Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Tuyển chọn các bài toán trong kì thi chọn đội tuyển của các tỉnh, thành phố năm học 2016-2017

17dd8e9b5a18b6b649a452659ed735e2
Gửi bởi: Tuyển sinh 247 vào ngày 2017-10-04 11:23:47 || Kiểu file: PDF Lượt xem: 1093 | Lượt Download: 31 | File size: 0 Mb

Nội dung tài liệu Xem trước tài liệu

Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

−1

Blog TOÁN HỌC CHO MỌI NGƯỜI
https://thcmn.wordpress.com/
https://www.facebook.com/thcmn/
blogtoanhocchomoinguoi@gmail.com

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN
TRONG KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
CỦA CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2016 – 2017

TRẦN MINH NGỌC – LƯƠNG VĂN KHẢI
VÕ THÀNH ĐẠT – HOÀNG ĐÌNH HIẾU – LÊ THÀNH LONG – ĐẶNG NHÌ – NGUYỄN DUY TÙNG
NGUYỄN TRƯỜNG HẢI – ĐỖ TRẦN NGUYÊN HUY – PHẠM THỊ HỒNG NHUNG – PHẠM QUỐC THẮNG

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN
TRONG KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
CỦA CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2016 – 2017

Tháng 12 năm 2016

LỜI NÓI ĐẦU
Ban biên tập
"Đi nhiều người, bạn sẽ đi rất xa."
Với mục đích giúp quý thầy cô và các bạn học sinh có một tài liệu chất
lượng để chuẩn bị cho kì thi Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán (VMO), tập thể
các quản trị viên blog Toán học cho mọi người đã cùng nhau biên soạn cuốn
sách "Tuyển chọn theo chuyên đề các bài toán trong kì thi chọn đội tuyển VMO
của các tỉnh, thành phố".
Trong cuốn sách này, các bài toán được liệt kê trước, sau đó là phần lời
giải, đáp số. Trong một số bài toán, chúng tôi có đưa ra nhiều hơn một cách
tiếp cận, nhưng cũng có những bài toán mà chúng tôi thấy chỉ cần hướng dẫn
sơ lược lời giải, qua đó giúp bạn đọc chủ động trong quá trình đọc tài liệu. Nhiều
bài giải của chúng tôi trong đây chưa phải là cách làm hay nhất, tốt nhất cho
các bài toán tương ứng, và chúng tôi rất mong nhận được sự đánh giá, đóng góp
của bạn đọc để những lần biên soạn sau, chất lượng cuốn tuyển tập này được
nâng lên.
Các phần của cuốn sách và người biên soạn cụ thể như sau:
• Bất đẳng thức: Võ Thành Đạt (Sinh viên khoa Toán - Tin học Đại học Khoa học

Tự nhiên Tp. HCM).
• Đa thức,Phương trình và Hệ phương trình:
Đỗ Trần Nguyên Huy (Học sinh

trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG Tp. HCM) và Phạm Quốc Thắng (Học
sinh trường THPT chuyên Long An).
• Hình học: Trần Minh Ngọc (Học viên Cao học Đại học Sư phạm Tp.
HCM),

Lương Văn Khải và Nguyễn Duy Tùng (Sinh viên khoa Toán - Tin học trường
Đại học Khoa học tự nhiên Tp. HCM).
• Số học: Phạm Thị Hồng Nhung (Học sinh trường THPT chuyên Lê Quý Đôn,

tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu).
• Tổ hợp:Hoàng Đình Hiếu (Sinh viên khoa Công nghệ thông tin trường Đại

học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM) và Đặng Nhì (Sinh viên khoa Toán - Tin học
trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM).
• Giải tích: Nguyễn Trường Hải (Học sinh trường THPT chuyên Trần Hưng Đạo,

