Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Tuyển Tập Hệ Phương Trình (NXB Hồng Ngự 2012)

b80db6bc831b17fbfa98cf215377eac7
Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương vào ngày 2020-12-28 03:54:35 || Kiểu file: PDF Lượt xem: 64 | Lượt Download: 0 | File size: 1.220107 Mb

Nội dung tài liệu Xem trước tài liệu

Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Mục lục
Lời nói đầu

2

Các thành viên trong ban quản trị, trong nhóm biên soạn

3

1 Sử dụng phép biến đổi đại số và phép thế

4

2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

75

3 Sử dụng phương pháp hàm số

110

4

Sử dụng phương pháp đánh giá

123

5

Sử dụng phép thế lượng giác

143

http://boxmath.vn/

1

Lời nói đầu
Chúng tôi rất vui mừng khi “Tuyển tập hệ phương trình của BoxMath” được hoàn thành,
bởi nó đáp ứng được nhiều mong mỏi của quý đọc giả, đặc biệt là các em học sinh. Có thể nói tuyển
tập hệ phương trình của BoxMath là sự tập hợp nhiều bài toán hay và kỉ thuật thường dùng khi giải
hệ phương trình.
Nội dung của tuyển tập hệ phương trình của BoxMath được chia theo phương pháp giải toán
như sau:
1. Sử dụng phép biến đổi đại số và thế
2. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
3. Sử dụng phương pháp hàm số
4. Sử dụng phương pháp đánh giá
5. Sử dụng phép thế lượng giác
Hy vọng, tuyển tập hệ phương trình của BoxMath góp phần nhỏ đem lại nhiều thành công cho
các bạn đọc giả, đặc biệt là quý Thầy Cô trong công tác giảng dạy, các em học sinh trong học tập,
trong các kì thi cấp khu vực, cấp quốc gia.
Cuối cùng thay ban quản trị xin chúc các bạn lời chúc sức, thành đạt trong công sống, và tha
thiết đón nhận ý kiến đóng góp quý báo của bạn đọc về những tồi tài, thiếu sót để tuyển tập hệ
phương trình của BoxMath hoàn thiện hơn.
Hồng Ngự, ngày 16 tháng 6 năm 2012.
Thay mặt nhóm biên soạn
lê trung tín

http://boxmath.vn/

2

Các thành viên trong ban quản trị, trong nhóm biên soạn
1. Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp.
2. Phạm Tuấn Khải - THPT Trần Văn Năng - Đồng Tháp.
3. Lê Trung Tín - THPT Hồng Ngự 2 - Đồng Tháp.
4. Hồ Hoàng Việt - Gò Đen - Long An.
5. Nguyễn Văn Thoan - Nam Định.
6. Nguyễn Mạnh Tuấn - Khánh Hòa.
7. Thái Mạnh Cường - Nghệ An.
8. Đinh Văn Minh - Vĩnh Phúc.
9. Giang Hoàng Kiệt - TP Hồ Chí Minh.
10. Ngô Công Bình - THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa.
11. Nguyễn Đức Huỳnh - THPT Hùng Vương - TP Hồ Chí Minh.
12. Nguyễn Quốc Oanh - THPT Sào Nam -Quảng Nam.

LATEX
Hỗ trợ kĩ thuật Latex
• Châu Ngọc Hùng - THPT Ninh Hải - Ninh Thuận.

Trình bày bìa
• Phạm Tuấn Khải

http://boxmath.vn/

3

1

Sử dụng phép biến đổi đại số và phép thế

1 Giải hệ phương trình:

x3 + 4y = y 3 + 16 (1)
1 + y 2 = 5 (1 + x2 ) (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Phương trình (2) tương đương với y 2 − 5x2 = 4 (3)
Thay vào phương trình (1) ta có:
"
x3 + y 2 − 5x


2

y = y 3 + 16 ⇔ x3 − 5x2 y − 16x = 0 ⇔

x=0
x2 − 5xy − 16 = 0

- Với x = 0 ⇒ y 2 = 4 ⇔ y = ±2
x2 − 16
- Với x2 − 5xy − 16 = 0 ⇔ y =
, thay vào (3) ta có
5x
"
 2
2
x = 1 ⇒ y = −3
x − 16
− 5x2 = 4 ⇔ 124x4 + 132x2 − 256 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔
5x
x = −1 ⇒ y = 3
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là: (x; y) = (0; ±2) , (1; −3) , (−1; 3)
2 Giải hệ phương trình:

1
1

 −
= 2 (y 4 − x4 )
x 2y
1
1

 +
= (x2 + 3y 2 ) (3x2 + y 2 )
x 2y
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
(
Điều kiện:

x 6= 0

y 6= 0
Hệ phương trình tương đương với
2

 = 2y 4 − 2x4 + 3x4 + 3y 4 + 10x2 y 2
x

 1 = 3x4 + 3y 4 + 10x2 y 2 − 2y 4 + 2x4
y
(
2 = 5y 4 x + x5 + 10x3 y 2

1 = 5x4 y + y 5 + 10x2 y 3
( 5
x + 5x4 y + 10x3 y 2 + 10x2 y 3 + 5xy 4 + y 5 = 2 + 1

x5 − 5x4 y + 10x3 y 2 − 10x2 y 3 + 5xy 4 − y 5 = 2 − 1


5
3+1

(
(


5
5

x
=
(x + y) = 3
x+y = 3
2




5
5

(x − y) = 1
x−y =1

y = 3 − 1
2
!


5
3+1 53−1
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) =
;

2
2
http://boxmath.vn/

4

3 Giải hệ phương trình:

x3 (2 + 3y) = 1
x (y 3 − 2) = 3
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Điều kiện: x 6= 0
Biến đổi hệ phương trình thành

1

 2 + 3y = 3 (1)
x
3

 y3 − 2 =
(2)
x
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:


1
1
3
1
3
y + 3y = 3 + ⇔y − 3 + 3 y −
=0
x
x
x
x





1
1
1
y
2
⇔ y−
y + 2+
+3 y−
=0
x
x
x
x



1
y
1
2
y + 2 + +3 =0
⇔ y−
x
x
x
#

 "
2
1
1
3
⇔ y−
y+
+ 2 +3 =0
x
2x
4x
3

⇔y =

1
x


x = −1 ⇒ y = −1
3
1
3
2


2
=

2x
+
3x

1
=
0

1
x3
x
x= ⇒y=2

 2
1
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: (x; y) = (−1; −1) ,
;2 
2

Thay vào (2) ta được :

4 Giải hệ phương trình:

x4 − y 4 = 240
x3 − 2y 3 = 3 (x2 − 4y 2 ) − 4 (x − 8y)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được
x4 − 8x3 + 24x2 − 32x + 16 = y 4 − 16y 3 + 96y 2 − 256y + 256
"
"
x−2=y−4
x=y−2
⇔ (x − 2)4 = (y − 4)4 ⇔

x−2=4−y
x=6−y
- Với x = y − 2, thay vào phương trình đầu ta được:
− 8y 3 + 24y 2 − 32y + 16 = 240
⇔ y 3 − 3y 2 + 4y + 28 = 0

⇔ (y + 2) y 2 − 5y + 14 = 0
⇔ y = −2 ⇒ x = −4
http://boxmath.vn/

5

- Với x = 6 − y, thay vào phương trình đầu ta được:
− 24y 3 + 216y 2 − 864y + 1296 = 240
⇔ y 3 − 9y 2 + 36y − 44 = 0

⇔ (y − 2) y 2 − 7y + 22 = 0
⇔y=2⇒x=4
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: (x; y) = (−4; −2) , (4; 2)
5 Giải hệ phương trình:

x3 − 8x = y 3 + 2y

(1)

x2 − 3 = 3 (y 2 + 1)

(2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Thế (2) vào (1) ta có:


3 x3 − y 3 = x2 − 3y 2 (4x + y)
⇔x3 + x2 y − 12xy 2 = 0

⇔x x2 + xy − 12y 2 = 0
⇔x = 0 ∨ x = 3y ∨ x = −4y
- Với x = 0, thay vào (2) ta có: y 2 = −2 (vô nghiệm).
- Với x = 3y, thay vào (2) ta có: y 2 = 1 ⇔ y = ±1 ⇒rx = ±3.
r
6
6
6
2
- Với x = −4y, thay vào (2) ta có: y =
⇒y=±
⇒ x = ∓4
.
13
13
13
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
r !
r
r !
r
6
6
6
6
;
, 4
;−
(x; y) = (3; 1) , (−3; −1) , −4
13
13
13
13
6 Giải hệ phương trình:

x3 + y 3 − xy 2 = 1
4x4 + y 4 = 4x + y

(1)
(2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Thay (1) vào (2), ta có:

4x4 + y 4 = (4x + y) x3 + y 3 − xy 2

⇔ xy 3y 2 − 4xy + x2 = 0

x=0⇒y=1

y = 0 ⇒ x = 1

⇔
"

 3y 2 − 4xy + x2 = 0 ⇔ x = y
x = 3y
Thay vào (1), ta có: x = y = 1
3
1
,y = √
Thay vào (1), ta có: x = √
3
3
25
25

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x; y) = (0; 1) , (1; 0) , (1; 1) ,
http://boxmath.vn/


3
1

;√

3
25 3 25
6

7 Giải hệ phương trình:



5


2y = 4
 3−
y + 42x 


5


x=2
 3+
y + 42x

(I)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Điều kiện: x > 0, y > 0



1
2
5



 √x − √y = y + 42x

(I) ⇔

1
2


 √ + √ = 3 (2)
y
x

(1)

Lấy (1) nhân (2) vế theo vế ta được:
15
1 2
− =
x y
y + 42x
⇔ (y − 2x) (y + 42x) = 15xy
⇔y 2 − 84x2 + 25xy = 0
⇔ (y − 3x) (y + 28x) = 0
⇔y = 3x ( do y + 28x > 0)


5+2 6
5+2 6
Từ đó thế vào (2) ta được: x =
;y =
27
9
√ !

5+2 6 5+2 6
;

Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) =
27
9
8 Giải hệ phương trình:

xy + x + y = x2 − 2y 2
x√2y − y √x − 1 = 2x − 2y

(1)
(2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0
(1) ⇔ x2 − xy − 2y 2 − (x + y) = 0
⇔ (x + y) (x − 2y) − (x + y) = 0
⇔ (x + y) (x − 2y − 1) = 0
⇔ x − 2y − 1 = 0 ( do x + y > 0)
⇔ x = 2y + 1
Thế vào (2) ta được:
p
p
2y + 2y = 2y + 2
p

⇔ (y + 1)
2y − 2 = 0
p
⇔ 2y − 2 = 0 ( do y ≥ 0 ⇒ y + 1 > 0)
y

⇔2y = 4
⇔y = 2 ⇒ x = 5
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) = (5; 2)
http://boxmath.vn/

7

9 Giải hệ phương trình:

2x3 + 3x2 y = 5
y 3 + 6xy 2 = 7
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:
8x3 + 12x2 y + 6xy 2 + y 3 = 27
⇔ (2x + y)3 = 27
⇔ 2x + y = 3
⇔ y = 3 − 2x
Thay vào (2) ta được:
2y 3 − 9y 2 + 7 = 0

y=1⇒x=1




 y = 7 + 105 ⇒ x = 5 − 105
⇔
4
8




7 − 105
5 + 105
y=
⇒x=
4
8
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là:
(x; y) = (1; 1) ,

5+

!


