 3 5 Bµi 14: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè: p + 2, p + 8, p + 26, p + 14. Nếu P = 2 thì P + 2 = 2+2=4 (loại) Nếu P = 5 Thì P + 2 = 5+ 2 = 7 là số nguyên tố P + 8 = 8+5 = 13 là số nguyên tố P + 26 = 5 +26 = 31 là số nguyên tố P + 14 = 5 + 14 = 19 là số nguyên tố Nếu P > 5 thì P có dạng 5k + 1; 5k +2 ; 5k+ 3 ; 5k + 4 Nếu P = 5k+1 Thì P +14 = 5k +15 chia hết cho 5 (loại) Nếu P = 5k + 2 thì P + 8 = 5k +10 chia hết cho 5 (loại) Nếu P = 5k +3 thì P +2 = 5k +10 chia hết cho 5 (Loại) Nếu P = 5 k +4 thì P + 26 = 5k +30 chia hết cho 5 (loại) Vậy P = 5 Bµi 15: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè: p + 6, p + 8, p + 12, p + 14. Bµi 16: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè: p + 2, p + 6, p + 8, p + 14. Bµi 17: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè: p + 6, p + 12, p + 18, p + 24. Bµi 18: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè: p + 18, p + 24, p + 26, p + 32. Bµi 19: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè: p + 2, p + 8, p + 14, p +26. Bµi 20:a)Cho p vµ p + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: p + 8 lµ hîp sè. Ta có P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì P có dạng 3k + 1; 3k +2 ( Nếu P = 3k +2 thì P + 4 = 3k +6 chia hết cho 3 (loại) suy ra P = 3k +1 thì P +8 = 3k +9 chia hết cho 3 vậy P + 8 hợp số. b)Cho p vµ 2p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 4p + 1 lµ hîp sè. Ta có P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì P có dạng 3k + 1; 3k +2 ( Nếu P = 3k +1 thì 2P + 1 = 2(3k+1) +1 = 6k + 3 chia hết cho 3 (loại) Suy ra : P = 3k +2 thì 4P + 1 = 4(3k +2) + 1 = 12k +9 chia hết cho 3. Vậy 4P +1 là hợp số 6 c)Cho p vµ 10p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chứng minh r»ng: 5p + 1 lµ hîp sè. Lần 1: Ta có P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì P có dạng 3k + 1; 3k +2 ( Nếu P = 3k +2 thì 10P + 1 = 10(3k +2) +1= 30k + 21 chia hết cho 3 (loại) Suy ra P = 3k +1 thì 5P +1 = 5(3k +1 ) +1= 15k +6 chia hết cho 3 Vậy 5P +1 là hợp số Lần 2: Ta có P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì P có dạng 3k + 1; 3k +2 ( Nếu P = 3k +2 thì 10P + 1 = 10(3k +2) +1= 30k + 21 chia hết cho 3 (loại) Suy ra P = 3k +1 thì 5P +1 = 5(3k +1 ) +1= 15k +6 chia hết cho 3 Vậy 5P +1 là hợp số Lần 3: Ta có P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì P có dạng 3k + 1; 3k +2 ( Nếu P = 3k +2 thì 10P + 1 = 10(3k +2) +1= 30k + 21 chia hết cho 3 (loại) Suy ra P = 3k +1 thì 5P +1 = 5(3k +1 ) +1= 15k +6 chia hết cho 3 Vậy 5P +1 là hợp số d)Cho p vµ p + 8 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: p + 4 lµ hîp sè. Ta có