Đường trung bình của tam giác, hình thang

Lý thuyết

Bài 43 (Sách bài tập - trang 85)

Hình thang ABCD có AB // CD, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh A và D cắt nhau tại M, các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau tại N

a) Chứng minh rằng MN // CD

b) Tính độ dài MN theo a, b, c, d (a, b, c, d có cùng đơn vị đo)

Hướng dẫn giải

xet tam giac ADM có
gocDAM=1/2 goc ngoai tai A
gocADM=1/2goc ngoai tai D
cong lai:gocADM+gocDAM=90*=> tam giac ADM vuông tại M
tương tự tam giac BNC vuông tại N
keo dai AM va` BN cắt CD tại E,F
xet tam giac ADE co DM vừa la` đường cao vừa la` phân giác => tam giac ADE can tai D=>DM la` trung tuyến =>M la` trung điểm AE
tương tự N la` trung diem BF
=> MN la` đuơng trung binh cua hinh thang AEFB =>MN//CD

Bài 38 (Sách bài tập - trang 84)

Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Chứng minh rằng DE // IK, DE = IK ?

Hướng dẫn giải

Bài 44 (Sách bài tập - trang 85)

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi O là trung điểm của AM. Qua O kẻ đường thẳng d cắt các cạnh AB và AC. Gọi AA', BB', CC' là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C đến đường thẳng d.

Chứng minh rằng :

                     \(AA'=\dfrac{BB'+CC'}{2}\)

 

Hướng dẫn giải

Bài 35 (Sách bài tập - trang 84)

Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC.

Chứng minh rằng ba điểm E, I, F thẳng hàng ?

Hướng dẫn giải

Bài 40 (Sách bài tập - trang 84)

Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE. 

Chứng minh rằng :

             \(MI=IK=KN\)

Hướng dẫn giải

Vậy \(MI=IK=KN\)

Bài 36 (Sách bài tập - trang 84)

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC.  Chứng minh rằng :

a) EI // CD, IF // AB

b) \(EF\le\dfrac{AB+CD}{2}\)

Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ:

a) Xét \(\Delta ADC\) có:

AE = ED (gt)

AI = IC (gt)

=> EI là đường trung bình

=> EI // DC

Xét \(\Delta CAB\) có:

AI = IC (gt)

BF = FC (gt)

=> IF là đường trung bình

=> IF // AB

b) Ta có: EF \(\le\) EI + IF

mà IF + EF = \(\dfrac{1}{2}\) AB + \(\dfrac{1}{2}\) CD

= \(\dfrac{1}{2}\) (AB + CD)

=> EF \(\le\) \(\dfrac{\left(AB+CD\right)}{2}\) (đpcm)

Bài 42 (Sách bài tập - trang 84)

Chứng minh rằng trong hình thang mà hai đáy không bằng nhau, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo bằng nửa hiệu hai đáy ?

Hướng dẫn giải

Xét hình thang ABCD có AB // CD và AB < CD.

Gọi M là trung điểm AB, E là trung điểm của BD, F là trung điểm của AC.

Bài 34 (Sách bài tập - trang 84)

Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho \(AD=\dfrac{1}{2}DC\). Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. 

Chứng minh rằng AI = IM ?

Hướng dẫn giải

Ta gọi E là trung điểm của DC

Vì tam giác ABC có

BM = MC

DE = EC

=> BD // ME

=> DI // ME

mà tâm giac ADE có AD = DE và DI // ME nên AI = IM (đpcm)

Bài 37 (Sách bài tập - trang 84)

Cho hình thang ABCD (AB //CD), M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, AC. Cho biết AB = 6cm, CD = 14 cm. Tính độ dài MI, IK, KN ?

Hướng dẫn giải

Bài 4.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 85)

Trên hình bs.1

Ta có AB // CD // EF // GH và A = CE = EG. Biết CD = 9, GH = 13. Các độ dài AB và EF bằng :

(A) 8 và 10                        (B) 6 và 12

(C) 7 và 11                        (D) 7 và 12

Hướng dẫn giải

là C

Bài 4.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 85)

Cho đường thẳng d và hai điểm A, B có khoảng cách đến đường thẳng d theo thứ tự là 20cm và 6cm. Gọi C là trung điểm AB. Tính khoảng cách từ C đén đường thẳng d ?

Hướng dẫn giải

Xét hai trường hợp :

- Trường hợp A và B nằm cùng phía đối với đường thẳng d (h.bs.6a). Ta tính được :

\(CH=\dfrac{20+6}{2}=13\left(cm\right)\)

- Trường hợp A và B nằm khác phía đối với đường thẳng d (h.bs.6b). Ta tính được :

\(CH=CK-HK=10-3=7\left(cm\right)\)

Bài 41 (Sách bài tập - trang 84)

Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của hai đường chéo và đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai 

Hướng dẫn giải

Bài 39 (Sách bài tập - trang 84)

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD và AC.

Chứng minh rằng : 

                \(AE=\dfrac{1}{2}EC\)

Hướng dẫn giải

Gọi F là trung điểm của EC

Trong ∆ CBE ta có:

M là trung điểm của cạnh CB

F là trung điểm của cạnh CE

Nên MF là đường trung bình của ∆ CBE

⇒ MF // BE (tính chất đường trung bình của tam giác)

Hay DE // MF

Trong tam giác AMF ta có:

D là trung điểm của AM

DE // MF

Suy ra: AE = EF (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mà

Bài 4.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 85)

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = AB. Gọi K là giao điểm của DM và AC. Chứng minh rằng AK = 2 KC

Hướng dẫn giải

Từ B kẻ BH // AC

Ta có: AB = BD, BH // AC

=> BH là đường trung bình của \(\Delta ADK\)

=> \(BH=\dfrac{1}{2}AK\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét \(\Delta BHM\) và \(\Delta CKM\) có:

\(\widehat{KMC}=\widehat{BHM}\) (2 góc đối đỉnh)

CM = MB (M trung điểm CB)

\(\widehat{MBH}=\widehat{CKM}\) (KC // BH)

=> \(\Delta BHM=\Delta CKM\left(g.c.g\right)\)

=> KC = BH (2 cạnh tương ứng)

mà \(BH=\dfrac{1}{2}AK\) (cmt)

=> \(KC=\dfrac{1}{2}AK\)

\(\Rightarrow AK=2KC\left(đpcm\right)\)