105 7 − 105
;
,
8
4

5−

!


105 7 + 105
;
8
4

10 Giải hệ phương trình: 
9x2 − 4y 2 = 5
log (3x + 2y) − log (3x − 2y) = 1
5
3
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:

3x + 2y > 0
Điều kiện:
3x − 2y > 0

http://boxmath.vn/

8

Khi đó hệ phương trình tương đương với


 (3x − 2y) (3x + 2y) = 5
log5 (3x − 2y)

=1
 log5 (3x + 2y) −
log5 3
(
(3x − 2y) (3x + 2y) = 5

log5 3.log5 (3x + 2y) − log5 (3x − 2y) = log5 3

5
 3x + 2y =
3x − 2y


log5 3 [log5 5 − log5 (3x − 2y) − 1] − log5 (3x − 2y) = 0
(
(3x − 2y) (3x + 2y) = 5

log5 3.log5 (3x − 2y) + log5 (3x − 2y) = 0
(
(3x − 2y) (3x + 2y) = 5

log5 (3x − 2y) (log5 3 + 1) = 0
(
(3x − 2y) (3x + 2y) = 5

3x − 2y = 1
(
x=1

y = −1
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) = (1; −1)
11 Giải hệ phương trình: 
x4 + x3 y + 9y = y 3 x + x2 y 2 + 9x (1)
x (y 3 − x3 ) = 7
(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Từ (2) ta suy ra: x 6= y


(1) ⇔ x4 − xy 3 + x3 y − x2 y 2 − 9 (x − y) = 0



⇔ (x − y) x x2 + xy + y 2 + x2 y − 9 = 0


⇔ (x − y) x(x + y)2 − 9 = 0
⇔ x(x + y)2 − 9 = 0
⇔ x(x + y)2 = 9

(do x 6= y)

(3)
r

Từ (3) ta suy ra x > 0. Từ phương trình (2) ta suy ra y =

3

7
x3 + , thay vào (3) ta được:
x

!2
7
x x + x3 +
=9
x


s
r
2
7
7 
3
3
⇔ x x2 + 2x. x3 + +
x3 +
−9=0
x
x
s
r
2
7
7
3
3
2 3
3
3
⇔ x + 2x . x + + x.
x +
−9=0
x
x
q

3
3
⇔ x3 + 2x x6 + 7x2 + x(x4 + 7)2 − 9 = 0 (4)
r
3

http://boxmath.vn/

9

3

Xét hàm số: f (x) = x + 2x



3


3

x6

+

7x2

q
+ 3 x(x4 + 7)2 − 9, x > 0
6

2



6x + 14x  1 9x8 + 70x4 + 49
> 0, ∀x > 0
f 0 (x) = 3x2 + 2  x6 + 7x2 + q
+ . q
3 3
2
3
2 2
6
2
4
3 (x + 7x )
x(x + 7)
Suy ra f (x) đồng biến trên (0; +∞) Mà f (1) = 0
Suy ra (4) có nghiệm duy nhất x = 1 ⇒ y = 2
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: (x; y) = (1; 2)
12 Giải hệ phương trình:

x4 + 2x3 y + x2 y 2 = 2x + 9
x2 + 2xy = 6x + 6

(I)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:

2
2
−x
+
6x
+
6

2
 x +
= 2x + 9

2
2
(I) ⇔

2
 xy = −x + 6x + 6


 xy = −x + 6x + 6
2
2



3
2
 x = 0 ∨ x = −4
 x x + 12x + 48x + 64 = 0
2
2


 xy = −x + 6x + 6
 xy = −x + 6x + 6
2
2


x = 0
 x = −4
2
2

(vô
nghiệm)

 xy = −x + 6x + 6
 xy = −x + 6x + 6
2
2

 x = −4

 y = 17
4


17
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) = −4;

4
 2
2
 x + xy = 2x + 9

13 Giải hệ phương trình: 
2x2 + 4xy + 2y 2 + 3x + 3y − 2 = 0 (1)
x2 + y 2 + 4xy + 2y = 0
(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:


x + y = −2
1
x+y =
2
- Với x + y = −2 ⇒ x = −2 − y thay vào phương trình (2) ta
được
"
y = 1 ⇒ x = −3
(−2 − y)2 + y 2 − 4(2 + y)y + 2y = 0 ⇔ 2y 2 + 2y − 4 = 0 ⇔
y = −2 ⇒ x = 0
1
1
- Với x + y = ⇒ x = − y thay vào phương trình (2) ta được
2
2

Ta có phương trình (1) ⇔ 2(x + y)2 + 3(x + y) − 2 = 0 ⇔ 

http://boxmath.vn/

10



y =
1
1
− y y + 2y = 0 ⇔ −2y 2 + 3y + = 0 ⇔ 
+y +4

2
4
y=
√ !

3 + 11 −1 − 11
;
;
Vậy nghiệm của hệ là:(x; y) = (1; −3); (−2; 0);
4
4


1
−y
2

2

2




−1 − 11
⇒x=
4√
4√
3 − 11
−1 + 11
⇒x=
4 √
√ 4!
3 − 11 −1 + 11
;

4
4
3+



11

14 Giải hệ phương trình:

x4 − x3 y + x2 y 2 − 1 = 0 (1)
x3 y − x2 + xy + 1 = 0
(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Lấy phương trình (1) + (2) vế với vế ta được
x4 − x2 + x2 y 2 + xy = 0
⇔x(x3 − x + xy 2 + y) = 0
"
x=0
⇔ 3
x − x + xy 2 + y = 0
- Với x = 0, thay vào (1) không thỏa mãn.
−1 − xy
x2 − 1
=
, thay vào (2) ta được
- Với x3 − x + xy 2 + y = 0 ⇔
y
x
x3 + x =

−1 − xy
−x4 − x2 − 1
⇒y=
x
x

(3)

Thế (3) vào phương trình (2) ta được:
x2 (−x4 − x2 − 1) − x2 − x4 − x2 − 1 + 1 = 0 ⇔ x6 + 2x4 + 3x2 = 0
"
x = 0 (loại)
⇔ x2 (x4 + 2x2 + 3) = 0 ⇔
x4 + 2x2 + 3 = 0 (vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
15 Giải hệ phương trình:

2x2 y − 3y = −1
xy 2 − 3y 2 = −2
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Viết lại hệ phương trình thành
(

(2x2 − 3)y = −1
(x − 3)y 2 = −2

http://boxmath.vn/

11

Dễ thấy y = 0 không phải nghiệm của hệ. Như vậy ta có

−1

2

 2x − 3 =
y
−2


 (x − 3) = 2
y
2
1
⇒ 2x2 − x = 2 −
y
y
2
1
⇔ (x − )(2x + − 1) = 0
y
y

1
x − y = 0
⇔

2
2x + − 1 = 0
y
1
thay vào phương trình thứ (2) ta được:
y

y=1⇒x=1
y − 3y 2 + 2 = 0 ⇔ 
−2
−3
y=
⇒x=
3
2
2
1 1
- Với 2x + − 1 = 0 ⇒ x = − thay vào phương trình thứ (2) ta được:
y
2 y



7 − 2 21
−1 + 21
⇒x=
y =
−5 2
5
10√


y −y+2=0⇔
2
−1 − 21
7 + 2 21
y=
⇒x=
5
10

- Với x =

Kết luận:Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm

√ !


−3 −2
−7 − 2 21 −1 + 21
(x; y) = (1; 1),
;
,
;
,
2 3
10
5


√ !
7 + 2 21 −1 − 21
;

10
5

16 Giải hệ phương trình:

x3 − 4xy 2 + 8y 3 = 1
2x4 + 8y 4 = 2x + y
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Từ hệ phương trình trên nhân chéo 2 vế ta được:
(2x + y)(x3 − 4xy 2 + 8y 3 ) = 2x4 + 8y 4
⇔ x3 y − 8x2 y 2 + 12xy 3 = 0

(1)

Với y = 0 ⇒ x = 1
Với y =
6 0
 3
 2
 
x
x
x
(1) ⇔
−8
+ 12
=0
y
y
y
x
= 2 ⇒ x = 2y
y
x

⇔  = 6 ⇒ x = 6y
y
x
=0⇒x=0⇒y=0
y
http://boxmath.vn/

12

- Với x = 2y thay vào phương trình đầu ta được
r
3

(2y) 4 − 8y 3 + 8y 3 = 1 ⇔ 8y 3 = 1 ⇒ y =

3

1
⇒x=1
8

- Với x = 6y thay vào phương trình đầu ta được
r

r
1
3 216
(6y) − 24y 3 + 8y 3 = 1 ⇔ 200y 3 = 1 ⇒ y =
⇒x=
200
200
!
r ! r
r
1
3 1
3 216
3
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm (x; y) = (1; 0), (0; 0); 1;
;
;

8
200
200
3

3

17 Tìm m để hệ phương trình
 có nghiệm:
x3 − y 3 + 3y 2 − 3x − 2 = 0
p

x2 + 1 − x2 − 3 2y − y 2 + m = 0
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
(
Điều kiện:

−1≤x≤1

0≤y≤2
Từ phương trình thứ nhất ta có:


(x + 1 − y) x2 + (y − 1)x + y 2 − 2y − 2 = 0

Do x2 + (y − 1)x + y 2 − 2y − 2 > 0 bởi điều kiện bài toán nên ta có y = x + 1
Thay vào phương trình số (2) ta có

x2 − 2 1 − x2 = −m

Xét hàm số f (x) = x2 − 2 1 − x2 trong tập [−1; 1]
⇒ −2 ≤ f (x) ≤ 1 ⇒ −2 ≤ −m ≤ 1 ⇒ −1 ≤ m ≤ 2
Vậy giá trị của m để hệ có nghiệm là −1 ≤ m ≤ 2
18 Giải hệ phương trình:

2 − px2 y 4 + 2xy 2 − y 4 + 1 = 2(3 − √2 − x)y 2
p
 x − y2 + x = 3

(1)
(2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Dễ thấy y = 0 thì hệ phương trình vô nghiệm.
Xét y 6= 0 chia hai vế phương trình (1) cho y 2 , ta được phương trình mới như sau:
r

2x
2
1
2+

x
+

1
=
6

2
2 − 2x
y2
y2
y4

 s
2

1
1
⇔2 x + 2 −
x+ 2 −1=6−2 2
y
y

http://boxmath.vn/

13



1
= t. Ta được 2t − t2 − 1 = 6 − 2 2 ⇒ t = 3
2
y
1
1
Với t = 3. Ta có x + 2 = 3 ⇒ y 2 =
, thay vào phương trình (2) ta được
y
3−x

r
x=2⇒y=1
1
q
+x=3⇔
x−


3−x
2+1
x=4− 2⇒y =±




p
p√



2 + 1 ; 4 − 2; −
2+1 
Vậy hệ phương trình trên có 3 nghiệm là (x; y), (2; 1), 4 − 2;
Đặt x +