Bình Thuận).
• Phương trình hàm: Lê Thành Long (Sinh viên khoa Điện - Điện tử trường Đại

học Bách khoa Tp. HCM).
5

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn TS Trần Nam Dũng (trường Đại học
Khoa học Tự nhiên Tp. HCM), anh Lê Phúc Lữ (FPT Software, Tp. HCM), bạn
Đào Nguyễn Nguyên Trân (Swiss UMEF,
Thuỵ Sĩ),bạn Đỗ Thuỳ Anh (THPT
chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá), bạn Nguyễn Trần Hữu Thịnh (THPT chuyên Lý
Tự Trọng, Cần Thơ), bạn Hoàng Hữu Quốc Huy (THPT chuyên Lê Quý Đôn,
Bà Rịa - Vũng Tàu) đã giúp đỡ chúng tôi rất nhiều trong quá trình biên soạn
cuốn sách này. Cảm ơn các thành viên của các diễn đàn NangKhieuToan.com
(nangkhieutoan.com), Diễn đàn Mathscope (forum.mathscope.org), Diễn đàn
Toán học Việt Nam (diendantoanhoc.net),
Diễn đàn Art of Problem Solving
(artofproblemsolving.com) đã đóng góp các đề bài và lời giải.
Trong quá trình biên soạn, chắc chắn chúng tôi không tránh khỏi những
sai sót ở các đề bài và lời giải, rất mong được lắng nghe những nhận xét, góp ý
và phê bình thẳng thắn từ các bạn. Mọi thắc mắc và đóng góp xin vui lòng liên
hệ fanpage Toán học cho mọi người ở địa chỉ www.facebook.com/thcmn hoặc
qua email blogtoanhocchomoinguoi@gmail.com.
Cảm ơn tất cả các bạn !

6

http://www.facebook.com/thcmn

Mục lục
I

CÁC BÀI TOÁN

1 Bất đẳng thức

8
8

2 Đa thức

11

3 Giải tích

13

4 Hình học

19

5 Phương trình và hệ phương trình

28

6 Số học

30

7 Tổ hợp

33

II

LỜI GIẢI

39

1 Bất đẳng thức

39

2 Đa thức

60

3 Giải tích

81

4 Hình học

112

5 Phương trình và hệ phương trình

167

6 Số học

179

7 Tổ hợp

201

http://thcmn.wordpress.com

7

Phần I

CÁC BÀI TOÁN
1 Bất đẳng thức
Bài 1. (THPT chuyên KHTN - ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội)
2x + yvà2y +xkhác2. Tìm giá trị nhỏ nhất
1. Cho x, ylà các số thực dương sao cho
của biểu thức
P=

(2x2 + y)(4x +2y) (2y2 + x)(4y +2x)
+
− 3(x + y)
(2x + y − 22)
(x + 2y − 22)

2. Cho a, b, c > sao
0 choa + b + c =Chứng
3.
minh rằng
a
b
c
9
+ 2
+ 2

a + 1) c (ab + 1) a (bc + 1) (1 + abc)(ab + bc + ca)

b2(c

k
Bài 2. (Trường Phổ thông Năng Khiếu - ĐHQG Tp. HCM) Tìm số nguyên dương
nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức
xk yk zk (x3 + y3 + z3) ≤ 3
x, y, zthỏa mãn điều kiện
x + y + z =. 3
đúng với mọi số thực dương
k sao cho bất đẳng thức
Bài 3. ( THPT chuyên Đại học Vinh) Tìm tất cả các số thực
b, c
sau đúng với mọi số thực không a,
âm
(a + b + 2c)
2
2
ab + bc + ca ≤
+ k. max{(a −2,b)
(b − c)
, (c − a)
} ≤ 2a+ b2 + c2
3

Bài 4. (Bà Rịa - Vũng Tàu)
x y z =. 1Chứng minh bất đẳng thức
1. Cho x, y, zlà ba số thực dương thỏa mãn
1
1
1
3
+
+

2
2
2
(2x + y + z) (2y + z + x) (2z + x + y) 16
x2 + y2 + z2 = 1.Chứng minh bất đẳng thức
2. Cho x, y, zkhông âm và thỏa
Ã
(x2y + y2z + z2x) p

8

1

1

1

!