P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì P có dạng 3k + 1; 3k +2 ( Nếu P = 3k +1 thì P +8 = (3k+1) +8 = 3k +9 chia hết cho 3 (Loại) Suy ra: P = 3k +2 thì P +4 = (3k+2 ) +4 = 3k +6 chia hết cho 3 Vậy P + 4 là hợp số. e)Cho p vµ 4p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 2p + 1 lµ hîp sè. Ta có P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì P có dạng 3k + 1; 3k +2 ( Nếu P = 3k +2 thì 4P + 1 = 4(3k +2) +1 = 12k + 8 +1 = 12k +9 chia hết cho 3 (loai) Suy ra: P = 3k +1 thì 2P +1 = 2(3k +1)+1 = 6k +2+1 = 6k +3 chia hết cho 3 Vậy 2P +1 là hợp số. f)Cho p vµ 5p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chứng minh r»ng: 10p + 1 lµ hîp sè. Ta có P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì P có dạng 3k + 1; 3k +2 ( Nếu P = 3k +1 Thì 5P + 1 = 5(3k +1) +1 = 15k +5 +1 = 15k +6 chia hết cho 3 (loại) Suy ra: P = 3k + 2 thi 10P +1 = 10(3k +2) +1 = 30k +21 chia hết cho 3 Vậy : 10P +1 là hợp số g)Cho p vµ 8p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p 1 lµ hîp sè. 7 Ta có P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì P có dạng 3k + 1; 3k +2 ( Nếu P = 3k +1 Thì 8P + 1 = 8(3k +1) +1 = 24k +8 +1 = 24k +9 chia hết cho 3 (loại) Suy ra: P = 3k + 2 thi 8P -1 = 8(3k +2) -1 = 24k +15 chia hết cho 3 Vậy : 8P -1 là hợp số h)Cho p vµ 8p - 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p + 1 lµ hîp sè. Ta có P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì P có dạng 3k + 1; 3k +2 ( Nếu P = 3k +2 Thì 8P - 1 = 8(3k +2) -1 = 24k +16 -1 = 24k +15 chia hết cho 3 (loại) Suy ra: P = 3k + 1 thi 8P +1 = 8(3k +1) +1 = 24k +9 chia hết cho 3 Vậy : 8P +1 là hợp số Bµi 21: Chøng minh r»ng: a) NÕu p vµ q lµ hai sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× p 2 – q2 24. Lần 1: Ta có p, q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 suy ra: p, q chia 3 dư 1 hoặc 2 Thì p2, q2 chia 3 dư 1 suy ra : p2 – q2 3 Ta có p, q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì p, q lẻ chia 8 dư 1; 3 ; 5 ; 7 Thì p2, q2 chia 8 dư 1 suy ra : p2 – q2 24 Vậy : p2 – q2 24 Lần 2: Ta có p, q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 suy ra: p, q chia 3 dư 1 hoặc 2 Thì p2, q2 chia 3 dư 1 suy ra : p2 – q2 3 Ta có p, q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì p, q lẻ chia 8 dư 1; 3 ; 5 ; 7 Thì p2, q2 chia 8 dư 1 suy ra : p2 – q2 24 Vậy : p2 – q2 24 Lần 3: Ta có p, q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 suy ra: p, q chia 3 dư 1 hoặc 2 Thì p2, q2 chia 3 dư 1 suy ra : p2 – q2 3 Ta có p, q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì p, q lẻ chia 8 dư 1; 3 ; 5 ; 7 Thì p2, q2 chia 8 dư 1 suy ra : p2 – q2 24 Vậy : p2 – q2 24 8 b) NÕu