19 Giải hệ phương trình:

2x2 + 3xy = 3y − 13 (1)
(I)
3y 2 + 2xy = 2x + 11 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
11 − 3y 2
Từ phương trình (2) ta rút x =
thế vào phương trình (1) ta được
2y − 2

2
11 − 3y 2
3(11 − 3y 2 )y
2
+
= 3y − 13
2y − 2
2y − 2
(y − 3)(y + 7)(3y − 7)

=0
y−1

y = 3 ⇒ x = −4

17

y = −7 ⇒ x =
⇔

2

7
y = ⇒ x = −2
3


 
17
7
Vậy hệ phương trình có 3 cặp nghiệm (x; y) = (3; −4); −7;
; −2 
;
2
3
20 Giải hệ phương trình:

4x2 + 3y(x − 1) = 7
3y 2 + 4x(y − 1) = 3
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Ta có hệ phương trình
(


http://boxmath.vn/



4x2 + 3y(x − 1) = 7

2

"
4x + 3y(x − 1) = 7

y=1

(y − 1) [3(y + 1) + 4x] = 0


3y = −3 − 4x

5

 x= 4

(
 y=1
4x2 + 3x − 10 = 0


(
 y=1
 x = −2


⇔(
⇔
 3y = −3 − 4x
 y=1



 x = 4
x=4


 y = −19
3
14


Kết luận :Vậy hệ phương trình có 3 cặp nghiệm(x; y) =




5
−19
; 1 , (−2; 1) 4;

4
3

21 Giải hệ phương trình:

x2 + 2 = x(y − 1) (1)
y 2 − 7 = y(x − 1) (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Lấy (1) cộng (2) ta được:
(x − y)2 + (x + y + 1) = 6 (3)
Lấy (1) trừ (2) ta được:
x2 − y 2 + 9 = −x + y
⇔(x − y)(x + y + 1) = −9
−9
⇔x + y + 1 =
(x 6= y)
x−y
Thế vào (3) ta được:
(x − y)2 −

9
=6
x−y

⇒ (x − y)3 − 9 = 6(x − y)
⇒x−y =3
Thế vào (2) ta được

−1

x =
2
−7

y =
2
−1
−7
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x =
;y =

2
2
22 Giải hệ phương trình: 
xy − x + y = 3
(1)
4x3 + 12x2 + 9x = −y 3 + 6y + 5 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Hệ phương trình tương đương với
(
3xy − 3x + 3y = 9
4x3 + 12x2 + 9x = −y 3 + 6y + 5
(


http://boxmath.vn/

− 3y(xy + y − 3) + 3x − 3y = −9 (3)
4x3 + 12x2 + 9x = −y 3 + 6y + 5

(4)

15

Lấy (3) cộng (4) với theo vế ta được:
4x3 + 12x2 + 12x − 3xy 2 + y 3 − 3y 2 + 4 = 0
⇔4(x + 1)3 + 4y 3 − 3y 2 (y + x + 1) = 0


⇔(x + y + 1) 4(x + 1)2 − 4(x + 1)y + y 2 = 0
⇔(x + y + 1)2 (2x + 2 − y)2 = 0
"
x+y+1=0

2x + 2 − y = 0
- Với x + y + 1 = 0 ⇒ y = −x − 1 thay vào (1) ta có x2 + 3x + 4 = 0 (vô nghiệm)


−3 + 17
x =
4√
- Với 2x + 2 − y = 0 ⇔ y = 2 + 2x thay vào (1) ta có 2x2 + 3x − 1 = 0 ⇔ 

−3 − 17
x=
!



√ !4
−3 + 17 1 + 17
−3 − 17 1 − 17
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: (x; y) =
;
,
;

4
2
4
2
23 Giải hệ phương trình:

4x2 + y 4 − 4xy 3 = 1 (1)
2x2 + y 2 − 2xy = 1 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Nhân vế của (2) với −2 rồi cộng cho (1) vế theo vế ta được: y 4 − 2y 2 − 4xy 3 + 4xy + 1 = 0
2

⇔ y 2 − 1 − 4xy y 2 − 1 = 0


⇔ y 2 − 1 y 2 − 1 − 4xy = 0
⇔ y = 1 ∨ y = −1 ∨ y 2 − 1 − 4xy = 0
"
Nếu y = 1, thay vào (1) ta được: 4x2 + 1 − 4x = 1 ⇔ x (x − 1) = 0 ⇔
Nếu y = −1, thay vào (1) ta được: 4x2 + 1 + 4x = 1 ⇔ x (x + 1) = 0 ⇔

x=0
x=1
"
x=0
x = −1

2

Nếu y 2 − 1 − 4xy = 0 ⇔ x =

y −1
, thay vào (1) ta được:
4y


y

y

2
 2

 2

y −1
y −1
4
3
4
2
4
+y −4
y = 1 ⇔ 5y − 6y + 1 = 0 ⇔ 
y
4y
4y



y

=1⇒x=0
= −1 ⇒ x = 0


5
5
=
⇒x=−
5√
√5
5
5
=−
⇒x=
5
5

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là:


√ !
5 5
(x; y) = (1; 1) , (0; 1) , (−1; −1) , (0; −1) , −
,
;
5 5
http://boxmath.vn/


√ !
5
5
;−
5
5
16

24 Giải hệ phương trình:

x4 + 5y = 6
(1)
x2 y 2 + 5x = 6 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
x4 − x2 y 2 + 5 (y − x) = 0

⇔ x2 x2 − y 2 − 5 (x − y) = 0
⇔ x2 (x − y) (x + y) − 5 (x − y) = 0


⇔ (x − y) x2 (x + y) − 5 = 0
⇔ x = y ∨ x2 (x + y) − 5 = 0
Nếu x = y, thay vào (1) ta được:
"
x4 + 5x = 6 ⇔ x2 − x + 3 (x + 2) (x − 1) = 0 ⇔


x = −2 ⇒ y = −2
x=1⇒y=1

5
− x Thay vào (1) ta được:
x2


5
4
x +5
− x = 6 ⇔ x6 − 5x3 − 6x2 + 25 = 0
x2

Nếu x2 (x + y) − 5 = 0 ⇔ y =

6
5
 3
 2
6
6
432
3
2
5x + 6x ≤ 5.
+6

< 25 ⇒ x6 − 5x3 − 6x2 + 25 > 0
5
5
25

Từ (2) ta có: 5x = 6 − x2 y 2 ≤ 6 ⇒ x ≤
Do đó:

Suy ra trường hợp này hệ vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: (x; y) = (−2; −2) , (1; 1)
25 Giải hệ phương trình:




 √1 + y = 2 x + 2
(1)
y
x x

y √x2 + 1 + 1 = √3x2 + 3 (2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
(
Điều kiện:

x>0

y 6= 0
Phương trình (1) tương đương với


y x + y 2 = 2x x + 2xy



⇔y 2 +
x − 2x y − 2x x = 0
"

y=− x

y = 2x


- Nếu y = − x, thay vào (2) ta được:
 √
√ √ 2
− x
x + 1 + 1 = 3x2 + 3
http://boxmath.vn/

17



√ √
Ta có: − x x2 + 1 + 1 < 0 < 3x2 + 3 nên phương trình này vô nghiệm
- Nếu y = 2x, thay vào (2) ta được:
√
 √
2x
x2 + 1 + 1 = 3x2 + 3

√ 

⇔ x2 + 1 2x − 3 = 2x

2x

⇔ x2 + 1 =
(3)
2x − 3

2x
√ , x ∈ (0; +∞)
x2 + 1, x ∈ (0; +∞) và g (x) =
2x − 3

−2 3
x
√ < 0, ∀x ∈ (0; +∞)
> 0, ∀x ∈ (0; +∞); g 0 (x) =
f 0 (x) = √
2
x +1
2x − 3
Suy ra f (x) đồng biến (0; +∞) trên và g (x) nghịch biến trên (0; +∞)



Ta thấy f ( 3) = g( 3) ⇒ x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (3)


Suy ra (4) có nghiệm duy nhất x = 3 ⇒ y = 2 3
√ √ 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) =
3; 2 3 
Xét 2 hàm số: f (x) =

26 Giải hệ phương trình:


x3 − 8 + √x − 1 = √y
(x − 1)4 = y

(1)
(2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 1
Với điều kiện đó, thay (2) vào (1), ta được


x − 1 = (x − 1)2

⇔x3 − x2 + 2x − 9 + x − 1 = 0
x3 − 8 +

Xét f (x) = x3 − x2 + 2x − 9 +



x−1
2
2
Ta có f 0 (x) = 3x2 − 2x + 2 + √
= 2x2 + 1 + (x − 1)2 + √
> 0, ∀x > 1
x−1
x−1
Như vậy f (x) đồng biến trên [1; +∞), lại có f (2) = 0 nên phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy
nhất x = 2. Suy ra y = 1.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 1)
27 Giải hệ phương trình:

1 + x3 y 3 = 19x3
y + xy 2 = −6x2

(1)
(2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Nếu x = 0, thì hệ phương trình vô nghiệm.
Xét x 6= 0. Nhân hai vế của (2) với x, ta được: xy + x2 y 2 = −6x3
Thay vào (1), ta có:

http://boxmath.vn/

18



− 6 1 + x3 y 3 = 19 xy + x2 y 2

−2
xy =

3

−3

⇔  xy =

2
xy = −1
1
x = ; y = −2

3


Với từng trường hợp, thay vào (1), ta suy ra được các cặp nghiệm  x = −1 ; y = 3

2
x = 0 (loại)




1
−1
Vậy phương trình có hai nghiệm (x; y) là:
; −2 và
;3 
3
2


28 Giải hệ phương trình:

y + xy 2 = 6x2
1 + x2 y 2 = 5x2

(1)
(2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Nếu x = 0,thì từ (1) suy ra y = 0, loại do không thỏa mãn (2)
Nếu y = 0, thì từ (1) cũng suy ra x = 0, loại do không thỏa mãn (2)
Vậy x 6= 0, y 6= 0
Chia (1) cho y, chia (2) cho y 2 ta được

1
1


(10 )
 + x = 6x.
y
y
1
1


 2 + x2 = 5x2 . 2 (20 )
y
y
Suy ra
1

 2
2
x =0

1
1
1
y
6x
− 2x = 5 x
⇔

1
2
y
y
y
x =
y
31


1
Trường hợp x = 0 loại do x 6= 0, y 6= 0
y

2
1


x =
y
31
Vậy từ (10 ) suy ra
1
12


x + =
y
31
1
12
2
Suy ra x, là nghiệm của phương trình t2 − t +
= 0.
y
31
31
 2
12
8
Phương trình này có ∆t =

