80 bài tập hình học lớp 9 có lời giải

Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®-êng trßn (O). C¸c ®-êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®-êng trßn (O) lÇn l-ît t¹i M,N,P. A N Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . 1 E 2. Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®-êng trßn. P 1 F 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 2 O 4. H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. H 5. X¸c ®Þnh t©m ®-êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. 1 ( Lêi gi¶i: B C D 2 ( 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:  CEH = 900 ( V× BE lµ ®-êng cao) M  CDH = 900 ( V× AD lµ ®-êng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®-êng cao => BE  AC => BEC = 900. CF lµ ®-êng cao => CF  AB => BFC = 900. Nh- vËy E vµ F cïng nh×n BC d-íi mét gãc 900 => E vµ F cïng n»m trªn ®-êng trßn ®-êng kÝnh BC. VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®-êng trßn. 3. XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã:  AEH =  ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung AE AH =>  AEH  ADC => => AE.AC = AH.AD.  AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã:  BEC =  ADC = 900 ; C lµ gãc chung BE BC =>  BEC  ADC => => AD.BC = BE.AC.  AD AC 4. Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) C2 = A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => C1 =  C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB  HM =>  CHM c©n t¹i C => CB còng lµ ®-¬ng trung trùc cña HM vËy H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. 5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®-êng trßn => C1 = E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp  C1 = E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD)  E1 = E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED. Chøng minh t-¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lµ t©m ®-êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®-êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE. A 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®-êng trßn. 1 1 3. Chøng minh ED = BC. O 2 1 4. Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (O). 2 E 5. TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. 3 H Lêi gi¶i: 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: D 1  CEH = 900 ( V× BE lµ ®-êng cao) B C 1  CDH = 900 ( V× AD lµ ®-êng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®-êng cao => BE  AC => BEA = 900. AD lµ ®-êng cao => AD  BC => BDA = 900. Nh- vËy E vµ D cïng nh×n AB d-íi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m trªn ®-êng trßn ®-êng kÝnh AB. VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®-êng trßn. 3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®-êng cao nªn còng lµ ®-êng trung tuyÕn => D lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã BEC = 900 . 1 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC. 2 4. V× O lµ t©m ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => E1 = A1 (1). 1 Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => E3 = B1 (2) 2 Mµ B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mµ E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE  OE t¹i E. VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (O) t¹i E. 5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bµi 3 Cho nöa ®-êng trßn ®-êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®-êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn l-ît ë C vµ D. C¸c ®-êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N. 1. Chøng minh AC + BD = CD. y x D 2. Chøng minh COD = 900. / 2 I AB M 3.Chøng minh AC. BD = . 4 / C 4.Chøng minh OC // BM N 5.Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn ®-êng kÝnh CD. 5.Chøng minh MN  AB. O A B 6.X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Lêi gi¶i: 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD 2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900. 3. Theo trªn COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM  CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®-êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM. DM, AB 2 Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = . 4 4. Theo trªn COD = 900 nªn OC  OD .(1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM  OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD). 5. Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD ta cã I lµ t©m ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®-êng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC  AB; BD  AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. L¹i cã I lµ trung ®iÓm cña CD; O lµ trung ®iÓm cña AB => IO lµ ®-êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB  IO // AC , mµ AC  AB => IO  AB t¹i O => AB lµ tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®-êng trßn ®-êng kÝnh CD 2 CN CM CN AC , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra   BN DM BN BD => MN // BD mµ BD  AB => MN  AB. 7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mµ AB kh«ng ®æi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt khi CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vu«ng gãc víi Ax vµ By. Khi ®ã CD // AB => M ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AB. Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®-êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®-êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK. A 1. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®-êng trßn. 2. Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (O). 3. TÝnh b¸n kÝnh ®-êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lêi gi¶i: (HD) 1. V× I lµ t©m ®-êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®-êng trßn bµng tiÕp I 1 gãc A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï ®Ønh B 1 0 2 C B Do ®ã BI  BK hayIBK = 90 . H o T-¬ng tù ta còng cã ICK = 900 nh- vËy B vµ C cïng n»m trªn ®-êng trßn ®-êng kÝnh IK do ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®-êng trßn. 2. Ta cã C1 = C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH. K C2 + I1 = 900 (2) ( v× IHC = 900 ). I1 =  ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) Tõ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC  OC. VËy AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (O). 3. Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. 