Đề ôn tập HSG Toán 9

ĐỀ ÔN TẬP HSG LỚP 9
Câu 1.
a) Cho

là các số dương và thỏa mãn đẳng thức

.

Chứng minh rằng:
b) Giả sử các số

thỏa mãn

và

.

Chứng minh rằng:
Câu 2.
a) Chứng minh rằng nếu

là các số nguyên dương thỏa mãn

b) Tìm tất cả các số nguyên dương
thỏa mãn phương trình
n
c) Tìm số tự nhiên n để 2 + 15 là số chính phương.
Câu 3.
1. Cho
a)

thì

.

.

là các số dương. Chứng minh rằng:
.

b)
.
2
2
2
2. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.
3. Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 4 .
1. Cho ∆ABC vuông ở A (AB < AC). Biết BC =
và bán kính đường tròn nội tiếp
∆ABC bằng 2. Tính số đo góc B và góc C của ∆ABC.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông
cân tại B, ACF vuông cân tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC
và BF. Kẻ DM vuông góc với BC, FN vuông góc với BC.
a) Chứng minh DM + FN = BC.
b) Chứng minh AH = AK.
Câu 5. Giải các phương trình
a)
b)