Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 năm học 2014 - 2015 huyện Hoằng Hóa, Thanh Hóa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 18/03/2015 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang) Bài 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: a. A = b. B = 3.{5.[(52 + 23): 11] 16} + 2015 c. Bài 2 (4,0 điểm) a. Tìm số tự nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50 b. Tìm các chữ số x; y để A = chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1. c. Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 - 1 chia hết cho 3. Bài 3 (4,5 điểm) a. Cho biểu thức : Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên. b.Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x2 + 117 = y2 c. Số viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số . Bài 4 (5,0 điểm) Cho góc = 550. Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A; C ( A B; C B). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho = 300 a. Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm. b. Tính số đo của . c. Từ B vẽ tia Bz sao cho = 90 0. Tính số đo . Bài 5 (2,0 điểm) a. Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: b. Cho . Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5. .............. Hết............. Họ và tên thí sinh:............................................ SBD........................................ Giám thị 1:.................................................... Giám thị 2:.............................. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 - MÔN : TOÁN NĂM HỌC 2014 - 2015 Nội dung cần đạt Bài 1 (4,5 đ) a. A== Điểm 1,5 đ b. B= 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 = 3.{5.[33 : 11] - 16} + 2015 0,5 đ =3.{15-16} + 2015 = 3.(-1) + 2015 = 2012 1,0 đ c. C= 0,5đ 0,5 đ 0,5 đ a. Biến đổi được: (x- 1.0 đ 3)2=144 Vì x là số tự nhiên nên x = -9 (loại). Vậy x = 15 b. Do A =chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1. Ta có A = 0.5 đ 0,5 đ Vì A = chia cho 9 dư 1  - 1 9 9 2 (4,0 đ) 3 (4,5 đ)  x + 1 + 8 + 3 + 0 9  x + 3 9, 0,5 đ mà x là chữ số nên x = 6 Vậy x = 6; y = 1 0,5 đ c. Xét số nguyên tố p khi chia cho 3.Ta có: p=3k+1 hoặc p=3k+2 ( kN*) Nếu p=3k+1 thì p2-1 = (3k+1)2 -1 = 9k2+6k chia hết cho 3 Nếu p=3k+2 thì p2-1 = (3k+2)2-1 = 9k2 + 12k chia hết cho 3 Vậy p2-1 chia hết cho 3. a. Để B nhận giá trị nguyên thì n - 3 phải là ước của 5 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0,5 đ => n - 3 {-1;1;-5;5} => n{ -2 ; 2; 4; 8} 0,75 đ Đối chiếu đ/k ta được n{ -2 ; 2; 4; 8} 0,25 đ b. Với x = 2, ta có: 22 + 117 = y2  y2 = 121  y = 11 (là số nguyên tố) * Với x > 2, mà x là số nguyên tố nên x lẻ  y2 = x2 + 117 là số chẵn => y là số chẵn kết hợp với y là số nguyên tố nên y = 2 (loại) Vậy x = 2; y = 11. 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ c. Ta có : 1030= 100010 và 2100 =102410. Suy ra : 1030 < 2100 (1) 0,5đ Lại có : 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 và 1031=231.528.53=231.6257.125 0,5đ 100 31 100 Nên : 2 < 10 (2). Từ (1) và(2) suy ra số 2 viết trong hệ thập phân có 0,5đ 31 chữ số . A x z 0,5 đ D B C y 4 (5,0 đ) 5 (2,0 đ) z, a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C => AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC ta có đẳng thức: => = 550 – 300 = 250 c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD Tính được = - Trường hợp 2: Tia Bz, và BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA Tính được = 900 + = a. Ta có: (1)  100. + = 7. .  (7. 100) =  7. - 100 = Vì 0 < < 10 nên 0 < 7. - 100 < 10  100 < 7. < 110  . Vậy = 15 thay vào (1) được  1005 + 110b = 1050 + 105.b  5b = 45  b =9 Vậy a = 1; b = 9; c = 5 b) V× 2012 ; 92 ®Òu lµ béi cña 4 nªn vµ còng lµ béi cña 4 Khi ®ã tøc lµ cã tËn cïng b»ng 0 hay DÔ thÊy > 0 mµ suy ra . 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5đ 0,5đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Suy ra A là số tự nhiên chia hết cho 5.