6. Theo trªn AC // BD => AH2 = AC2 – HC2 => AH = 20 2  12 2 = 16 ( cm) CH 2 12 2 2  CH = AH.OH => OH = = 9 (cm) AH 16 OC = OH 2  HC 2  9 2  12 2  225 = 15 (cm) Bµi 5 Cho ®-êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®-êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. d 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. A 2. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét P K D ®-êng trßn . N 2 2 3. Chøng minh OI.OM = R ; OI. IM = IA . H 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. M O I 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. 6. T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®-êng th¼ng d C Lêi gi¶i: B 1. (HS tù lµm). 2. V× K lµ trung ®iÓm NP nªn OK  NP ( quan hÖ ®-êng kÝnh Vµ d©y cung) => OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900. nh- vËy K, A, B cïng nh×n OM d-íi mét gãc 900 nªn cïng n»m trªn ®-êng trßn ®-êng kÝnh OM. VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®-êng trßn. 3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM  AB t¹i I . Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®-êng cao. 3 ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®-êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI. IM = IA2. 4. Ta cã OB  MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi. 5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH  AB; còng theo trªn OM  AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ cã mét ®-êng th¼ng vu«ng gãc víi AB). 6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nh-ng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®-êng th¼ng d lµ nöa ®-êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®-êng cao AH. VÏ ®-êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®-êng kÝnh cña ®-êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn t¹i D c¾t CA ë E. 1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. E D 2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH. 3. Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (A; AH). 4. Chøng minh BE = BH + DE. A Lêi gi¶i: (HD) I 1.  AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2). 1 2 V× AB CE (gt), do ®ã AB võa lµ ®-êng cao võa lµ ®-êng trung tuyÕn cña B H C BEC => BEC lµ tam gi¸c c©n. => B1 = B2 2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 =>  AHB = AIB => AI = AH. 3. AI = AH vµ BE  AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I. 4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bµi 7 Cho ®-êng trßn (O; R) ®-êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao X cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. N J 1. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®-îc mét ®-êng trßn. P 2. Chøng minh BM // OP. 1 I 3. §-êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh M tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. 4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau K t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. 2 Lêi gi¶i: 1 ( 1 ( A B 1. (HS tù lµm). O 2.Ta cã  ABM néi tiÕp ch¾n cung AM;  AOM lµ gãc ë t©m AOM ch¾n cung AM =>  ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c  2 AOM AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) =>  AOP = (2) 2 Tõ (1) vµ (2) =>  ABM =  AOP (3) Mµ  ABM vµ  AOP lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra BM // OP. (4) 3.XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB). => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Tõ (4) vµ (5) => OBNP lµ h×nh b×nh hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau). 4. Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON  AB => ON  PJ Ta còng cã PM  OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ. (6) DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã PAO = AON = ONP = 900 => K lµ trung ®iÓm cña PO ( t/c ®-êng chÐo h×nh ch÷ nhËt). (6) 4 AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => APO =  NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c APM => APO = MPO (8). Tõ (7) vµ (8) => IPO c©n t¹i I cã IK lµ trung tuyÕn ®«ng thêi lµ ®-êng cao => IK  PO. (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng. Bµi 8 Cho nöa ®-êng trßn t©m O ®-êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®-êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®-êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®-êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. I 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. F 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. 5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®-îc mét ®-êng trßn. M Lêi gi¶i: H E 1. Ta cã : AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn ) 0 => KMF = 90 (v× lµ hai gãc kÒ bï). K AEB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn ) 1 2 2 1 => KEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). B A O => KMF + KEF = 1800 . Mµ KMF vµ KEF lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c EFMK do ®ã EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. Ta cã IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => AIB vu«ng t¹i A cã AM  IB ( theo trªn). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®-êng cao => AI2 = IM . IB. 3. Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ do ……) => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1) Theo trªn ta cã AEB = 900 => BE  AF hay BE lµ ®-êng cao cña tam gi¸c ABF (2). Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B . 4. BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B cã BE lµ ®-êng cao nªn ®ång thêi lµ ®-¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña AF. (3) Tõ BE  AF => AF  HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c HAK (5) Tõ (4) vµ (5) => HAK lµ tam gi¸c c©n. t¹i A cã AE lµ ®-êng cao nªn ®ång thêi lµ ®-¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña HK. (6). Tõ (3) , (4) vµ (6) => AKFH lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®-êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®-êng). 5. (HD). Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FK hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang. §Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®-îc mét ®-êng trßn th× AKFI ph¶i lµ h×nh thang c©n. AKFI lµ h×nh thang c©n khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB. ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ). (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ABI = 450 => AIB = 450 .