Dạng vecto toán 10

THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường MỤC LỤC A. HAI VÉCTƠ BẰNG NHAU .............................................................................................................................................. 2 I. Chứng minh các véctơ bằng nhau ............................................................................................................................ 2 II. Tính độ dài véctơ ...................................................................................................................................................... 3 BÀI TẬP ........................................................................................................................................................................ 3 B. TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉCTƠ ........................................................................................................................................... 4 Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều véctơ............................................................................................ 4 Dạng 2 : Tìm vectơ đối và hiệu của hai véctơ .............................................................................................................. 4 Dạng 3 : Chứng minh Đẳng thức véctơ ....................................................................................................................... 4 Dạng 4 : Tính độ dài véctơ ............................................................................................................................................ 5 Bài tập ............................................................................................................................................................................ 6 C.TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ ...................................................................................................................................... 7 Dạng1 : Chứng minh đẳng thức véctơ: ........................................................................................................................ 7 Bài tập .......................................................................................................................................................................... 10 Dạng 2: Tìm một điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ cho trước: ........................................................................... 11 Bài tập .......................................................................................................................................................................... 13 Dạng 3: Phân tích một véctơ theo hai véctơ không cùng phương. ........................................................................... 14 Bài tập .......................................................................................................................................................................... 18 Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng ................................................................................................................ 18 Bài tập .......................................................................................................................................................................... 22 Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau: .............................................................................................................. 23 Bài tập .......................................................................................................................................................................... 24 Dạng 6: Quỹ tích điểm ................................................................................................................................................ 24 Bài tập .......................................................................................................................................................................... 26 MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG. ........................................................................................................................ 