< 0 nên vô nghiệm.
31
31
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
29 Giải hệ phương trình:

x2 (1 − 2y) = y 2 (4x + 2y) (1)
2x2 + xy − y 2 = x
(2)
http://boxmath.vn/

19

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Nếu x = 0 thì y = 0. Vậy (0; 0) là một nghiệm
Xét x 6= 0, nhân cả hai vế của (2) với x, ta được
( 2
x = 4xy 2 + 2y 3 + 2x2 y
x2 = 2x3 + x2 y − y 2 x
Suy ra
2x3 − x2 y − 5xy 2 − 2y 3 = 0
⇔ (x − 2y) (x + y) (2x + y) = 0

x = 2y


⇔  x = −y

1
x=− y
2

y=0
2

- Với x = 2y, thay vào (2) ta được 9y − 2y = 0 ⇔
2
y=
9


2 4
;
Trong trường hợp này hệ có nghiệm (0, 0) ,
9 9
- Với x = −y, thay vào (2) ta được x = 0. Vậy hệcó nghiệm (0; 0)
1
y=
1
1
2
2
- Với x = − y, thay vào (2) ta được y = y ⇔ 
2
2
y=0


1 1
Trong trường hợp này hệ có nghiệm:
;−
, (0; 0)
2 4



1 1
2 4
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm:
;−
, (0; 0) và
;

2 4
9 9
30 Giải hệ phương trình:

y(xy − 2) = 3x2
(1)
y 2 + x2 y + 2x = 0 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với
(
y(xy − 2) = 3x2 (1)
y(y + x2 ) = −2x (2)
xy − 2
−3x
4 − 3x3
=

y
=
y + x2
2
5x

Suy ra

(3)

Thế (3) vào (1), ta được
4 − 3x3
5x




4 − 3x3
x.
− 2 = 3x2
5x
2

⇔ (4 − 3x3 ) − 10.(4 − 3x3 ) − 75x3 = 0
⇔ 9x6 − 69x3 − 24 = 0
http://boxmath.vn/

20



t=8
1
t=
−3
- Với t = 8 suy ra x = 2 dẫn
r đến y = −2
r
r
1
−1
3 −1
3 1
2
suy ra x =
dẫn đến y +
y + 2 3 = 0.
- Với t =
3
3
9
3
r !2
r
1
1
Phương trình này vô nghiệm do ∆ = 3
− 8. 3 < 0
9
3
3

2

Đặt x = t, ta được 9t − 69t − 24 = 0 ⇔ 

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) duy nhất là: (2; −2)
31 Giải hệ phương trình:

5x3 + 3y 3 − 2xy = 6
3x3 + 2y 3 + 3xy = 8
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương
( 3
5x + 3y 3 = 6 + 2xy
3x3 + 2y 3 = 8 − 3xy

(


x3 = 13xy − 12
y 3 = −21xy + 22

(∗)

Suy ra
(xy)3 = (13xy − 12) (−21xy + 22)

⇔ (xy − 1) (xy)2 + 274xy − 264 = 0

xy = 1


⇔
xy
=
−137

19033


xy = −137 + 19033
- Với xy = 1, thay vào (*) ta được nghiệm
của hệ phương trình là (1; 1)
(



x = 3 13a − 12
- Với xy = −137 − 19033, ta được
với a = −137 − 19033

3
y = −21a + 22
(

3


x = 13b − 12
19033
- Với xy = −137 + 19033, ta được
với
b
=
−137
+

3
y = −21b + 22
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm:






(1; 1), x = 3 13a − 12; y = 3 −21a + 22 và x = 3 13b − 12; y = 3 −21b + 22


với a = −137 − 19033 và b = −137 + 19033.
32 Giải hệ phương trình:

4x2 + y 4 − 4xy 3 = 1 (1)
4x2 + 2y 2 − 4xy = 2 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Trừ vế theo vế được
y 4 − 2y 2 + 4xy(1 − y 2 ) = −1
2

⇔ (y 2 − 1) = 4xy(y 2 − 1)


⇔ y 2 − 1 y 2 − 1 − 4xy = 0

http://boxmath.vn/

21

- Với y 2 = 1 ⇔ y = ±1. Ta có 4 nghiệm (0;1) và (1;1) và (-1;-1) và (0;-1)
- Với y 2 − 1 = 4xy, thay vào (2), ta được 4x2 + y 2 = 1 ⇔ y 2 = 1 − 4x2 (3)
Lại thay (3) vào (1) ta có
(1 − 4x2 )2 − 4xy(1 − 4x2 ) = 1 − 4x2
Nếu 1 − 4x2 = 0 thì y = 0 không thoả hệ. Vậy 1 − 4x2 − 4xy = 1 ⇔ x2 + xy = 0
Với x = 0 ⇒ y = ±1
1
Với x = −y thay vào hệ được x = ± √
5
 


1 1
1
1
Vậy hệ đã cho có các nghiệm (x; y)là: (0;1),(0;-1),(1;1),(-1;-1) , √ ; − √ , − √ ; √ 
5
5
5 5
33 Giải hệ phương trình:

2x2 y + 3xy = 4x2 + 9y
7y + 6 = 2x2 + 9x
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
2

Ta có từ (2) suy ra: y =

2x + 9x − 6
7

(3)

Thay (3) và (1), ta được

 2

 2

2x2 + 9x − 6
2x + 9x − 6
7.4x2
2x + 9x − 6
2x
+ 3x
=
+9
7
7
7
7

2
2
2
⇔ 2x + 9x − 6 (2x + 3x − 9) = 28x
2



⇔ 4x4 + 24x3 − 31x2 − 99x + 54 = 0


1
⇔ x−
(x + 2)(4x2 + 18x − 54) = 0
2
Suy ra
1
x = 2

x = 2




−9
+
3
33
x =

4√


−9 − 3 33
x=
4


1
−1
1 −1
x= ⇒y=
. Suy ra hệ phương trình có nghiệm
;
2
7
2 7

−16
−16
x = −2 ⇒ y =
. Suy ra hệ phương trình có nghiệm −2;
7
7
!


−9 + 3 33
−9 + 3 33
x=
→ y = 3. Suy ra hệ phương trình có nghiệm
;3
4
4
!


−9 − 3 33
−9 − 3 33
x=
→ y = 3. Suy ra hệ phương trình có nghiệm
;3
4
4


Với
Với
Với
Với

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm!(x; y) là:
!



 

1 −1
−16
−9 + 3 33
−9 − 3 33
;
, −2;
,
; 3 và
; 3 .
2 7
7
4
4

http://boxmath.vn/

22

34 Giải hệ phương trình:


√x + y + √x + 3 = y − 3
x
√x + y + √x = x + 3

(1)
(2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Điều kiện: x > 0
y−3
y−3

(1) ⇔ √

=
x
x+y− x+3

"

y=3


x+y− x+3=x

Với y = 3, thay vào (1), suy ra x = 0


Với x + y − x + 3 = x (3). Thay vào (2) ta được

x+3=x

⇔ 2x + 3 + 2 x2 + 3x = 9

⇔ x2 + 3x = 3 − x
(
x≤3

9 − 6x + x2 = x2 + 3x

x+3−



x−

⇔x=1
Thay vào (3), suy ra y = 8
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; 8)
35 Giải hệ phương trình:

(x − y)4 = 13x − 4

√x + y + √3x − y = 2
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Ta có

p


x + y + 3x − y = 2
p
p
⇔ x + y + 3x − y + 2 (x + y) (3x − y) = 2 ⇔ 1 − 2x = (x + y) (3x − y)
1
⇔ 4x2 − 4x + 1 = 3x2 + 2xy − y 2 , x ≤
2
2
⇔ (x − y) = 4x − 1

Thay vào (1), ta được
(4x − 1)2 = 13x − 4

5
x=
16
⇔
x=1
1
5
−3
nên loại nghiệm này. Vậy x = . Suy ra y =
.
2
16
16


5 −3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:
;

16 16

Do x = 1 >

http://boxmath.vn/

23

36 Giải hệ phương trình:

2y(x2 − y 2 ) = 3x
x(x2 + y 2 ) = 10y
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Nếu x = 0 thì y = 0 và ngược lại. Vậy (0; 0) là 1 nghiệm của hệ
Xét xy 6= 0. Từ phương trình thứ 2 suy ra x, y cùng dấu
Nhân chéo 2 vế của 2 phương trình trong hệ đã cho, ta được
20x2 y 2 − 20y 4 = 3x4 + 3x2 y 2
⇔ 3x4 − 17x2 y 2 + 20y 4 = 0
 2
x = 4y 2
⇔
5
x2 = y 2
3
"
x = 2y

(vì x, y cùng dấu)

3x = 15y
- Nếu x = 2y, thế vào (1) ta được (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (−2;!−1)
!




4

30375 4 135
− 4 30375 − 4 135
;
và (x; y) =
;
- Nếu 3x = 15y, thế vào (1) ta được (x; y) =
6
2
6
2
!
!




4
30375 4 135
− 4 30375 − 4 135
;

;
.
Vậy hệ có 5 nghiệm (x; y) là: (0; 0), (2; 1), (−2; −1),
6
2
6
2
37 Giải hệ phương trình:

x + 2y

x + 2
= 2 (1)
x + y2
2x − y

y +
= 0 (2)
x2 + y 2
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Điều kiện: x, y không đồng thời bằng 0
- Nếu x = 0 thì thay vào (1), ta được y = 1. Nghiệm (0; 1) thỏa mãn hệ phương trình
- Nếu y = 0 thì thay vào (2), ta được x = 1. (x; y) = (1; 0) không thỏa mãn hệ phương trình
Xét x, y 6= 0
Nhân cả hai vế của (1) với y, nhân cả hai vế của (2) với x, ta được

xy + 2y 2


= 2y (3)
 xy + 2
x + y2

2x2 − xy

 xy +
= 0 (4)
x2 + y 2
y−1
Cộng vế theo vế (3) và (4), suy ra xy + 1 = y ⇔ x =
(y 6= 0)
y
Thay vào (2) ta được

http://boxmath.vn/

24

2 (y − 1) y − y 3
+y =0
(y − 1)2 + y 4


y4 − 1
⇔y
=0
(y − 1)2 + y 4
⇔ y = ±1
- Nếu y = 1, thay vào (2) suy ra x = 0 hoặc x = −2
- Nếu y = −1, thay vào (2), cũng suy ra được x = 0 hoặc x = −2
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm (0; 1) , (−2; 1) , (0; −1) , (−2; −1)
38 Giải hệ phương trình:

2x2 + x + y 2 = 7 (1)
xy − x + y = 3
(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Nếu x = −1 thì không thỏa mãn (2). Vậy x 6= −1
x+3
Từ phương trình (2) ta có xy − x + y = 3 ⇒ y =
x+1
Thay y vào phương trình (1)

2
x+3
2
=7
(1) ⇔ 2x + x +
x+1
"
#
2
x
+
3
⇔ (2x2 + x − 6) +
−1 =0
x+1
4
.(x + 2) = 0
⇔ (x + 2)(2x − 3) +
(x + 1)2
 3