a, a + k, a + 2k (a, k N*) lµ c¸c sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× k 6 Ta có a là số nguyên tố lớn hơn 3 thì a là số lẻ a + k là số nguyên tố lẻ lớn hơn 3 thì k chẵn suy ra k 2 Vì a, a +k , a + 2k chia 3 dư 1 hoặc 2 suy ra tồn tại hai số chia cho 3 có cùng số dư. Nếu a , a +k chia 3 có cùng số dư thì a + k – a 3 suy ra k 3 Nếu a, a + 2k chia cho 3 có cùng số dư thì a +2 k – a 3 suy ra 2k 3 thì k 3 Nếu a + k và a +2k chia cho 3 có cùng số dư thì a +2 k –a –k 3 thì k 3 Vậy k 6 Bµi 22: a)Mét sè nguyªn tè chia cho 42 cã sè d r lµ hîp sè. T×m sè d r. b)Mét sè nguyªn tè chia cho 30 cã sè d r. T×m sè d r biÕt r»ng r kh«ng lµ sè nguyªn tè. Bµi 23: Hai sè nguyªn tè gäi lµ sinh ®«i nÕu chóng lµ hai sè nguyªn tè lÎ liªn tiÕp. Chøng minh r»ng mét sè tù nhiªn lín h¬n 3 n»m gi÷a hai sè nguyªn tè sinh ®«i th× chia hÕt cho 6. Bµi 24: T×m 3 sè nguyªn tè liªn tiÕp p, q, r sao cho p 2 + q2 + r2 còng lµ sè nguyªn tè. Bµi 25: T×m tÊt c¶ c¸c bé ba sè nguyªn tè a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c + c.a. Bµi 26: T×m 3 sè nguyªn tè p, q, r sao cho pq + qp = r. Bµi 27: T×m c¸c sè nguyªn tè x, y, z tho¶ m·n xy + 1 = z. Bµi 28: T×m sè nguyªn tè Bài 29: Cho c¸c sè p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c N*) lµ c¸c sè nguyªn tè. Chøng minh r»ng 3 sè p, q, r cã Ýt nhÊt hai sè b»ng nhau. 9 3) C¸c sè 0 vµ 1 kh«ng ph¶i lµ sã nguyªn tè còng kh«ng ph¶i lµ hîp sè 4) BÊt kú sè tù nhiªn lín h¬n 1 nµo còng cã Ýt nhÊt mét íc sè nguyªn tè II/ Mét sè ®Þnh lý c¬ b¶n 1) §Þnh lý 1: D·y sè nguyªn tè lµ d·y sè v« h¹n Chøng minh: Gi¶ sö chØ cã h÷u h¹n sè nguyªn tè lµ p 1; p2; p3; ....pn. trong ®ã pn lµ sè lín nhÊt trong c¸c nguyªn tè. XÐt sè N = p 1 p2 ...pn +1 th× N chia cho mçi sè nguyªn tè pi (1  i  n) ®Òu d 1 (1) MÆt kh¸c N lµ mét hîp sè (v× nã lín h¬n sè nguyªn tè lín nhÊt lµ pn) do ®ã N ph¶i cã mét íc nguyªn tè nµo ®ã, tøc lµ N chia hÕt cho mét trong c¸c sè pi 10 (1  i  n). (2) Ta thÊy (2) m©u thuÉn (1). VËy kh«ng thÓ cã h÷u h¹n sè nguyªn tè. 2/ §Þnh lý 2: Mäi sè tù nhiªn lín h¬n 1 ®Òu ph©n tÝch ®îc ra thõa sè nguyªn tè mét c¸ch duy nhÊt (kh«ng kÓ thø tù c¸c thõa sè). Chøng minh: * Mäi sè tù nhiªn lín h¬n 1 ®Òu ph©n tÝch ®îc ra thõa sè nguyªn tè: ThËt vËy: gi¶ sö ®iÒu kh¼ng ®Þnh trªn lµ ®óng víi mäi sè m tho¶ m·n: 1< m < n ta chøng minh ®iÒu ®ã ®óng víi mäi n. NÕu n lµ nguyªn tè, ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. NÕu n lµ hîp sè, theo ®Þnh nghÜa hîp sè, ta cã: n = a.b (víi a, b < n) Theo gi¶ thiÕt quy n¹p: a vµ b lµ tÝch c¸c thõa sè nhá h¬n n nªn n lµ tÝch cu¶ c¸c thõa sè nguyªn tè. * Sù ph©n tÝch lµ duy nhÊt: Gi¶ sö mäi sè m < n ®Òu ph©n tÝch ®îc ra thõa sè nguyªn