(8) Tõ (7) vµ (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI lµ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau). VËy khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®-îc mét ®-êng trßn. X Bµi 9 Cho nöa ®-êng trßn (O; R) ®-êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®-êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn l-ît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E). 1. Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi. 2. Chøng minh  ABD =  DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. 5 X E Lêi gi¶i: 1. C thuéc nöa ®-êng trßn nªn ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn ) => BC  AE. C F D ABE = 900 ( Bx lµ tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B cã BC lµ ®-êng cao => AC. AE = AB2 (hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®-êng cao ), mµ AB lµ ®-êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®æi do ®ã AC. AE kh«ng ®æi. 2.  ADB cã ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn ). => ABD + BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) O A B  ABF cã ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ). => AFB + BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) Tõ (1) vµ (2) => ABD = DFB ( cïng phô víi BAD) 3. Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 1800 . ECD + ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD). Theo trªn ABD = DFB => ECD = DFB. Mµ EFD + DFB = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) nªn suy ra ECD + EFD = 1800, mÆt kh¸c ECD vµ EFD lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CDFE do ®ã tø gi¸c CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi 10 Cho ®-êng trßn t©m O ®-êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®-êng trßn sao cho AM < MB. Gäi M’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua AB vµ S lµ giao ®iÓm cña hai tia BM, M’A. Gäi P lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc tõ S ®Õn AB. S 1 1.Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP. Chøng minh r»ng ∆ PS’M c©n. M 2.Chøng minh PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn . 1 2 3 Lêi gi¶i: 1. Ta cã SP  AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa 4( 1 )1 P B ) 0 H O 3( A 2 ®-êng trßn ) => AMS = 90 . Nh- vËy P vµ M cïng nh×n AS d-íi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®-êng trßn ®-êng kÝnh AS. VËy bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®-êng trßn. M' 2. V× M’®èi xøng M qua AB mµ M n»m trªn ®­êng trßn nªn M’ còng 1 S' n»m trªn ®­êng trßn => hai cung AM vµ AM’ cã sè ®o b»ng nhau => AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’  AB t¹i H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2). => Tõ (1) vµ (2) => AS’S = ASS’. Theo trªn bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®/ trßn => ASP=AMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP ) => AS’P = AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P. 3. Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => B1 = S’1 (cïng phô víi S). (3) Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => S’1 = M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 (5). Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mµ M3 + M2 = AMB = 900 nªn suy ra M1 + M2 = PMO = 900 => PM  OM t¹i M => PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn t¹i M Bµi 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®-êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. 6 2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. BD BM  CB CF 4. A Lêi gi¶i: 1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ADF = AFD < 900 => s® cung DF < 1800 => DEF < 900 ( v× D F gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE). O 0 0 Chøng minh t-¬ng tù ta cã DFE < 90 ; EDF < 90 . Nh- vËy tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. I AD AF 2. Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) => => DF // BC.  M C B E AB AC 3. DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã  B = C (v× tam gi¸c ABC c©n) => BDFC lµ h×nh thang c©n do ®ã BDFC néi tiÕp ®-îc mét ®-êng trßn . 4. XÐt hai tam gi¸c BDM vµ CBF Ta cã  DBM = BCF ( hai gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n). BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI);  CBF = BFD (v× so le) => BDM = CBF . BD BM => BDM CBF =>  CB CF Bµi 12 Cho ®-êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®-êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §-êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn C t¹i N cña ®-êng trßn ë P. Chøng minh : 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng M O A B cè ®Þnh nµo. Lêi gi¶i: 1. Ta cã OMP = 900 ( v× PM  AB ); ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ). N Nh- vËy M vµ N cïng nh×n OP d-íi mét gãc b»ng 900 => M vµ N cïng n»m trªn ®-êng trßn ®-êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. P D B' A' 2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM =  ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ONC = OCN => OPM = OCM. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD  AB; PM  AB => CO//PM (2). Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã MOC = 900 ( gt CD  AB); DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn ) => MOC =DNC = 900 l¹i cã C lµ gãc chung => OMC NDC CM CO  => => CM. CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®æi => CM.CN =2R2 CD CN kh«ng ®æi hay tÝch CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. ( HD) DÔ thÊy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P ch¹y trªn ®-êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D. V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB. 7 Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®-êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®-êng trßn ®-êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®-êng trßn ®-êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F. 1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®-êng trßn . A Lêi gi¶i: 0 1. Ta cã : BEH = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®-êng trßn ) E I => AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) 1 1( F 2 0 CFH = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®-êng trßn ) 1 2 => AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) )1 O O2 B H C 1 EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng). 2. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®-îc mét ®-êng trßn =>F1=H1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) . Theo gi¶ thiÕt AH BC nªn AH lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®-êng trßn (O1) vµ (O2) => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 1800 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => EBC+EFC = 1800 mÆt kh¸c EBC vµ EFC lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c BEFC do ®ã BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã A = 900 lµ gãc chung; AFE = ABC ( theo Chøng minh trªn) AE AF => AEF ACB => => AE. AB = AF. AC.  