Chủ đề 1, biến đổi đại số

Chuyên đề 1: Biến đổi đại số
1.1 CĂN THỨC BẬC 2
Kiến thức cần nhớ:


Căn bậc hai của số thực



Cho số thực

là số thực

sao cho

không âm. Căn bậc hai số học của

một số thực không âm

.
kí hiệu là

mà bình phương của nó bằng

:



Với hai số thực không âm



Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
+

.

nếu

+

với

+
+

ta có:

là

;

với

với
với

+

;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
với

(Đây gọi là phép

trục căn thức ở mẫu)
1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.
1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.
Kiến thức cần nhớ:


Căn bậc 3 của một số



Cho



Mỗi số thực

kí hiệu là

là số

sao cho

đều có duy nhất một căn bậc 3.
1



Nếu

thì

.



Nếu

thì

.



Nếu

thì

.



với mọi

.



với mọi



.



.



với

.


với


1.2.2 CĂN THỨC BẬC n.
Cho số
. Căn bậc
thừa bậc của nó bằng a.
 Trường hợp là số lẻ:
Mọi số thực



của một số

Mọi số thực

.

(gọi là căn bậc

chẵn âm kí hiệu là

số học của

,
và

và
.

đều không có căn bậc chẵn.

Bài tập 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:

2

thì

đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn

dương kí hiệu là

a)

là một số mà lũy

đều có một căn bậc lẻ duy nhất:
, nếu
thì
, nếu

, nếu
thì
Trường hợp là số chẵn:

Mọi số thực

.

). Căn bậc
;

b)
c)
Lời giải:
a)

.

b)

.

c)

.

Bài tập 2: Rút gọn các biểu thức:
a)

khi

b)

.
khi

.

c)
Lời giải:
a)
+ Nếu
+ Nếu

thì

.
thì

b)

Hay

3

+ Nếu

thì

ra

suy

.

+ Nếu

thì
suy ra

.

c) Để ý rằng:
Suy ra
.Hay

Bài tập 3: Chứng minh:
a)

là số nguyên.

b)

là một số nguyên

c) Chứng minh rằng:

với

là số tự nhiên.
d) Tính
Lời giải:
a) Dễ thấy

4

biết

.

Tacó

Suy ra

.

b) Áp dụng hằng đẳng thức:

. Ta có:

. Hay

mà
Vậy

suy ra

.

là số nguyên.

c) Áp dụng hằng đẳng thức:
Ta có

Xét đa thức bậc hai
+ Khi

+ Khi
Vậy với mọi

với

ta có

.

ta có

âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất
ta có:

là

số tự nhiên.
5

d) Nhận xét:
.
Kết hợp với giả thiết ta suy ra

Bài tập 4:
a) Cho

. Tính giá trị biểu thức:
.

b) Cho

. Tính giá trị của biểu thức
.

c) Cho

. Tính giá trị biểu thức:

Giải:
a) Ta có:

. Từ đó ta suy ra

.

Ta biến đổi:

.

b) Ta có
biểu thức

thành:

c) Để ý rằng:
dụng hằng đẳng thức:
6

. Ta biến đổi

ta nhân thêm 2 vế với

để tận

. Khi đó ta có:

.
Ta biến đổi:

Bài tập 5: Cho

và

.

a) Tính giá trị biểu thức:

b) Chứng minh rằng:
Lời giải:
a) Để ý rằng:
Tương tự đối với

Suy ra

ta có:

.

b) Tương tự như câu a)
Ta có:

7

Bài tập 6:
a) Tìm

thỏa mãn:

b) Cho

với

nguyên dương. Tính

.
Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với:

Hay

b) Đặt

.

Suy ra
.
Áp dụng vào bài toán ta có:

Bài tập 7

8

a) Chứng minh rằng:

. Chứng

minh rằng:

.

b) Chứng minh:
mọi số nguyên dương
Lời giải:

với
.

a) Xét

Dễ thấy

,

.

Ta có

Mặt khác ta có:

Suy ra

. Do
suy ra

.

b) Để ý rằng:
mọi

với

nguyên dương.

Suy ra
.

c) Đặt
9

Ta có:

với mọi số tự nhiên

.

Từ đó suy ra
hay

Do đó:

và
.

Hay

.

Bài tập 8
a) Cho ba số thực dương

thỏa mãn
.Chứng minh rằng:

.
a) Tìm các số thực

thỏa mãn điều kiện:
. (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp

10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có
.

10

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

(đpcm).

b) Ta viết lại giả thiết thành:
Áp dụng bất đẳng thức :
. Suy ra

.
ta có:

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

Bài tập 9) Cho

với

a) Rút gọn .Tìm để đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các giá trị nguyên của để
có giá trị nguyên.
Lời giải:
a) Điều kiện để biểu thức

xác định là

.

11

+ Nếu

thì

Do

nên

+ Nếu

thì

nên

.
nên

(Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
.
Vậy GTNN của
b) Xét

bằng

khi

.

thì

, ta thấy

là ước số nguyên dương của

khi và chỉ khi
. Hay

đối chiếu điều kiện suy ra
hoặc

.

+ Xét

ta có:

, đặt

khi đó ta có:

suy ra
Tóm lại để

.

nhận giá trị nguyên thì

.

MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1.
Với
12

, cho hai biểu thức

và

.

1) Tính giá trị biểu thức
2) Rút gọn biểu thức .
3) Tính

để

khi

.

.

Câu 2.
1) Cho biểu thức

. Tính giá trị của biểu thức

2) Rút gọn biểu thức

(với

)
3) Với các biểu thức

và

nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của

để giá trị của biểu thức

là số nguyên.

Câu 3. Cho

, với

1) Rút gọn biểu thức
2) Tính giá trị của A khi
3) Tìm

để

.

.

.

.

Câu 4.
Cho
1) Rút gọn

, với

.

.

2) Tìm giá trị của

để

3) Tìm giá trị lớn nhất của

.
.

Câu 5.
13

Thu gọn các biểu thức sau:

.
Câu 6.
Thu gọn các biểu thức sau:
với

.

.

Câu 7. Rút gọn biểu thức

, với

.

Câu 8.
Cho

và

.
Chứng minh rằng

.

Câu 9. Cho biểu thức
1) Rút gọn biểu thức
2) Tính giá trị của
Câu 10.
14

.
.
khi

và

.

Cho các số thực dương

;

.

Chứng minh rằng:

.

Câu 11.

.

Câu 12.
Cho biểu thức

Rút gọn

.

và tìm

để

.

Câu 13.
1) Cho biểu thức

. Tìm tất cả

các giá trị của

để

.

2) Trong mặt phẳng tọa độ
(
, đường thẳng
độ

cho

là tham số). chứng minh rằng với mọi giá trị của
luôn cắt

thỏa mãn

tại hai điểm phân biệt có hoành
.

Câu 14. Cho biểu thức
1) Tìm điều kiện của

và đường thẳng

.
để biểu thức

2) Tính giá trị của biểu thức

khi

có nghĩa và rút gọn

.

.

Câu 15.
15

Cho biểu thức
.
1) Rút gọn biểu thức .
2) Tìm sao cho nhận giá trị là một số nguyên.
Câu 16.
1) Tính giá trị của biểu thức

, khi

.

2) Cho biểu thức

với

a) Chứng minh rằng
b) Tìm các giá trị của

và

.

.
để

.

Câu 17) Cho

. Chứng minh rằng
.

Câu 18) Cho

.

Tính giá trị của biểu thức:

.

Câu 19) Giả thiết

và

.

Chứng minh rằng:
.

Câu 20. Cho

16

.