tè mét c¸ch duy nhÊt, ta chøng minh ®iÒu ®ã ®óng víi n: NÕu n lµ sè nguyªn tè th× ta ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh. NÕu n lµ hîp sè: Gi¶ sö cã 2 c¸ch ph©n tÝch n ra thõa sè nguyªn tè kh¸c nhau: n = p.q.r.... n = p’.q’.r’.... Trong ®ã p, q, r ..... vµ p ’, q’, r’.... lµ c¸c sè nguyªn tè vµ kh«ng cã sè nguyªn tè nµo còng cã mÆt trong c¶ hai ph©n tÝch ®ã (v× nÕu cã sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nh trªn, ta cã thÓ chia n cho sè ®ã lóc ®ã thêng sÏ nhá h¬n n, th¬ng nµy cã hai c¸ch ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè kh¸c nhau, tr¸i víi gi¶ thiÕt cña quy n¹p). Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, ta cã thÓ gi¶ thiÕt p vµ p ’ lÇn lît lµ c¸c sè nguyªn tè nhá nhÊt trong ph©n tÝch thø nhÊt vµ thø hai. V× n lµ hîp sè nªn n’ > p2 vµ n > p’2 Do p = p’ => n > p.p’ 11 XÐt m = n - pp’ < n ®îc ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè mét c¸ch duy nhÊt ta thÊy: p | n => p | n – pp’ hay p | m p’| n => p’| n – pp’ hay p’| m Khi ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè ta cã: m = n - pp’ = pp’ . P.Q ... víi P, Q P ( P lµ tËp c¸c sè nguyªn tè)  pp’ | n = pp’ | p.q.r ... => p’ | q.r ... => p’ lµ íc nguyªn tè cña q.r ... Mµ p’ kh«ng trïng víi mét thõa sè nµo trong q,r ... (®iÒu nµy tr¸i víi gØa thiÕt quy n¹p lµ mét sè nhá h¬n n ®Òu ph©n tÝch ®îc ra thõa sè nguyªn tè mét c¸ch duy nhÊt). VËy, ®iÒu gi¶ sö kh«ng ®óng, n kh«ng thÓ lµ hîp sè mµ n ph¶i lµ sè nguyªn tè (§Þnh lý ®îc chøng minh). III/ C¸ch nhËn biÕt mét sè nguyªn tè C¸ch 1: Chia sè ®ã lÇn lît cho c¸c nguyªn tè tõ nhá ®Õn lín: 2; 3; 5; 7... NÕu cã mét phÐp chia hÕt th× sè ®ã kh«ng nguyªn tè. NÕu thùc hiÖn phÐp chia cho ®Õn lóc th¬ng sè nhá h¬n sè chia mµ c¸c phÐp chia vÉn cã sè d th× sè ®ã lµ nguyªn tè. C¸ch 2: Mét sè cã hai íc sè lín h¬n 1 th× sè ®ã kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè Cho häc sinh líp 6 häc c¸ch nhËn biÕt 1 sè nguyªn tè b»ng ph¬ng ph¸p thø nhÊt (nªu ë trªn), lµ dùa vµo ®Þnh lý c¬ b¶n: ¦íc sè nguyªn tè nhá nhÊt cña mét hîp sè A lµ mét sè kh«ngvît qu¸ A. §Æc biÖt: Víi d·y 25 sè nguyªn tè nhá h¬n 100 nªn cho häc sinh häc thuéc, tuy nhiªn khi g¨p 1 sè a nµo ®ã (a < 100) muèn xÐt xem a lµ sè nguyªn tè hay hîp sè ta thö a cã chia hÕt cho 2; 3; 5; 7 hay kh«ng. + NÕu a chia hÕt cho 1 trong 4 sè ®ã th× a lµ hîp sè. + NÕu a kh«ng chia hÕt cho sè nµo ®ã trong 4 sè trªn th× a lµ sè nguyªn tè. 12 Víi quy t¾c trªn trong mét kho¶n thêi gian ng¾n, víi c¸c dÊu hiÖu chia hÕt th× häc sinh nhanh chãng tr¶ lêi ®îc mét sè cã hai ch÷ sè nµo ®ã lµ nguyªn tè hay kh«ng. HÖ qu¶: NÕu cã sè A > 1 kh«ng cã mét íc sè nguyªn tè nµo tõ 2 ®Õn A th× A lµ mét nguyªn tè. (Do häc sinh líp 6 cha häc kh¸i niÖm c¨n bËc hai nªn ta kh«ng ®Æt vÊn ®Ò chøng minh ®Þnh lý nµy, chØ giíi thiÖu ®Ó häc sinh tham kh¶o.). IV/ Sè c¸c íc sè vµ tæng c¸c íc sè cña 1 sè: Gi¶ sö: A = p1X1 . p2X2 ......pnXn Trong ®ã: pi P ; xi N ; i = 1, n a) Sè c¸c íc sè cña A tÝnh b»ng c«ng thøc: T(A) = (x1 + 1)(x2 + 1) .....