AC AB * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE  AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF  AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) vµ (**) => AE. AB = AF. AC 4. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => IEH c©n t¹i I => E1 = H1 . O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => E2 = H2. => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF . Chøng minh t-¬ng tù ta còng cã O2F  EF. VËy EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®-êng trßn . Bµi 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®-êng trßn cã ®-êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K. §-êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®-êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, E EB víi c¸c nöa ®-êng trßn (I), (K). 1.Chøng minh EC = MN. N 2.Ch/minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®/trßn (I), (K). 3 1 2 H 3.TÝnh MN. 1 4.TÝnh diÖn tÝch h×nh ®-îc giíi h¹n bëi ba nöa ®-êng trßn M 1 Lêi gi¶i: 2 1 0 I O 1. Ta cã: BNC= 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn t©m K) A C K B 0 => ENC = 90 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®-êng trßn t©m I) => EMC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn t©m O) hay MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®-êng chÐo h×nh ch÷ nhËt ) 2. Theo gi¶ thiÕt EC AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®-êng trßn (I) vµ (K) => B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => C1= N3 => B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => B1 = N1 (5) 8 Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN  KN t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N. Chøng minh t-¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, VËy MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®-êng trßn (I), (K). 3. Ta cã AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöc ®-êng trßn t©m O) => AEB vu«ng t¹i A cã EC  AB (gt) => EC2 = AC. BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) =  .OA2 =  252 = 625  ; S(I) =  . IA2 =  .52 = 25  ; S(k) =  .KB2 =  . 202 = 400  . 1 Ta cã diÖn tÝch phÇn h×nh ®-îc giíi h¹n bëi ba nöa ®-êng trßn lµ S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 2 1 1 S = ( 625  - 25  - 400  ) = .200  = 100   314 (cm2) 2 2 Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®-êng trßn (O) cã ®-êng kÝnh MC. ®-êng th¼ng BM c¾t ®-êng trßn (O) t¹i D. ®-êng th¼ng AD c¾t ®-êng trßn (O) t¹i S. 1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC víi ®-êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®-êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy. 4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. 5. Chøng minh ®iÓm M lµ t©m ®-êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE. Lêi gi¶i: C C 2 1 12 3 O O D 3 S E M 1 2 A D 2 1 F B 1 2 M 1 1 2 2 3 F E S 2 1 2 3 A 1 B H×nh b H×nh a 1. Ta cã CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn ) => CDB = 900 nh- vËy D vµ A cïng nh×n BC d-íi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ D cïng n»m trªn ®-êng trßn ®-êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB). D1= C3 => SM  EM => C2 = C3 (hai gãc néi tiÕp ®-êng trßn (O) ch¾n hai cung b»ng nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. XÐt CMB Ta cã BACM; CD  BM; ME  BC nh- vËy BA, EM, CD lµ ba ®-êng cao cña tam gi¸c CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy. 4. Theo trªn Ta cã SM  EM => D1= D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1) 5. Ta cã MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn (O)) => MEB = 900. Tø gi¸c AMEB cã MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®-êng trßn => A2 = B2 . Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => A1= B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) 9 => A1= A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®-êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE TH2 (H×nh b) C©u 2 : ABC = CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS => CE  CS  SM  EM => SCM = ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B. §-êng trßn ®-êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. C¸c ®-êng thẳng CD, AE lÇn l-ît c¾t ®-êng trßn t¹i F, G. B Chøng minh : 1. Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD. 2. Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp . 3. AC // FG. O 4. C¸c ®-êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy. E Lêi gi¶i: 1 1. XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i F 1 G D A); DEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn ) 1 => DEB = BAC = 900 ; l¹i cã ABC lµ gãc chung => DEB   CAB . S A C 2. Theo trªn DEB = 900 => DEC = 900 (v× hai gãc kÒ bï); BAC = 900 ( v× ABC vu«ng t¹i A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp . * BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn ) hay BFC = 900 nh- vËy F vµ A cïng nh×n BC d-íi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ F cïng n»m trªn ®-êng trßn ®-êng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra AC // FG. 4. (HD) DÔ thÊy CA, DE, BF lµ ba ®-êng cao cña tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S. Bµi 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã ®-êng cao lµ AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC. 1. Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cña ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã. 2. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH. 3. Chøng minh OH  PQ. Lêi gi¶i: A 1. Ta cã MP  AB (gt) => APM = 900; MQ  AC (gt) => AQM = 900 nh- vËy P vµ Q cïng nh×n BC d-íi mét gãc b»ng 900 nªn P vµ Q cïng n»m trªn ®-êng trßn ®-êng kÝnh AM => APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp. * V× AM lµ ®-êng kÝnh cña ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ O t©m O cña ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ lµ trung ®iÓm cña AM. 1 P 2 1 2. Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®-êng cao => SABC = BC.AH. 2 Q 1 Tam gi¸c ABM cã MP lµ ®-êng cao => SABM = AB.MP 2 M B H C 1 Tam gi¸c ACM cã MQ lµ ®-êng cao => SACM = AC.MQ 2 1 1 1 Ta cã SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 2 2 10