2x + x2 − 4x + 1
⇔ (x + 2).
=0
(x + 1)2
"
x = −2

2x3 + x2 − 4x + 1 = 0

x = −2

x = 1


√ 
1
⇔
−3 − 17
x =

4

√ 
1
x=
−3 + 17
4
- Với x = −2, ta có nghiệm (−2; −1)
- Với x = 1, ta có nghiệm (1; 2)
√ 
1
- Với x =
−3 − 17 , ta có nghiệm
4
- Với x =

√ 
1
−3 + 17 , ta có nghiệm
4

√ !
√  9 − 17
1

−3 − 17 ;
4
1 + 17
√ !
√  9 + 17
1

−3 − 17 ;
4
1 + 17

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm:
√ !
√  9 − 17
1

(−2; −1), (1; 2),
−3 − 17 ;
,
4
1 + 17
http://boxmath.vn/

√ !
√  9 + 17
1

−3 − 17 ;

4
1 + 17
25

39 Giải hệ phương trình:
x2 + 3y = 9
y 4 + 4(2x − 3)y 2 − 48y − 48x + 155 = 0
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
9−x
3
Thay vào (2) ta có:

2

Ta có (1) ⇔ y

4

2

y + 4 (2x − 3) y − 48



9 − x2
3


− 48x + 155 = 0

⇔ y 4 + 4 (2x − 3) y 2 + 16x2 − 48x + 11 = 0


⇔ y 2 + 4x − 11 y 2 + 4x − 1 = 0
" 2
y = −4x + 11 (3)

y 2 = −4x + 1 (4)

9 − x2

y =

3
2
Thay (1) vào (3), ta được 

9 − x2


= −4x + 11 (∗)
3
" 2


x

3
2x
+
3
2 = 0 (6)
Ta có (∗) ⇔ x4 − 18x2 + 36x − 18 ⇔ x4 = 18(x − 1)2 ⇔


x2 + 3 2x − 3 2 = 0 (7)
p
p




12 2 − 6 36 − 24 2
3 2 + 18 − 12 2
⇒y=
x =
2
12
p
p
(6) ⇔ 





3 2 − 18 − 12 2
12 2 + 6 36 − 24 2
x=
⇒y=
2
12


p
p




−12 2 + 6 36 − 24 2
−3 2 + 18 − 12 2
⇒y=
x =
2
12

p
p
(7) ⇔ 




−3 2 − 18 − 12 2
−12 2 − 6 36 − 24 2
x=
⇒y=
2
12


Thay (1) vào (4) ta có

9 − x2


y
=

3


2 2

9

x


= −4x + 1(∗∗)
3
(∗∗) ⇔ x4 − 18x2 + 36x + 72 = 0


⇔ x2 − 6x + 12 x2 + 6x + 6 = 0
⇔ x2 + 6x + 6 = 0 (do x2 − 6x + 12 > 0, ∀x)
"


x = −3 + 3 ⇒ y = −1 + 2 3



y = −3 − 3 ⇒ y = −1 − 2 3
Vậy hệ phương trình có 6 nghiệm như trên. 

http://boxmath.vn/

26

40 Giải hệ phương trình:

x 2 + y 2 = x − y
y 3 − x 3 = y − x 2
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Ta có

(

(

x2 + y 2 = x − y
3

3

y −x =y−x

2



x(x − 1) = −y(y + 1)

(1)

2

y(y − 1)(y + 1) = x (x − 1) (2)

Thế (1) vào (2) được
− x(x − 1)(y − 1) = x2 (x − 1)

- Nếu x = 0 thay vào (1), ta được

⇔ x(x − 1)(x + y − 1) = 0

x=0

⇔
x = 1
x=1−y
"
y=0
y = −1
"

- Nếu x = 1 thay vào (1), ta được

y=0

y = −1
- Nếu x = 1 − y thay vào (1), ta được (1 − y) (−y) = −y (y + 1) ⇔ −y 2 = 0 ⇔ y = 0
Vậy hệ phương trình có các nghiệm
(x; y) là: (0; 0) , (0; −1) , (1; 0) , (1; −1) 
41 Giải hệ phương trình:

x3 − y 3 = 4x + 2y
x2 − 1 = 3(1 − y 2 )
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Xét 4 − x = 0 ⇒ x = 2, y = 0 hoặc x = −2, y = 0 (cả hai đều thỏa mãn).
Xét y = 0 suy ra x = 2 hoặc x = −2 (thỏa mãn)
Xét y 6= 0 và x 6= ±2
Ta có:
(
(
4x − x3 = −(y 3 + 2y)
x(4 − x2 ) = −y(y 2 + 2)
(∗) ⇔

4 − x2 = 3y 2
4 − x2 = 3y 2
( 2
y = −3xy − 2 (1)
Suy ra 3xy = −(y 2 + 2). Vậy
x2 = 10 + 9xy (2)
(
(x − y)(x2 + y 2 + xy) = 2(2x + y)
Mặt khác hệ phương trình cũng có thể viết thành
(x − y)(x + y) = 4(1 − y 2 )
(
(x − y)(8 + 7xy) = 2(2x + y)
Thay (1), (2) vào ta được:
(x + y)(x + y) = 12(1 + xy)
2

http://boxmath.vn/

27

(
Mặt khác, x khác y

nếu x = y thì hệ trở thành

2x = y
x = y = ±1

!
vô nghiệm

nên

⇒ 12(8 + 7xy)(1 + xy) = 2(2x + y)(x + y)
⇒ 6(8 + 7xy)(1 + xy) = 2x2 + y 2 + 3xy
Lại thay (1), (2) vào cho ta 6(8 + 7xy)(1 + xy) = 18(xy + 1) xy =

−5
7

- Với xy = −1 ta được x = −1, y = 1 hoặc x = 1, y = −1.
5
−5
1
−5
1
ta được x = √ , y = − √ hoặc x = √ , y = √
- Với xy =
7
7
7
7
7

Vậy hệ phương trình có sáu nghiệm (x; y) là: (1; −1); (−1; 1); (2; 0); (−2; 0);

5 −1
√ ;√
7 7

 

−5 1
; √ ;√ 
7 7

42 Giải hệ phương trình: 
2x2 + xy − y 2 − 5x + y + 2 = 0 (1)
x 2 + y 2 + x + y − 4 = 0
(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Ta có (1) ⇔ 2x + x (y − 5) − y − y + 2 = 0
Xét ∆x = (y − 5)2 − 4.2. (−y 2 − y + 2) = 9y 2 + 18y + 9 = 9(y + 1)2
Vậy suy ra
"
x = 5 − y + 3 (y + 1) = 2y + 8
2

2

x = 5 − y − 3 (y + 1) = −4y + 2
Nếu x = 2y + 8, thay vào (2) ta được
(2y + 8)2 + y 2 + 2y + 8 + y − 4 = 0 ⇔ 5y 2 + 35y + 68 = 0 (vô nghiệm)
Nếu x = −4y + 2, thay vào (2) ta được
(−4y + 2)2 + y 2 − 4y + 2 + y − 4 = 0
⇔ 17y 2 − 19y + 2 = 0

y=1
⇔
2
y=
17
- Với y = 1, suy ra x = −2
2
26
- Với y = , suy ra x =
17
17



Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) là: (−2; 1) ;


26 2
;

17 17

43 Giải hệ phương trình:

3 (x3 − y 3 ) = 4xy

(1)

x 2 y 2 = 9

(2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:

http://boxmath.vn/

28

"
Từ (2) suy ra

xy = 3

xy = −3
Nếu xy = 3 thì thay vào (1) ta được

 3
3
x −
=4⇔
x
3

"

q

3
3
x
=
2

31; y = p

3

3
x = 2 − 31
2 − 31

q
√ ⇒


3
3
x3 = 2 + 31
x = 2 + 31; y = p

3
2 + 31




Nếu xy = −3thì thay vào (1), ta được
3



x −

−3
x

3

= 4 ⇔ x3

2

− 4x3 + 27 = 0 (vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm.
44 Giải hệ phương trình:

cos2 x = sin x. sin y

(1)

sin2 x = cos x. cos y

(2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Cộng vế theo vế của hệ phương trình, ta được cos (y − x) = 1 ⇔ y = x + k2π, k ∈ Z
Thay vào (1), ta được
cos2 x = s inx. sin (x + k2π)
⇔ cos2 x = sin2 x
π lπ
⇔ x = + ,l ∈ Z
4
2
π mπ
+
,m ∈ Z
4
2

π π
π
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:
+l ; +m
(l, m ∈ Z)
4
2 4
2

Suy ra y =

45 Giải hệ phương trình:

 √
2 x + 2 + √y − 1 = 5
2√y + 2 + √x − 1 = 5

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Trừ vế theo vế của 2 phương trình trong hệ ta được:
x−y
x−y

=√

y−1+ x−1
x+2+ y+2

x=y
 p
⇔  √
p

2
x+2+ y+2 = y−1+ x−1

2√

Trường hợp 1: x = y

http://boxmath.vn/

29

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được:


2 x+2+ x−1=5

⇔ 5x − 18 + 4 x2 + x − 2 = 0

 x ≤ 18
5



2
16 x + x − 2 = 25x2 + 180x + 324

18


x≤


 5

⇔x=2⇒y=2
x=2





 x = 178
9
Trường hợp 2: Viết lại
p
p


2 y−1+2 x−1= x+2+ y+2






5− x−1
⇔2 5−2 x+2 +2 x−1= x+2+
2


⇔2 x+2= x−1+3

⇔ 4 (x + 2) = x + 8 + 6 x − 1

⇔x=2 x−1
⇔ x2 − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; 2)
46 Giải hệ phương trình:
 p
y x2 − y 2 = 48
p
x + y + x2 − y 2 = 24
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
2

Điều kiện: x ≥ y

2

http://boxmath.vn/

30

Biến đổi hệ phương trình đã cho:
 p
48

 x2 − y 2 =
y
48

 x+y+
= 24
y

48

 x = 24 − y −
y

2
48

 x2 − y 2 =
y2

48


 x = 24 − y −
y2
⇔ 
48
482

2

24

y


y
=

y
y2

48

 x = 24 − y −
y

2.24.48

 242 − 2.24.y −
+ 2.48 = 0
y

48


 x = 24 − y − y
"

y=6



y=8
 "

 y=6

y=8


x = 10
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (10; 6) và (10; 8)
47 Giải hệ phương trình:

x4 − x3 y + x2 y 2 = 1
x3 y − x2 + xy = −1
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Hệ phương trình đã cho
 tương đương với hệ :

x2 (x2 − 2xy + y 2 ) + x3 y = 1
x2 (x − y)2 + x3 y = 1

−x(x − y) + x3 y = −1
−x(x − y) + x3 y = −1

x3 y = −1 + x(x − y)
(1)

x2 (x − y)2 + x(x − y) − 2 = 0 (2)
Giải phương trình (2), ta đặt x(x − y) = a, nên có: "
a2 + a − 2 = 0 ⇔

a=1

a = −2
Với a = x(x − y) = 1, ta đem thế vào phương trình "
(1), vậy nên dẫn đến:
x=0
x3 y = 0 ⇔
y=0
Với x = 0 hệ phương trình đã cho vô nghiệm
Với y = 0 thế vào ta được nghiệm x = 1
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 bộ nghiệm (x; y) = (1; 0)
http://boxmath.vn/