(xn + 1) VÝ dô: 30 = 2.3.5 th× T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8 ThËt vËy: ¦(30) = 1;2;3;5;6;10;15;30 ¦(30) cã 8 ph©n tö øng dông: Cã thÓ kh«ng cÇn t×m ¦(A) vÉn biÕt A cã bao nhiªu íc th«ng qua viÖc ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè. 3100 cã (100 + 1) = 101 íc 1 000 000 000 = 109 = 29.59 cã (9 + 1)(9+1) = 100 íc ý nghÜa: Khi th«ng b¸o cho häc sinh c¸ch tÝnh sè íc cña mét sè c¸c em cã thÓ tin tëng khi viÕt mét tËp hîp íc cña mét sè vµ kh¼ng ®Þnh ®· ®ñ hay cha. b) Tæng c¸c íc mét sè cña A tÝnh b»ng c«ng thøc: p1X1 + 1 p2X2 + 1 pnXn + 1 1 1 1 (A) = . … p1 - 1 p2 - 1 pn - 1 V/ Hai sè nguyªn tè cïng nhau: 1- Hai sè tù nhiªn ®îc gäi lµ nguyªn tè cïng nhau khi vµ chØ khi chóng cã íc chung lín nhÊt (¦CLN) b»ng 1. a, b nguyªn tè cïng nhau <=> (a,b) = 1 a,b N 2- Hai sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n nguyªn tè cïng nhau 13 3- Hai sè nguyªn tè kh¸c nhau lu«n nguyªn tè cïng nhau 4- C¸c sè a,b,c nguyªn tè cïng nhau <=> (a,b,c) = 1 5- a,b,c nguyªn tè s¸nh ®«i khi chóng ®«i mét nguyªn tè cïng nhau a,b,c nguyªn tè s¸nh ®«i <=> (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1 VI/ Mét sè ®Þnh lý ®Æc biÖt 1) §Þnh lý §irichlet Tån t¹i v« sè sè nguyªn tè p cã d¹ng: p = ax + b (x N, a, b lµ 2 sè nguyªn tè cïng nhau). ViÖc chøng minh ®Þnh lý nµy kh¸ phøc t¹p, trõ mét sè trêng hîp ®Æc biÖt. VÝ dô: Chøng minh r»ng cã v« sè sè nguyªn tè d¹ng: 2x – 1; 3x – 1; 4x + 3; 6x + 5..... 2) §Þnh lý Tchebycheff Trong kho¶ng tõ sè tù nhiªn n ®Õn sè tù nhiªn 2n cã Ýt nhÊt mét sè nguyªn tè (n > 2). 3) §Þnh lý Vinogradow Mäi sè lÎ lín h¬n 33 lµ tæng cña 3 sè nguyªn tè. C¸c ®Þnh lý 2 vµ 3 ta cã thÓ giíi thiÖu cho häc sinh tham kh¶o vµ sö dông ®Ó gi¶i mét sè bµi tËp. 14 PhÇn II Mét sè bµi to¸n c¬ b¶n VÒ sè nguyªn tè D¹ng 1: Cã bao nhiªu sè nguyªn tè d¹ng ax + b (víi x N vµ (a,b) = 1) Bµi tËp sè 1: Chøng minh r»ng: cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng: 3x – 1 (x<1) Gi¶i: Gi¸o viªn gîi ý vµ híng dÉn häc sinh ®Ó häc sinh tù rót ra nhËn xÐt: Mäi sè tù nhiªn kh«ng nhá h¬n 2 cã 1 trong 3 d¹ng: 3x; 3x + 1; hoÆc 3x - 1 +) Nh÷ng sè cã d¹ng 3x (víi x>1) lµ hîp sè +) XÐt 2 sè cã d¹ng 3x + 1: ®ã lµ sè (3m + 1) vµ sè (3n + 1) XÐt tÝch (3m + 1)(3n + 1) = 9mn + 3m + 3n + 1 = 3x + 1 TÝch trªn cã d¹ng: 3x + 1 +) LÊy mét sè nguyªn tè p cã