3
+p
+p
≤ .
y2 + 1
x2 + 1
z2 + 1 2

http://www.facebook.com/thcmn

Bài 5. (Bắc Ninh) Choa, b, c > thỏa
0
mãn điều kiện
a+b+c=
. Tìm
9
giá trị lớn nhất
của biểu thức
T=

ab
bc
ca
1
+
+
−p
3a + 4b + 5c3b + 4c + 5a3ac + 4a + 5b ab(a + 2c)(b + 2c)

a, b, clà các số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 6. (Bến Tre) Cho
P=

1344
2016
−p
p
p3
a + ab + abc
a+b+c

x, y, z
Bài 7. (Bình Thuận) Cho các số thực dương
. Chứng minh rằng
x2
y2
z2
x+y+z yz
xy
zx
+
+


+
+
y+z z+x x+y
2
y+z x+y z+x

a, b, cthỏa mãnabc = 1.Chứng minh rằng :
Bài 8.(Đồng Nai) Cho các số thưc dương
r

s
a
+
b+c

b
+
a+c

r

p
c
3 3
≥p
a+b
a3 + b3 + c3 + 3

Bài 9. (Hà Nam) Choa, b, c ≥. 0Tìm giá trị nhỏ nhất của:
r
P=

s
a
+
b+c

b
+
a+c

r

c
a+b

0
= 1 giá trị nhỏ nhất
Bài 10.(Hà Nội) Choa, b, c > thỏa
mãnab + bc + ca + 2abc Tìm
của
P=

1 1 1
+ + − 2(a + b + c).
a b c

Bài 11. (Hà Tĩnh) Cho các số thực dương
a, b, cvà thỏa mãna5 + b5 + c5 = 3. Chứng
minh rằng
a6b6 + b6c6 + c6a6 ≤ 3

.
1
2

6
Bài 12.(Hải Phòng) Choa, b, c ≥ thỏa mãna + b + c =
. chứng
minh rằng
p
ab + bc + ca ≥ abc
3 + ab + bc + ca − 4

http://thcmn.wordpress.com

9

Bài 13. (Hòa Bình) Choa, b, clà các số dương thỏa mãn
abc = 1và x, y, zthuộc R
Chứng minh rằng :
x2(a + b) +2y
(b + c) +2(c
z + a) ≥ 2(x y + y z + zx)

x và y thỏa mãnx2 + x y +2y≤ 2. Chứng minh
Bài 14. (Khánh Hòa) Cho hai số thực
rằng
5x2 + 2x y + 22y
≤ 12

0
Bài 15.(Lạng Sơn) Chox, y, z > thỏa
mãnx y z =. 1Tìm giá trị lớn nhất của :
P=

x2 +

1
1
1
+ 2
+ 2
2
2
2y + 3 y + 2z + 3 z + 2x2 + 3

Bài 16.(Nam Định) Cho các số thực dương
a, b, cthỏa mãna +b +c =. 3Chứng minh
rằng:
p
p

.

p
(b + c)2

(a + b)2

p
(c + a)2

+p
+p
≤ 12
a2 − ab + 2b
b2 − bc +2c
c2 − ca + 2a

Bài 17.(Ninh Bình) Chox, y, z > thỏa
0
mãnx + y + z =. Chứng
3
minh rằng:
!
1
1
1
+
+
p
p +p
p ≥4
p +p
x+7 y+7 z+7
x+ y
y+ z
z+ x
1

1

1

Ã

≥ b ≥ .c Chứng minh
Bài 18.(Quảng Bình) Choa, b, clà độ dài ba cạnh tam giácavà
rằng
q
q
q
p
p
p
a(a + b − ab) + b(a + c − ac) + c(c + b − bc) ≥ a + b + c

Bài 19. (Quảng Nam) Cho các số thực không
a, b,
âmc, .dChứng minh bất đẳng thức:
(a + b + c +3d)
≤ 4(a3 + b3 + c3 + d3) + 24(abc + bcd + cd a + d ab)

0
1 giá trị nhỏ
Bài 20.(Quảng Ninh) Choa, b, c > thỏa
mãn(a + b)(b + c)(c + a). =
Tìm
nhất của biểu thức:
p
P=

10

p
p
a2 − ab + 2b
b2 − bc +2c
c2 − ca + 2a
+ p
+ p
p
ca + 1
ab + 1
bc + 1

http://www.facebook.com/thcmn

Bài 21.(Quảng Ngãi) Cho ba số thực dương
a, b, cthỏaa+b+c = 3
. Chứng minh rằng
1 1 1 a+1 b+1 c+1
8
8
8
+ + +
+
+
≥6≥2
+ 2 2
+ 2
2
2
2
2
a b c 1+b 1+c 1+a
a + b + 2 b + c + 2 c + a2 + 2

x, y, zthỏa x + y + z =. Chứng
2
Bài 22.(Quảng Trị) Cho 3 số không âm
minh rằng
1
x2y + y2z + z2x ≤ x3 + y3 + z3 ≤ 1 + (x4 + y4 + z4)
2

a + b + c =. 0
Bài 23. (Tp. HCM) Cho a, b, clà các số thực thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
p
2
2
2
2
2
2
(a + 1) + (b + 1) + c + 1) + 6 6abc