31

48 Giải hệ phương trình:

(x2 + x + 1)(y 2 + y + 1) = 3
(1 − x)(1 − y) = 6
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:


(x − 1)2 + 3(x − 1) + 3 (y − 1)2 + 3(y − 1) + 3 = 3
⇔(x − 1)2 (y − 1)2 + 3(x − 1)(y − 1)(x + y + 1) + 3(x − 1)2 + 9(x − 1) + 3(y − 1)2 + 9(y − 1) + 6 = 0 (1)
Với y = 1 không là nghiệm của hệ. Với y 6= 1, phương trình thứ hai của hệ tương đương:
x−1=

6
(2)
y−1

Thế (2) vào (1), ta được:
(y − 1)2 + 9(y − 1) +

36
54
+
+ 32 = 0
y − 1 (y − 1)2

Đặt t = y − 1, điều kiện t 6= 1 Ta có phương trình sau:
"
t4 + 9t3 + 32t2 + 54t + 36 = 0 ⇔ (t + 2)(t + 3)(t2 + 4x + 6) = 0 ⇔

t = −2
t = −3

Với t = −2, ta được: y = −1, x = −2
Với t = −3, ta được: y = −2, x = −1
Vậy hệ có hai nghiệm: (x, y) = (−2; −1), (−1; −2)
49 Giải hệ phương trình:

2x2 + xy − y 2 − 5x + y + 2 = 0
x 2 + y 2 + x + y = 4
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Nhóm nhân tử phương trình thứ (1) ta được:
(x + y − 2)(2x − y + 1) = 0
Ta thế y = 2 − x vào phương trình (2), ta được nghiệm x = 1
Ta thế y = 2x + 1 vào phương trình (2), ta được kết quả:
5x2 + 7x − 2 = 0


−7 + 89
−2 + 89
Với x =
thì y =
10√
5√
−7 − 89
−2 − 89
Với x =
thì y =
10
5
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 bộ nghiệm

√ !

√ !
−7 + 89 −2 + 89
−7 − 89 −2 − 89
(x; y) = (1; 1),
;
,
;

10
5
10
5
50 Giải hệ phương trình:

y 3 = x3 (9 − x3 )
x2 y + y 2 = 6x
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

http://boxmath.vn/

32

Lời giải:
Với y = 0 thì x = 0, vậy (0; 0) là nghiệm của hệ
Với y 6= 0, thì hệ phương trình đã
cho tương đương với:

3
 2

x +y
 x2 + y


− 3y
=9
x
x
2

x + y = 6

x
y
Dẫn đến ta có kết quả sau sau y 3 = 8 ⇒ y = 2
Với y = 2 thì x = 2 hoặc x = 1
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm (x; y) = (2; 2), (1; 2), (0; 0)
51 Giải hệ phương trình:

2y 2 x + 2x + y 3 − y 2 − 1 = 7y
2y 2 + 2xy + 1 = 7y
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Hệ phương trình đã cho tương
 đương :
y(−2y 2 + 2y − 1) + 2x + y 3 − y 2 − 1 = 7y
2y 2 + 2xy + 1 = 7y

2x = y 3 − 6y 2 + 8y + 1

2y 2 + 2xy + 1 = 7y

2x = y 3 − 6y 2 + 8y + 1

2y 2 + y(y 3 − 6y 2 + 8y + 1) + 1 = 7y

2x = y 3 − 6y 2 + 8y + 1

y 4 − 6y 3 + 10y 2 − 6y + 1 = 0


2x = y 3 − 6y 2 + 8y + 1
x = 2


(y − 1)4 = 0
y = 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y) = (2; 1)
52 Giải hệ phương trình: 
x3 − 3xy 2 − x + 1 = y 2 − 2xy − x2
y 3 − 3yx2 + y − 1 = y 2 + 2xy − x2
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Hệ phương trình đã cho
 tương đương với hệ sau:
x(x2 − y 2 ) − 2xy 2 + (x2 − y 2 ) + 2xy − x + 1 = 0 (1)
y(y 2 − x2 ) − 2x2 y + (x2 − y 2 ) − 2xy + y − 1 = 0 (2)

http://boxmath.vn/

33

Lấy (1) − i(2) ta được phân tích sau:
x(x2 − y 2 ) − 2xy 2 + (x2 − y 2 ) + 2xy − x + 1 − i[y(y 2 − x2 ) − 2x2 y + (x2 − y 2 ) − 2xy + y − 1] = 0
⇔(x2 − y 2 )(x + yi) − 2xy(xi − y) + (x2 − y 2 )(1 − i) + 2xy(1 + i) − (x + yi) + 1 + i = 0
⇔(x + yi)(x2 − y 2 ) + 2xyi(x + yi) + (x2 − y 2 )(1 − i) − 2xyi(i − 1) − (x + yi) + 1 + i = 0
⇔(x + yi)(x2 + 2xyi − y 2 ) + (x2 + 2xyi − y 2 )(1 − i) − (x + yi) + 1 + i = 0
⇔(x + yi)3 + (1 − i)(x + yi)2 − (x + yi) + 1 + i = 0
Đặt z = x + yi, vậy nên dẫn đến:
z 3 + (1 − i)z 2 − z + 1 + i = 0 ⇔ (z − 1)(z 2 + z + i − 1) = 0
Với z = i thì x = 0 và y = 1
Với z 2 + z + i − 1 = 0 (bạn đọc tự giải). 
53 Giải hệ phương trình:

x2 y − 2x + 3y 2 = 0
y 2 x + 2y + x2 = 0
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Nhận thấy x = y = 0 là 1 nghiệm của hệ.
Với xy 6= 0. Đặt x = ty, ta có hệ:

t2 y 2 − 2t + 3y = 0
ty 2 + 2 + t2 y = 0
Nhân (2) với t rồi cộng và trừ vế theo vế ta được: y =
"
t = −1

Từ đây ta có: t6 − 8t3 − 9 = 0 ⇔
t= 39
- Với t = −1 ⇒ y = −1 √
⇒x=1


239
3
- Với t = 9 ⇒ y = −
⇒ x = −2 3 3
3

−t3 − 3
4t
=
2
2t
3 − t3

√ !
239

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm: (x; y) = (0; 0), (1; −1), −2 3; −
3

3

54 Giải hệ phương trình: 

4(xy + x2 + y 2 ) +

3
= 7 (1)
(x + y)2

2x + 1


=3
x+y

(2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Từ phương trình (2), ta có: x = 1 − 3y
Thế (3) vào (1) ta được

(3)

4[(1 − 3y)y + (1 − 3y)2 + y 2 ] +

3
=7
(1 − 3y)2

⇔ − 56y 4 + 40y 3 + 34y 2 − 20y = 0


1
⇔y y −
(−56y 2 + 12y + 40) = 0
2
http://boxmath.vn/

34

- Với y = 0 thì x = 1
−1
1
- Với y = thì x =
2 √
2

3 − 569
19 + 3 569
- Với y =
thì x =
28
28√

3 + 569
19 − 3 569
- Với y =
thì x =
28
28
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
!




−1 1
19 − 3 569 3 + 569
(x; y) = (1; 0),
;
,
;
,
2 2
28
28

!


19 + 3 569 3 − 569
;

28
28

55 Giải hệ phương trình:
√
 x − 1 + √x(3√x − y) + x√x = 3y + √y − 1
3xy 2 + 4 = 4x2 + 2y + x
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:

x ≥ 1
Điều kiện:
y ≥ 1
• Với x = 1, ta được:

( √

y − 1 = 4y − 4
⇔y=1
3y 2 − 2y − 1 = 0

Suy ra (x; y) = (1; 1) là một nghiệm của hệ.
• Với x > 1, phương trình thứ nhất tương đương:
p


x − 1 − y − 1 + 3(x − y) + x(x − y) = 0

x−y
+ 3(x − y) + x(x − y) = 0
⇔√

x−1+ y−1

1
+ 3 + x) = 0
⇔(x − y)( √

x−1+ y−1
⇔x = y
Thế y = x vào phương trình thứ hai ta được:
3x3 − 4x2 − 3x + 4 = 0
⇔(x − 1)(x + 1)(3x − 4) = 0
4
⇔x =
3
4
4
Với x = , ta được y = x =
3
3
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (1; 1),




4 4

;
3 3

56 Giải hệ phương trình: 
−x2 y + 2xy 2 + 3y 3 − 4(x + y) = 0
xy(x2 + y 2 ) − 1 = 3xy − (x + y)2
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
http://boxmath.vn/

35

Phương trình thứ nhất tương đương:
− x2 y − xy 2 + 3xy 2 + 3y 3 − 4(x + y) = 0
⇔(x + y)(3y 2 − xy − 4) = 0
"
y = −x

3y 2 − xy − 4 = 0 (∗)
• Thế y = −x vào phương trình thứ hai của hệ đã cho,ta được:
2x4 − 3x2 + 1 = 0

x = ±1



2
x=±
2
√ !
√ √ ! √
2 2
2
2
;
,
;−
là bốn nghiệm của hệ đã cho.
Suy ra (x; y) = (−1; 1), (1; −1), −
2 2
2
2
• Phương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương:
(xy + 1)(x2 + y 2 − 1) = 0
"
xy = −1

x2 + y 2 − 1 = 0 (∗∗)
+ Thế xy = −1 vào (*), ta được: y 2 = 1 ⇔ y = ±1.
Suy ra (x; y) = (−1; 1), (1; −1) là hai nghiệm của hệ đã cho.
3y 2 − 4
+ Từ x2 + y 2 = 1 ta được y 6= 0. Do đó (∗) ⇔ x =
.
y
3y 2 − 4
vào (**), ta được:
Thế x =
y
10y 4 − 25y 2 + 16 = 0 (vô nghiệm)
√ √ !
2 2
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm (x; y) = (−1; 1), (1; −1), −
;
,
2 2
57 Giải hệ phương trình:



√ !
2
2
;−

2
2


x(√y + 1 + 1) = 7√y + 1 − 1
x2 y + x√y + 1 = 13y − x2 + 12

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Điều kiện: y ≥ −1
phương trình thứ hai của hệ đã cho, tương đương:
p
(x2 − 13)(y + 1) + x y + 1 + 1 = 0 (∗)
• Ta thấy x = 7 không là nghiệm của hệ.
• Ta thấy x =
6 7, phương trình thứ nhất hệ đã cho tương đương:
p
p
x( y + 1 + 1) = 7 y + 1 − 1
p
⇔(7 − x) y + 1 = x + 1
p
x+1
⇔ y+1=
7−x
http://boxmath.vn/