d¹ng 3x – 1 (víi p bÊt kú  p) ta lËp tÝch cña p víi tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè nhá h¬n p råi trõ ®i ta cã: M = 2.3.5.7....p – 1 = 3(2.5.7....p) – 1 M cã d¹ng: 3x – 1 Cã 2 kh¶ n¨ng x¶y ra: * Kh¶ n¨ng 1: M lµ sè nguyªn tè, ®ã lµ sè nguyªn tè cã d¹ng (3x – 1) > p, bµi to¸n ®îc chøng minh. * Kh¶ n¨ng 2: M lµ hîp sè: Ta chia M cho 2, 3, 5,....,p ®Òu tån t¹i mét sè d kh¸c 0 nªn c¸c íc nguyªn tè cña M ®Òu lín h¬n p, trong c¸c íc nµy kh«ng cã sè nµo cã d¹ng 3x + 1 (®· chøng minh trªn). Do ®ã Ýt nhÊt mét trong c¸c íc nguyªn tè cña M ph¶i cã d¹ng 3x (hîp sè) hoÆc 3x + 1.... 15 V× nÕu tÊt c¶ cã d¹ng 3x + 1 th× M ph¶i cã d¹ng 3x + 1 (®· chøng minh trªn). Do ®ã, Ýt nhÊt mét trong c¸c íc nguyªn tè cña M ph¶i cã d¹ng 3x + 1, íc nµy lu«n lín h¬n p. VËy: Cã v« sè sè nguyªn tè d¹ng 3x – 1. Bµi tËp sè 2: Chøng minh r»ng: Cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng 4x + 3 (víi x N) NhËn xÐt: C¸c sè nguyªn tè lÎ kh«ng thÓ cã d¹ng 4x hoÆc 4x + 2. VËy chóng chØ cã thÓ tån t¹i díi 1 trong 2 d¹ng 4x + 1 hoÆc 4x + 3. Ta sÏ chøng minh cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng 4x + 3 +) XÐt tÝch 2 sè cã d¹ng 4x + 1 lµ: 4m + 1 vµ 4n + 1 Ta cã: (4m + 1)(4n + 1) = 16mn + 4m + 4n + 1 = 4(4mn + m + n) + 1 = 4x +1 VËy tÝch cña 2 sè cã d¹ng 4x + 1 lµ mét sè còng cã d¹ng 4x + 1 +) LÊy mét sè nguyªn tè p bÊt kú cã d¹ng 4x – 1, ta lËp tÝch cña 4p víi tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè nhá h¬n p råi trõ ®i 1 khi ®ã ta cã: N = 4(2.3.5.7 ..... p) – 1 Cã 2 kh¶ n¨ng x¶y ra * Kh¶ n¨ng 1: N lµ sè nguyªn tè => N = 4(2.3.5.7....p) – 1 cã d¹ng 4x – 1. Nh÷ng sè nguyªn tè cã d¹ng 4x – 1 còng chÝnh lµ nh÷ng sè cã d¹ng 4x + 3 vµ bµi to¸n ®îc chøng minh. * Kh¶ n¨ng 2: N lµ hîp sè: Chia N cho 2, 3, 5, ...., p ®Òu ®îc c¸c sè d kh¸c 0 => c¸c íc nguyªn tè cña N ®Òu lín h¬n p. C¸c íc nµy kh«ng thÓ cã d¹ng 4x hoÆc 4x + 2 (v× ®ã lµ hîp sè). Còng kh«ng thÓ toµn c¸c íc cã d¹ng 4x + 1 v× nh thÕ N ph¶i cã d¹ng 4x + 1. Nh vËy trong c¸c íc nguyªn tè cña N cã Ýt nhÊt 1 íc cã d¹ng 4x – 1 mµ íc nµy hiÓn nhiªn lín h¬n p. VËy: Cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng 4x – 1 (hay cã d¹ng 4x + 3). 16 Trªn ®©y lµ mé sè bµi to¸n chøng minh ®¬n gi¶n cña ®Þnh lý §irielet: Cã v« sè sè nguyªn tè d¹ng ax + b trong ®ã x N ,(a,b) = 1. Môc ®Ých cña nh÷ng bµi tËp d¹ng nµy lµ: RÌn luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng t duy s©u, c¸ch xem xÐt vµ kÕt luËn vÒ mét vÊn ®Ò to¸n häc b»ng c¸ch xÐt hÕt c¸c kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra, dïng nh÷ng vÊn ®Ò to¸n häc ®· ®îc chøng minh hoÆc ®· biÕt ®Ó lo¹i bá c¸c kh¶ n¨ng kh«ng thÓ x¶y ra vµ lµm s¸ng tá vÊn ®Ò