26 Bài tập .......................................................................................................................................................................... 29 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .................................................................................................................................................. 30 1.1 Xác đinh véctơ ....................................................................................................................................................... 30 1.2 Tổng – Hiệu hai véc tơ .......................................................................................................................................... 30 1.3 Tích véctơ với một số ............................................................................................................................................. 31 Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 1/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Chuû ñeà 1 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường PHEÙP TOAÙN VEÙCTÔ  A. HAI VÉCTƠ BẰNG NHAU I. Chứng minh các véctơ bằng nhau Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh: OM  AN Giải: OA kéo dài cắt đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC tại D. A Ta có DC  AC,DB  AB ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  BH / /DC,CH / /DB  BHCD là hình bình hành  H,M,D N thẳng hàng và MH=MD. 1 H O Trong tam giác DAH có OM//AH và OM  AH 2 Suy ra OM  AN . C B M D Ví dụ 2:Cho hình vuông ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là các điểm trên các cạnh AB,BC,CD và AM BN CP DQ 1 DA sao cho     . Chứng minh rằng: MN  QP,MQ  NP . AB BC CD DA 3 Giải: Từ giả thiết ta suy ra AM=BN=CP=DQ  MNPQ là hình bình N C B hành  MN  QP và MQ  NP P M A Q D Ví dụ 3:Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD và DA. Chứng minh rằng: NP  MQ , PQ  NM . Giải: Từ giả thiết ta suy ra MN=PQ và MN//PQ vì chúng đều C N 1 B bằng AC và đều song song với AC. Vậy tứ giác 2 P MNPQ là hình bình hành nên ta có M NP  MQ , PQ  NM A D Q Ví dụ 4:Cho hình bình hành ABCD. Dựng AM  BA ;MN  DA ; NP  DC . Chứng minh MP  DB ; MD  PB Giải: Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 2/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường Ta có B,A,M thẳng hàng và AB=AM. Do MN  DA  MN / /DA và MN=DA. Do NP  DC  AB  NP//AP và NP=AB Hai tam giác ABC và NPM bằng nhau và có các cạnh tương ứng song song . Từ đó suy ra MP=DB và MP//DB. Vậy tứ giác MPDB là hình bình hành.  MP  DB ; MD  PB (đpcm) B P C A D M N II. Tính độ dài véctơ Ví dụ 5: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C qua D. Hãy tính độ dài của các véctơ sau: MD , MN . Giải: Trong tam giác vuông MAD ta có 2 a 5 a . MD  MD  AB2  AM 2  a 2     2 2 3a Dựng hình vuông ADNP , khi đó PM  . 2 Trong tam giác vuông MNP ta có D N P C A B M 2 a 13  3a  MN  MN  NP  PM  a     2  2 Ví dụ 6: Cho tam giác đều ABC cạnh a và G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của AG. Tính độ dài của các véctơ AG , BI . Giải: 2 2 2 2 2 2 2 a2 a 3 Ta có AG  AG  AM  AB2  BM 2  a   3 3 3 4 3 BI  BI  BM 2  MI2  A a 2 a 2 a 21   4 3 6 I G B M C BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của BC . Dựng điểm B’ sao cho B'B  AG a) Chứng minh: BI  IC b) Gọi J là trung điểm của BB’. Chứng minh : BJ  IG Bài 2:Cho hình bình hành ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DC, AB . Gọi P là giao điểm của của AM và DB ; Q là giao điểm của CN và DB. Chứng minh DP  PQ  QB Bài 3:Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB =2CD. Từ C vẽ CI  DA . Chứng minh: a) DI  CB . b) AI  IB  DC . Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 3/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường B. TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉCTƠ Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều véctơ Phương pháp: Dùng định nghĩa tổng của hai véctơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và các tính chất của tổng các véctơ Ví dụ 1:Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Chứng minh OA  OB  OC  OD  OE  OF  0 Ví dụ 2: Cho năm điểm A,B,C,D,E. Hãy tính tổng AB  BC  CD  DE Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. a) Tìm tổng của hai véctơ NC và MC , AM và CD , AD và NC . b) Chứng minh AM  AN  AB  AD Dạng 2 : Tìm vectơ đối và hiệu của hai véctơ Phương pháp: 1) Tính tổng a  b ,ta làm hai bước sau: - Tìm véctơ đối của b là b - Tính tổng a  b   2) Vận dụng quy tắc OA  OB  BA với ba điểm O,A,B bất kì. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC.Các điểm M , N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. a) Tìm hiệu AM  AN , MN  NC , MN  PN , BP  CP . b) Phân tích AM theo hai véctơ MN và MP Ví dụ 2: Cho bốn điểm A,B,C,D. Chứng minh AB  CD  AC  BD Ví dụ 3: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) MA  MB  BA b) MA  MB  AB c) MA  MB  0 Dạng 3 : Chứng minh Đẳng thức véctơ Phương pháp: Sử dụng quy tắc ba điểm , quy tắc hình bình hành , trung điểm để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc biến đổi cả hai vế để được hai vế bằng nhau hoặc ta cũng có thể biến đổi đẳng thức véctơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức véctơ đã được công nhận là đúng Ví dụ 1: Cho bốn điểm bất kì A,B,C,D . Chứng minh các đẳng thức sau: a) AC  BD  AD  BC b) AB  CD  AD  CB c) AB  CD  AC  BD Ví dụ 2: Cho 6 điểm A,B,C,D ,E, F tuỳ ý . Chứng minh rằng: AC  BD  EF  AF  BC  ED Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh : BD  BA  OC  OB và BC  BD  BA  0 Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là điểm tuỳ ý. Chứng minh : AB  OA  OB và MA  MC  MB  MD Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M và N là trung điểm của AD và BC. Chứng minh a) AD  MB  NA  0 b) CD  CA  CB  0 Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 4/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường Ví dụ 6: Cho 6 điểm A,B,C,D ,E, F . Chứng minh rằng: ( Bằng nhiều cách khác nhau) a) AB  CD  AD  CB b) AB  CD  AC  DB c) AB  AD  CB  CD d) AB  BC  CD  DA  0 e) AD  BE  CF  AE  BF  CD f) AC  DE  DC  CE  CB  AB Dạng 4 : Tính độ dài véctơ Phương pháp: Đưa tổng hoặc hiệu của các véctơ về một véctơ có độ dài là một cạnh của đa giác Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , biết AB=a ; AC=2a . Tính AB  AC và AB  AC . Giải: + AB  AC  AD  AD  BC  a 2   2a   a 5 2 A + AB  AC  CB  CB  a 5 a 2a C B D Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính AB  BC và CA  CB . Giải: + AB  BC  AC  AC  a A + AB  AC  CB  CB  a B C Ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD cạnh a có BAD  600 . Gọi O là giao điểm hai đường chéo .Tính: a) AB  AD b) BA  BC ; c) OB  DC Giải: a) AB  AD  AC  AC  2AO  AB  BO2  a 3 2 A b) BA  BC  CA  CA  a 3 c) OB  DC  DO  DC  CO  CO  600 a 3 2 B O D C Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 5/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , biết AB=a và B  600 . Tính AB  BC và AB  AC . Giải: + AB  BC  AC  AC  AB.tan 60  a 3 0 + AB  AC  CB  CB  A a  2a cos600 a 600 C B D Ví dụ 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a , có O là giao điểm hai đường chéo . Tính: a) OA  CB b) AB  DC ; c) CD  DA Giải: a 2 a) OA  CB  CO  CB  BO  BO  2 b) AB  DC  AB  AB  2 AB  2a B C O c) CD  DA  CD  CB  BD  BD  a 2 A D Bài tập Bài 1:Cho tam giác đều ABC cạnh a và đường cao AH.Tính AB  AC và AB  BH , AB  AC . Bài 2:Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính BC  AB ; AB  AC Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. a) Với M tuỳ ý, Hãy chứng minh: MA  MC  MB  MD b) Chứng minh rằng: AB  AD = AB  AD Bài 4 : Cho hai véctơ a và b cùng khác 0 . Khi nào thì: a) a  b  a  b b) a  b  a  b c) a  b  a  b Bài 5: Tìm tính chất tam giác ABC biết rằng : CA  CB  CA  CB Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 6/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường C.TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ Dạng1 : Chứng minh đẳng thức véctơ: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, D là trung điểm của AM. Chứng minh: a) 2DA  DB  DC  0 b) 2OA  OB  OC  4OD ( Với O tuỳ ý) Giải: a) Có DB  DC  2DM O A  2DA  DB  DC  2DA  2DM  2 DA  DM  0   b) OB  OC  2OM  2OA  OB  OC  2OA  2OM  2 OA  OM  4OD   D B C M Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng: AB  CD  2MN Giải: Có MN  MA  AB  BN C MN  MC  CD  DN B  2MN  MA  MC  AB  CD  BN  DN     M  2MN  AB  CD N D A Ví dụ 3:Gọi I,J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng: 2IJ  AC  BD  AD  BC Giải: IJ  IA  AC  CJ Có IJ  IB  BD  DJ  2IJ  IA  IB  AC  BD  CJ  DJ  AC  BD  Có   B  J I IJ  IA  AD  DJ IJ  IB  BC  CJ  2IJ  IA  IB  AD  BB  CJ  DJ  AD  BC  C   D A  Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’ thì 3GG '  AA'  BB'  CC' Giải: AA '  AG  GG '  G 'A ' AG  BG  CG  0 Có BB'  BG  GG '  G 'B' và G 'A '  G 'B'  G 'C'  0 CC'  CG  GG '  G 'C'  AA'  BB'  CC'  AG  BG  CG  3GG '  G 'A'  G 'B'  G 'C'  3GG '  Chuyên đề: Véctơ    Năm học 2018 – 2019 Trang 7/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB ,CD và O là trung điểm của EF. 1 Chứng minh rằng: a) EF  AC  BD , b) OA  OB  OC  OD  0 2 c) MA  MB  MC  MC  4MO ( M là điểm bất kì) Giải: EF  EA  AC  CF M a) Có C EF  EB  BD  DF B  2EF  EA  EB  AC  BD  CF  DF  AC  BD F E 1 Vậy: EF  AC  BD O 2 D A OA  OB  2OE b) Có OC  OD  2OF  OA  OB  OC  OD  2 OE  OF  0           MA  MO  OA c) Có MB  MO  OB MC  MO  OC    MA  MB  MC  MC  4MO  OA  OB  OC  OD  4MO MD  MO  OD Ví dụ 6: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB. Chứng minh rằng: AM  BN  CP  0 Giải: 3 3 3 A Có AM  AG; BN  BG;CP  CG 2 2 2 3  AM  BN  CP  AG  BG  CG  0 P 2   N G B C M Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD tâm O . AO  a , BO  b a) Chứng minh rằng: AB  AD  2AO b) Biểu diễn các véctơ sau AC , BD, AB , BC, CD ,DA theo a , b . Giải: a) AB  AD  AC  2AO B b) AC  2AO  2a ; BD  2BO  2b b AB  OB  OA  BO  AO  a  b a O BC  OC  OB  AO  BO  a  b CD  BA  OA  OB  AO  BO  a  b A DA  OA  OD  AO  BO  a  b Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 C D Trang 8/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường Ví dụ 8: Cho tam giác ABC nội tiến đường tròn tâm O , H là trực tâm của tam giác ,D là điểm đối xứng của A qua O. a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành. b) Chứng minh: HA  HD  2HO , HA  HB  HC  2HO , OA  OB  OC  OH c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh OH  3OG . Từ đó có kết luận gì về ba điểm O,H,G Giải: a) Có BH//DC vì cùng vuông góc với AC A CH//BD vì cùng vuông góc với AB Suy ra tứ giác HCDB là hình bình hành. b) Vì O là trung điểm của AD nên: HA  HD  2HO Vì tứ giác HCDB là hình bình hành nên HB  HC  HD N G H  HA  HB  HC  HA  HD  2HO Từ đẳng thức HA  HB  HC  2HO Suy ra C M B HO  OA  HO  OB  HO  OC  2HO  OA  OB  OC  HO  OH O D  Cách khác: Có OA  OH  HA  OH  AH  OH  2OM  OH  OB  OC   OA  OB  OC  OH * c) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên OA  OB  OC  3OG Kết hợp với (*) ta có OH  3OG . Hai véctơ OH và OG cùng phương nên ba điểm O,H,G thẳng hàng. Ví dụ 9: Cho tứ giác ABCD.   1 AB  DC . 2 b) Gọi O là điểm nằm trên đoạn MN và OM=2ON.Chứng minh rằng: OA  2OB  2OC  OD  0 Giải: MN  MA  AB  BN C a) N MN  AD  DC  CN B  2MN  MA  MD  AB  DC  BN  CN  AB  DC O a) Gọi M,N là trung điểm của AD, BC. Chứng minh MN   Vây: MN     1 AB  DC 2   b) Có; OA  2OB  2OC  OD  OA  OD  2 OB  OC  2OM  4ON   A M D = 4NO  4ON  0 Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 9/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường Ví dụ 10: Cho 4 điểm A,B,C,D . Gọi I ,F lần lượt là trung điểm của BC , CD . Chứng minh: 2 AB  AI  FA  DA  3DB   Giải: AB  AI  FA  DA  DA  AB  FA  AI C Có I 1 3  DB  FI  DB  DB  DB 2 2 1 Do FI  DB . 2  2 AB  AI  FA  DA  3DB  B F  A D Ví dụ 11: Cho tam giác đều ABC với G là trọng tâm, H là điểm đối xứng với B qua G .Chứng minh: 2 1 1 a) AH  AC  AB ; CH   AB  AC 3 3 3 1 5 b) M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH  AC  AB 6 6 Giải: 4 4 A a) Có AH  AB  BH  AB  BE  AB  AE  AB 3 3 41 1 2   AB   AC  AB    AB  AC H 3 2 3 3  E 2 2 1 1 CH  2MG  GA   AM   . AB  AC   AB  AC 3 3 2 3 G 1 1 MH  MC  CH  BC  AB  AC 2 3 b) Có: C B M 1 1 1 5  AC  AB  AB  AC  AC  AB 2 3 6 6               Bài tập Bài 1: Cho hình bình hành ABCD.Chứng minh rằng: AB  2AC  AD  3AC Bài 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng: MA  MB  MC  3MG với M bất kì Bài 3: Gọi M,N là trung điểm của AB và CD của tứ giác ABCD.Chứng minh rằng: 2MN  AC  BD  BC  AD Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’ thì AA'  BB'  CC'  3GG ' . Suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm. Bài 5: Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng: G là trọng tâm của tam giác ABC  GA  GB  GC  0  MA  MB  MC  3MG Bài 6: Cho 4 điểm A,B,C,D . M,N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng: AD  BD  AC  BC  4MN Bài 7: Gọi O,G,H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) HA  HB  HC  2HO b) HG  2GO Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 10/34 luyenthitracnghi