36

Thế



y+1=

x+1
vào (*), ta được:
7−x


2

(x − 13)

x+1
7−x

2
+

x(x + 1)
+1=0
7−x

⇔x4 + x3 − 5x2 − 33x + 36 = 0
⇔(x − 1)(x − 3)(x2 + 5x + 12) = 0
"
x=1

x=3

1
8
y+1= ⇔y =−
3
9

Với x = 3, ta được y + 1 = 1 ⇔ y =
0


8
, (3; 0) 
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = 1; −
9
Với x = 1, ta được

58 Giải hệ phương trình:
p
 x + √y + px − √y = 2
p
p
 y + √x − y − √x = 1
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ 0.
Hệ phương đã cho tương đương:

x + px2 − y = 2
p
2y − 2 y 2 − x = 1
Chuyển vế sau đó bình phương lên và thu gọn ta có :

−4x + y + 4 = 0
−4y + 4x + 1 = 0

Vậy hệ có 1 nghiệm (x; y) =
59 Giải hệ phương trình:


17 5
;

12 3
x √
 − x − 2y = 6y + 2
y
px + √x − 2y = x + 3y − 2

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Điều kiện: y 6= 0
Phương trình thứ nhất tương đương:
p
y 2 25y 2
x − 2y −
=
2
4
" √
x − 2y = −2y (1)
⇔ √
x − 2y = 3y
(2)
- Với



x − 2y = −2y, thay vào phương trình thứ hai ta có:
p
x − 2y = x + 3y − 2 ⇔ −2y = x + 3y − 2 ⇔ x = −5y + 2

http://boxmath.vn/

37


y ≤ 0

Thay x = −5y + 2 vào (1) ta được −7y + 2 = −2y ⇔
⇔ y = −2 ⇒ x = 12
4y 2 + 7y − 2 = 0

- Với x − 2y = 3y, thay vào phương trình thứ hai ta có:
" √
p
x + 3y = −1 (loại)
x + 3y = x + 3y − 2 ⇔ √
x + 3y = 2 ⇒ x = 4 − 3y

y ≥ 0

8
4
Thay x = 4 − 3y vào (2) ta được 4 − 5y = 3y ⇔
⇔y= ⇒x=
9y 2 + 5y − 4 = 0
9
3


8 4
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (x; y) =
;
, (12; −2).
3 9
60 Giải hệ phương trình: 
16x3 y 3 − 9y 3 = (2xy − y)(4xy 2 + 3)
4x2 y 2 − 2xy 2 + y 2 = 3
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
• Với y = 0 không là nghiệm hệ.
• Với y 6= 0, ta chia phương trinh thứ nhất cho y 3 , phương trình thứ hai cho y 2 ta được



3

16x3 − 9 = (2x − 1) 4x + 2
(1)
y

4x2 − 2x + 1 = 3
(2)
y2
Thế (2) vào (1) ta được:
16x3 − 9 = (2x − 1)(4x2 + 2x + 1) ⇔ 16x3 − 9 = 8x3 − 1 ⇔ x3 = 1 ⇔ x = 1
Thay x = 1 vào (2) ta được y = ±1
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (x; y) = (1; −1), (1; 1).
61 Giải hệ phương trình:
 

1


=3
2x 1 + 2
x + y2 

1


=1
2y 1 − 2
x + y2
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Điều kiện: xy 6= 0
Hệ phương trình đã cho tương đương:
 

1


=
2 1 + 2
x + y2 

1


=
2 1 − 2
x + y2
Nhân vế theo vế ta được:
x2

3
(∗)
x
1
y


3 1

4 = +
x y

4
3 1


=

x2 + y 2
x y

16
9
1
= 2− 2
2
+y
x
y

⇔9y 4 − 8x2 y 2 − x4 = 0
⇔y 2 = x2
http://boxmath.vn/

38

Thế y 2 = x2 vào (*), ta được:

2x2 − 3x + 1 = 0 ⇔ 

Thử lại ta thấy nghiệm (x; y) = (1; 1),

1 1
;−
2 2

x = 1 ⇒ y = ±1
1
1
x= ⇒y=±
2
2



thỏa mãn.


1 1
;−

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (x; y) = (1; 1),
2 2
62 Giải hệ phương trình:

x2 + y 2 + 2xy = 1
x+y
√
x + y = x2 − y

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Điều kiện: x + y > 0.
Phương trình thứ nhất tương đương:
(x + y − 1)(x2 + y 2 + x + y) = 0 ⇔ x + y = 1
"
x=1⇒y=0
Thay y = 1 − x vào phương trình thứ hai ta có: x2 + x − 2 = 0 ⇔
x = −2 ⇒ y = 3
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x; y) = (1; 0), (−2; 3) 
63 Giải hệ phương trình:

xy + x + y = x2 − 2y 2
x√2y − y √x − 1 = 2x − 2y
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
"
(x + y)(y + 1 − x + y) = 0 ⇔

x+y =0
x − 2y = 1

Từ điều kiện suy ra x + y > 0, do đó ta chỉ nhận x = 2y + 1
Thê x = 2y + 1 vào phương trình thứ hai ta được
p
(y + 1)( 2y − 2) = 0 ⇔ y = 2 ⇒ x = 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x; y) = (5; 2) 
64 Giải hệ phương trình:

(x − 1) (y 2 + 6) = y (x2 + 1)
(y − 1) (x2 + 6) = x (y 2 + 1)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Ta viết hệ phương trình dưới dạng:
http://boxmath.vn/

39


xy 2 + 6x − y 2 − 6 = x2 y + y

(1)

x2 y + 6y − x2 − 6 = xy 2 + x (2)
Lấy (1) trừ (2) ta được:
− xy (x − y) + 6 (x − y) + (x − y) = xy (x − y) − (x − y)
⇔ (x − y) (x + y − 2xy + 7) = 0
"
x=y

x + y − 2xy + 7 = 0
- Với: x = y thay lại vào phương trình (1) ta được: "
x2 − 5x + 6 = 0 ⇔

x=y=2
x=y=3

- Với: x + y − 2xy + 7 = 0
• Lấy (1) cộng với (2) ta được:
6 (x + y) − (x + y)2 + 2xy − 12 = x + y ⇔ (x + y)2 − 5 (x + y) − 2xy + 12 = 0
• Ta đặt S= x + y, P = xy (S 2 ≥ 4P ) khi
đó ta được:
S − 2P + 7 = 0
S = 2P − 7

S 2 − 5S − 2P + 12 = 0
(2P − 7)2 − 5 (2P − 7) − 2P + 12 = 0

P = 6


S = 2P − 7
 S = 4


⇔(
2
P − 10P + 24 = 0

P =4

(loại)
S=1

P = 5
• Với
suy ra x; y là nghiệm của phương trình:
S = 6
"
t=3
t2 − 5t + 6 = 0 ⇔
t=2
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm (x; y) = (2; 2), (3; 3), (2; 3), (3; 2) 
65 Giải hệ phương trình:
x2
y2
1
+
2
2 =
2
(y + 1)
(x + 1)

3xy = x + y + 1




(1)
(2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Điều kiện: x, y > −1
Cách 1
Từ phương trình (2) của hệ ta có:

y + 1 = (3y − 1) x
x + 1 = (3x − 1) y
Thay vào phương trình (1) ta được
hệ mới:
1
1
1


2 +
2 =
2
(3x − 1)
(3y − 1)

 3xy = x + y + 1
http://boxmath.vn/

40

Đặt: u = 3x − 1; v = 3y − 1 suy ra: uv = 9xy − 3 (x + y) + 1 = 3 (x + y + 1) − 3 (x + y) + 1 = 4
Vậy ta có hệ mới là:

u + v = 4


( 2
 uv = 4
 1 + 1 =1

u + v2 = 8
2
2
u
v
2 ⇔
⇔


uv
=
4
 u + v = −4
uv = 4

uv = 4


u + v = 4
u = 4 − v
- Với:

⇔ u = v = 2 ⇒ x = y = 1 (thỏa)
uv = 4
v 2 − 4v + 4 = 0


u + v = −4
u = −4 − v
1
- Với:

⇔ u = v = −2 ⇒ x = y = − (thỏa)
uv = 4
v 2 + 4v + 4 = 0
3


1 1
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (1; 1), − ; − 
3 3
Cách 2
Ta có đánh giá quen thuộc sau đây:
a2 + b2 ≥ 2ab ∀a, b ∈ R
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b
Do đó từ (1) ta có:
y2
2xy
1
x2
+
=
2
2 ≥
2
(x + 1) (y + 1)
(y + 1)
(x + 1)
⇔ (x + 1) (y + 1) ≥ 4xy
⇔ 3xy ≤ x + y + 1


2
y2

x = y
 x
=
2
2
(y
+
1)
(x
+
1)

Dấu "=" xảy ra ⇔
3x2 − 2x − 1 = 0

3xy = x + y + 1

x=y=1
(thỏa)


1
x=y=−
(thỏa)
3 

1 1
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (1; 1), − ; − 
3 3
Cách 3
Từ phương trình (2) của hệ ta có:
4xy = x + y + xy + 1 ⇔ 4xy = (x + 1) (y + 1)
xy
1

=
(x + 1) (y + 1)
4
Kết hợp với (1) ta có được:

2
x2
y2
2xy
x
y
+
=


=0
(x + 1) (y + 1)
y+1 x+1
(y + 1)2 (x + 1)2
x
y

=
y+1
x+1
⇔x=y
Với x = y thế lại vào (2) ta được:

http://boxmath.vn/

41



x=y=1

(thỏa)

2

3x − 2x − 1 = 0 ⇔ 

1
x=y=−
3


1 1
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (1; 1), − ; − 
3 3

(thỏa)

66 Giải hệ phương trình:
p

x
+
x2 − y 2
9x


p

=
5
x − x2 − y 2
5
+
3x
x


 =
y
6 (5 − y)

(1)
(2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Điều kiện:





y 6= 0
x2 − y 2 ≥ 0


p

x − x2 − y 2 6= 0

(?)