cÇn ph¶i chøng minh. Sau khi thµnh th¹o d¹ng to¸n nµy häc sinh líp 6 hiÓu ®îc s©u s¾c h¬n, cã kh¸i niÖm râ rµng h¬n. ThÕ nµo lµ chøng minh mét vÊn ®Ò to¸n häc vµ cã ®îc nh÷ng kü n¨ng, kü x¶o chøng minh cÇn thiÕt. Tuy nhiªn, víi d¹ng to¸n nµy, ë tr×nh ®é líp 6 c¸c em chØ gi¶i quyÕt ®îc nh÷ng bµi tËp ë d¹ng ®¬n gi¶n. ViÖc chøng c¸c bµi tËp ë d¹ng nµy phøc t¹p h¬n, c¸c em sÏ gÆp nhiÒu khã kh¨n chø kh«ng thÓ dÔ dµng chøng minh ®îc. Ch¼ng h¹n chøng minh vÒ v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng 4a + 1; 6a + 1......... phøc t¹p h¬n nhiÒu. DẠNG 2: C¸c bµi to¸n chøng minh Sè nguyªn tè Bµi tËp sè 1: Chøng minh r»ng: (p – 1)! chia hÕt cho p nÕu p lµ hîp sè, kh«ng chia hÕt cho p nÕu p lµ sè nguyªn tè. Gi¶i: +) XÐt trêng hîp p lµ hîp sè: NÕu p lµ hîp sè th× p lµ tÝch cña c¸c thõa sè nguyªn tè nhá h¬n p vµ sè mò c¸c luü thõa nµy kh«ng thÓ lín h¬n sè mò cña chÝnh c¸c luü thõa Êy chøa trong (p – 1)!. VËy: (p – 1) !: p (®iÒu ph¶i chøng minh). +) XÐt trêng hîp p lµ sè nguyªn tè: V× p P => p nguyªn tè cïng nhau víi mäi thõa sè cña (p – 1)! (v× p > p-1 => (p – 1)! : p (®iÒu ph¶i chøng minh) Bµi tËp sè 2: Cho 2m – 1 lµ sè nguyªn tè 17 Chøng minh r»ng m còng lµ sè nguyªn tè. Gi¶i: Gi¶ sö m lµ hîp sè => m = p.q ( p, q N; p, q > 1) m p,q p q Khi ®ã: 2 – 1 = 2 - 1 = (2 ) – 1 = (2p – 1)(2p(q-1) + 2p(q-2) + .....+ 1) v× p > 1 (gi¶ thiÕt) cña ®iÒu gi¶ sö => 2p – 1 > 1 vµ (2p(q-1) + 2p(q-2) + .....+ 1) > 1 DÉn ®Õn 2m – 1 lµ hîp sè (tr¸i víi gi¶ thiÕt 2m –1 lµ sè nguyªn tè)  §iÒu gi¶ sö kh«ng thÓ x¶y ra. VËy m ph¶i lµ sè nguyªn tè (®iÒu ph¶i chøng minh) Bµi tËp sè 3: Chøng minh r»ng: 1994! – 1 cã mäi íc sè nguyªn tè lín h¬n 1994. Gi¶i: (Chøng minh b»ng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng) Gäi p lµ íc sè nguyªn tè cña (1994! – 1) Gi¶ sö p 1994 => 1994. 1993 ..... 3. 2. 1 : p <=> 1994! : p mµ (1994! – 1) : p => 1 : p (v« lý) VËy: p kh«ng thÓ nhá h¬n hoÆc b»ng 1994 hay p > 1994 (®iÒu ph¶i chøng minh). Bµi tËp sè 4: Chøng minh r»ng: n > 2 th× gi÷a n vµ n! cã Ýt nhÊt 1 sè nguyªn tè (tõ ®ã suy ra cã v« sè sè nguyªn tè). Gi¶i: V× n > 2 nªn k = n! – 1 > 1, do ®ã k cã Ýt nhÊt mét íc sè nguyªn tè p. Ta chøng minh p > n .ThËt vËy: nÕu p  n th× n! : p Mµ k : p => (n! – 1) : p.Do ®ã: 1:p (v« lý) VËy: p > n=>n < p < n! – 1 < n! (§iÒu ph¶i chøng minh) Dạng 3 T×m sè nguyªn tè Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tríc Bµi tËp sè 1: 18 T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña sè nguyªn tè p ®Ó: p + 10 vµ p + 14 còng lµ sè nguyªn tè. Gi¶i: (Ph¬ng ph¸p: Chøng minh duy nhÊt) + NÕu p = 3 th× p + 10 = 3 + 10 = 13 vµ p + 14 = 3 + 14 = 17 ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè  p = 3 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m + NÕu p  3 => p cã d¹ng 3k + 1 hoÆc d¹ng 3k – 1 * NÕu p = 3k + 1 th× p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) : 3 * NÕu p = 3k – 1 th× p + 10 = 3k + 9 = 3(k + 3) : 3 VËy nÕu p  3 th× hoÆc p + 10 hoÆc p + 14 lµ hîp sè. => kh«ng tháa m·n bµi ra Do ®ã: gi¸ trÞ duy nhÊt cÇn t×m lµ: p = 3 Bµi tËp sè 2: T×m sè nguyªn tè p ®Ó p + 2; p + 6; p + 18 ®Òu lµ sè nguyªn tè. Gi¶i: B»ng c¸ch gi¶i t¬ng tù bµi tËp sè 1, häc sinh dÔ dµng t×m ®îc p = 5 tho¶ m·n bµi ra. Xong kh«ng chøng minh ®îc p = 5 lµ gi¸ trÞ duy nhÊt v× dÔ dµng thÊy p = 11 còng tho¶ m·n bµi ra. VËy víi bµi tËp nµy, häc sinh chØ cÇn chØ ra mét vµi gi¸ trÞ cña p tho¶ m·n lµ ®ñ. Bµi tËp sè 3: T×m k ®Ó trong 10 sè tù nhiªn liªn tiÕp: k + 1; k +2; k +3;....k +10 cã nhiÒu sè nguyªn tè nhÊt. Gi¶i: Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh rót ra nhËn xÐt: Trong 10 sè tù nhiªn liªn tiÕp, cã 5 sè ch½n vµ 5 sè lÎ (trong 5 sè ch½n, cã nhiÒu nhÊt lµ 1 sè nguyªn tè ch½n lµ 2). VËy: trong 10 sè ®ã cã kh«ng qu¸ 6 sè nguyªn tè +) NÕu k = 0, tõ 1 ®Õn 10 cã 4 sè nguyªn tè: 2; 3; 5; 7 +) NÕu k = 1 tõ 2 ®Õn 11 cã 5 sè nguyªn tè: 2; 3; 5; 7; 11 +) NÕu k > 1 tõ 3 trë ®i kh«ng cã sè ch½n nµo lµ sè nguyªn tè. Trong 5 sè lÎ liªn tiÕp, Ýt nhÊt cã 1 sè lµ béi sè cña 3 do ®ã, d·y sÏ cã Ýt h¬n 5 sè nguyªn tè. 19 VËy víi k = 1, d·y t¬ng øng: k + 1; k + 2, ..... k + 10 cã chøa nhiÒu sè nguyªn tè nhÊt (5 sè nguyªn tè). Bµi tËp sè 4: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè p ®Ó: 2p + p2 còng lµ sè nguyªn tè Gi¶i: XÐt hai trêng hîp: +) p  3 <=> p = 2 hoÆc p = 3 * NÕu p = 2 => 2p + p2 = 22 + 22 = 8  P * NÕu p = 3 => 2p + p2 = 22 + 32 = 17 +) p > 3 ta cã 2p + p2=(p2 – 1) + (2p + 1) v× p lÎ => (2p + 1) 3 vµ p2 – 1 = (p + 1)(p – 1) 3 => 2p + p2  P P VËy: Cã duy nhÊt 1 gi¸ trÞ p = 3 tho¶ m·n bµi ra. Bµi tËp sè 6: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè sao cho: p | 2p + 1 Gi¶i: V× p P ,p | 2p + 1 => p  2 Ta thÊy: 2 |p v× p  2 Theo ®Þnh lý Fermatm ta cã: p | 2p-1 – 1 Mµ p | 2p + 1 (gi¶ thiÕt) => p | 2.2p-1 – 2 + 3 => p | 2(2p-1 – 1) + 3 => p | 3 [v× p | 2(2p-1 – 1)] V× p P p | 3 => p = 3 VËy: p = 3 lµ sè nguyªn tè tho¶ m·n tÝnh chÊt p | 2p + 1 Tãm l¹i: C¸c bµi to¸n thuéc d¹ng: T×m sè nguyªn tè tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cho tríc lµ lo¹i to¸n kh«ng khã trong c¸c lo¹i bµi to¸n vÒ sè nguyªn tè. Qua lo¹i to¸n nµy, gi¸o viªn cÇn cè g¾ng trang bÞ cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt vÒ sè nguyªn tè. §Æc biÖt gióp häc sinh n¾m v÷ng: Sè 2 lµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt vµ nhá nhÊt cña tËp sè nguyªn tè. 20