Ta biến đổi phương trình (2):
(2) ⇔ 30x − 6xy = 5y + 3xy ⇔

5 + 9x
10x 5
x
=
⇔x=
− (??)
y
30
3y
9

Thực hiện trục căn thức ở (1) ta được:

2

2
p
s 
2
x + x2 − y 2
9x
x
x
9x
=
⇔ +
(1) ⇔
− 1 =
2
y
5
y
y
5


s 
s 
 2
2
2
x
x
x x
x
9x
x
x
⇔2
=6 −1⇔  +
+2
−1−1=
− 1 − 3 = 0
y
y
y
5
y
y y
y
x
=0
y

s 
⇔
2
x
x
+
−1−3=0
y
y
- Với:

x = 0
x
(vô nghiệm)
=0⇒
x = − 5 (từ (??))
y
9
- Với:

x
s 
s 


≤3
2
2

y 
x
x
x
x

 2
2
+
−1−3=0⇔
−1=3− ⇔
x
x
x

y
y
y
y

−1=9−6 +

y
y
y
x
5
⇔ =
3
 y

x=5
5
x
Từ = và (??) suy ra:
.Thử lại điều kiện (?) ta thấy thỏa.
y = 3
y
3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (5; 3)

http://boxmath.vn/

42

67 Giải hệ phương trình:

4x2 + 3y (x − 1) = 7 (1)
3y 2 + 4x (y − 1) = 3 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Xuất phát từ phương trình (2) ta có:

(2) ⇔ 3 y 2 − 1 + 4 (y − 1) = 0
⇔ (y − 1) [3 (y + 1) + 4x] = 0
"
y=1

3 (y + 1) + 4x = 0
- Với: y = 1 thay vào (1) ta được:
5
4
4x + 3x − 10 = 0 ⇔ 
x = −2
- Với:
 3 (y + 1) + 4x = 0 kết hợp
 với (1) ta có hệ sau đây:
4x2 + 3y (x − 1) = 7
3x + 3y = −7
3x − (3 + 4x) = −7


3x (y + 1) + 4x2 = 0
3 (y + 1) + 4x = 0
y = − 3 + 4x
3
 


19
5
; 1 , 4; −

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (−2; 1),
4
3


2

x=




x = 4
y = − 19
3

68 Giải hệ phương trình:

4x2 + 3y (x − 1) = 60
3y 2 + 4x (y − 1) = 48
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Ta biến đổi:

(

4x2 + 3xy − 3y = 60

(1)

3y 2 + 4xy − 4x = 48
(2)
Lấy (1) nhân 4 rồi cộng với (2) nhân 3 ta được:
4 (4x2 + 3xy − 3y) + 3 (3y 2 + 4xy − 4x) = 384 ⇔ (4x + 3y)2 − 12 (x + y) = 384 (3)
Lấy (1) cộng (2) ta được:
(4x2 + 3xy − 3y) + (3y 2 + 4xy − 4x) = 108 ⇔ (4x + 3y) (x + y) − (4x + 3y) = 108 (4)
t2 − 384
Đặt: t = 4x + 3y, từ (3) suy ra: x + y =
thay vào (4) ta được:
12
 2


t − 384
t
− t = 108 ⇔ t3 − 396t − 1296 = 0 ⇔ (t + 18) t2 − 18t − 72 = 0
12

t = −18


⇔
 t = 9 + 3√17
t = 9 − 3 17
- Với t = −18 suy ra:


4x + 3y = −18
x = −3

x + y = −5
y = −2

- Với 9 + 3 17 suy ra:

http://boxmath.vn/

43







x = 93 − 21 17
4x + 3y = 9 + 3 17

2 √
−25 + 9 17 ⇔ 

y = −59 + 15 17
x + y =
2

- Với 9 − 3 17 suy ra: 





x = 93 + 21 17
4x + 3y = 9 − 3 17

2 √
−25 − 9 17 ⇔ 

y = −59 − 15 17
x + y =
2
Vậy hệ đã cho có nghiệm
!
!




93 − 21 17
93 + 21 17
; −59 + 15 17 ,
; −59 − 15 17 
(x; y) = (−3; −2),
2
2
69 Giải hệ phương trình:

x3 + y = 2 (1)
y 3 + x = 2 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Cách 1
Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ ta được:
(x − y) (x2 + xy + y 2 − 1) = 0
- Trường hợp x = y. Thay lại vào (1) ta được:
x3 + x = 2 ⇔ (x − 1) (x2 + x + 2) ⇔ x = 1 (vì x2 + x + 2 > 0 ∀x ∈ R)
- Trường hợp x2 + y 2 + xy = 1
Không mất tính tổng quát ta giả sử x ≥ y, từ (1) ta có:
2 = x3 + y ≤ x3 + x ⇔ x3 + x − 2 ≥ 0

⇔ (x − 1) x2 + x + 2 ≥ 0
⇔ x ≥ 1 (vì x2 + x + 2 > 0 ∀x ∈ R)
• 1 ≤ x ≤ 2 ⇒ 0 ≤ y ≤ 1 khi đó ta có:
x3 + y ≥ x + y 3
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1
Thử lại thấy không thỏa mãn x2 + xy + y 2 = 1
• x ≥ 2. Ta có:

2
1
3
2
2
x + xy + y =
x + y + x2 ≥ 3 > 1 ⇒ hệ vô nghiệm
2
4
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x = y = 1
Cách 2
Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ ta được:
(x − y) (x2 + xy + y 2 − 1) = 0
- Với x = y. Thay lại vào (1) ta được:
x3 + x = 2 ⇔ (x − 1) (x2 + x + 2) ⇔ x = 1 (vì x2 + x + 2 > 0 ∀x ∈ R)
- Với x2 + y 2 + xy = 1 ⇔ (x + y)2 − xy = 1
Cộng vế theo vế hai phương trình ban đầu ta được:
x3 + y 3 + x + y = 4 ⇔ (x + y)3 − 3xy (x + y) + x + y = 4
Đặt: a = x + y ; b = xy (a2 ≥ 4b) khi đó ta có hệ:

http://boxmath.vn/

44

(

2

a −b=1
a3 − 3ab + a = 4




a2 − b − 1 = 0
a (a2 − 3b + 1) = 4

Từ (3) suy ra: a 6= 0, b 6= 1 và a =




a (−2b + 2) = 4

(3)

a2 − b − 1 = 0

(4)

2
1−b

Thay vào (4):


2
1−b

2

− b − 1 = 0 ⇔ b3 − b2 − b − 3 = 0

⇔ (b − 2) b2 + b + 1 = 1
⇒b>2

Từ đó suy ra:
a2 − 4b ≤ −4b = −8 < 0 ⇒ vô lý ⇒ hệ vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1)
Chú ý: Ta có thể chứng minh x2 + xy + y 2 − 1 = 0 vô nghiệm như sau: Từ a2 − b = 1 và a2 ≥ 4b
ta có:
4
2
a2
⇔ a2 ≤ ⇔ |a| ≤ √
1 = a2 − b ≥ a2 −
4
3
3
2
3
Thay b = a − 1 vào a − 3ab + a = 4 ta được:
a3 − 2a + 2 = 0 
2 2
Khảo sát hàm số f (a) = a3 − 2a + 2 trên đoạn − √ ; √
3 3

2 2
Ta dễ thấy phương trình f (a) = 0 với a ∈ − √ ; √ vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm
3 3
Cách 3
Cộng, trừ hai vế tương ứng của hai phương trình ta được:

(x − y) (x2 + xy + y 2 − 1) = 0
(x + y) (x2 − xy + y 2 + 1) = 4
Trường hợp 1: x = y dễ thấy là hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1)
Trường hợp 2: Xét hệ hai ẩn S, P :

S 2 − P = 1
(1)
S (S 2 − 3P + 1) = 4 (2)
với S = x + y và P = xy (S 2 ≥ 4P )
Từ (1) và điều kiện S 2 ≥ 4P ta suy ra: −1 ≤ P ≤
Thay S 2 = 1 + P vào (2) ta được:

1
3

S (1 − P ) = 2
Từ đây suy ra S > 0
Mặt khác (2) được viết lại theo ẩn S là:
S 3 − 2S + 2 = 0
Xét: f (S) = S 3 − 2S + 2 với S > 0. Lập bảng biến thiên ta thấy f (S) > 0 với mọi S > 0 nên trường
hợp 2 vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x; y) = (1; 1)
http://boxmath.vn/

45

70 Giải hệ phương trình:

x3 + 4y = y 3 + 16x
1 + y 2 = 5 (1 + x2 )
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Cách 1
Hệ đã cho tương đương với:

y (y 2 − 4) = x (x2 − 16)
y 2 − 4 = 5x2
Từ đó suy ra:


x=0


5x y = x (x − 16) ⇔ x (5xy − x + 16) = 0 ⇔ 

1
y=
5

2

2

2



16
x−
x



- Với x = 0 ta có:
y 2 − 4 = 0 ⇔ y = ±2


1
6
- Với y =
x−
ta có:
5
x

2
1
16
256
x−
− 4 = 5x2 ⇔ x2 − 32x + 2 − 100 = 125x2
25
x
x
64
⇔ 31x2 + 33 − 2 = 0
 x


1
64
⇔ x−
31x +
=0
x
x
" 2
x =1

31x2 = −64 (vô nghiệm)
"
x = 1 ⇒ y = −3

x = −1 ⇒ y = 3
Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (0; −2), (0; 2), (1; −3), (−1; 3)
Cách 2
Viết lại hệ đã cho dưới dạng:
( 3
x − y 3 = 16x − 4y (1)
y 2 − 5x2 = 4
(2)
Nhân (1) với 4 và khéo léo thay (2) vào ta được phương trình:


4 x3 − y 3 = (16x − 4y) y 2 − 5x2

⇔ x3 − y 3 = (4x − y) y 2 − 5x2
⇔ x3 − y 3 = 4xy 2 − 20x3 − y 3 + 5x2 y

⇔ x 21x2 − 4y 2 − 5xy = 0

x=0

7
⇔ x (4y − 7x) (y + 3x) = 0 ⇔ 
 y = 4x
y = −3x
- Với x = 0 thế lại vào (2) ta suy ra y = ±2
7
- Với y = x vào (2) ta được:
4
http://boxmath.vn/

46

31x2 = −64 (vô nghiệm)
- Với y = −3x vào (2) ta được:
"
4x2 = 4 ⇔

x = −1 ⇒y = 3

x=1
⇒y = −3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (0; 2), (0; −2), (−1; 3), (1; −3)
Cách 3
Viết hệ phương trình đã cho lại dưới dạng:

x3 − y 3 = 16x − 4y (1)
y 2 − 5x2 = 4
(2)
• Xét x = 0 ta thấy hệ có nghiệm (x; y) = (0; 2); (0; −2)
• Xét x 6= 0 ta đặt y = mx. Hệ trở thành:


x3 − (mx)3 = 16x − 4mx
x2 (1 − m3 ) = 16 − 4m (3)

(mx)2 − 5x2 = 4
x2 (m2 − 5) = 4
(4)
- Ta thấy m = 1; m = 4 không thỏa mãn hệ nên chia theo vế (3) và (4) ta thu được:
1
m2 − 5
=
⇔ 1 − m3 = 4m2 − 20 − m3 + 5m
3
1−m
4−m
⇔ 4m2 + 5m − 21 = 0

m = −3
⇔
7
m=
4
- Với m = −3 suy ra y = −3x thế vào (2) ta thu được:
"
x = −1 ⇒y = 3
2
4x = 4 ⇔
x=1
⇒y = −3
- Với m =

7
7
suy ra y = x thay vào (2) ta được:
4
4
31x2 = −64 (vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (0; 2), (0; −2), (−1; 3), (1; −3)
71 Giải hệ phương trình:

y 3 = x3 (9 − x3 )
x2 y + y 2 = 6x
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:
Cách 1
Hệ phương trình đã cho tương 
đương với hệ sau:
9x3 = (x2 + y) (x4 − x2 y + y 2 )
y (x2 + y) = 6x

(1)
(2)

Nhận thấy (x; y) = (0; 0) là một nghiệm của hệ
http://boxmath.vn/

47