Bài 24.(Thái Nguyên)
1. Cho a, b, clà các số thực dương. Chứng minh rằng
1
1
1
3
21
+
+
+
(ab
+
bc
+
ca)

3
3
3
(1 + a)
(1 + a)
(1 + a)
32
32
xyz≥v
1à z ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
2. Cho x, y, zlà các số thực dương thỏa mãn
của biểu thức
F=

x
y
4 − 3z
+
+
1 + y 1 + x 3(1 + x y)
1
x

1
y

1
z

Bài 25.(Thanh Hóa) Chox, y, z > thỏa
0
x + y + z =+ + . Chứng minh rằng
1
1
1
3
+
+

.
(2x y + y z + 2zx)(2y z + zx + x2 y)(2zx + x y + y2 z) 16x2y2z2

2 Đa thức
Bài 1. (THPT chuyên KHTN - ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội) Tìm tất cả đa thức hệ số
thực thỏa mãn
Ã
!
µ ¶2
µ ¶
1
1
2
2 P (x) − P
+ 3P(x )P 2 = 0.
x
x

3n
Bài 2. (Bến Tre) Cho khai triển
(1 − 2x +3)xn = a0 + a1x + a2x2 + ... + +a
. Xác định
3nx

µ ¶15
a1 a2
a3n
1
hệ sốa6 biết rằnga0 + + 2 + ... + 3n =
.
2 2
2
2

http://thcmn.wordpress.com

11

Bài 3. (Bến Tre) Cho phương trình
1
x5 − x4 − 5x3 + x2 + 4x − 1 = 0
2
(i = 1, 5)là
Chứng minh rằng phương trình trên có đúng 5 nghiệm phân biệt.xi Với
X5

xi + 1
4
5
i =12xi − xi −

S biết:S =
nghiệm của phương trình trên, tính tổng

.

2

{Pn (x)}, n = 1, 2, 3,
... mãn
Bài 4. (Bình Dương) Cho dãy các đa thức hệ số thực
thỏa
n


cos(nx), ∀x ∈ R, ∀n
n∈N
điều kiệnP n (2 cos x) = 2
Chứng minh rằng với mỗi
thì
pn ∈. N
P n (x) là đa thức hệ số nguyên bậc
n và x ≤ P n (x), ∀x > .2
n nhỏ nhất sao cho tồn tại đa thức
f (x) bậc
Bài 5. (Đà Nẵng) Tìm số nguyên dương

n có hệ số nguyên thỏa mãn:
f (0) = 0, f (1) =và
1 với mọim ∈ N, f (m)( f (m) − là
1) bội
của 2017.
m ∈ N,tồn tại đa thức
fm (x) có hệ số hữu
Bài 6.(Đà Nẵng) Chứng minh rằng với mọi

2m+1
2m+1
2m+1
n ∈ N thì: 1
+2
+ ... + n = fm (n(n + 1)).
tỉ thỏa mãn với mọi
n ≥ 2và n số thựca1, a2, . . . n, a
Bài 7.(Đồng Nai) Cho số tự nhiên
sao choa1 > −1, 2a≥

n−1
xnn + a1xn−1+ a2xn−2+ . . . +n−1
a x + an = 0có đúngn nghiệm
. Giả sử phương trình
2
thực. Chứng minh rằng tất cả các nghiệm đó nằm trong[−a
đoạn
.
1, a1 + 2]
P (Q(x)) + P (R(x)) = c
Bài 8. (Hà Nam) ChoP,Q, R là 3 đa thức hệ số thực thỏa mãn:
∀x ∈ Rvới c = const ∈ .RChứng minh rằng
P (x) ≡ consthoặc[Q(x) + R(x)] ≡ const
P (x),Q(x), R(x)với hệ số thực có bậc tương ứng là
Bài 9. (Hà Tĩnh) Cho các đa thức
2
2
3, 2, t3hỏa mãn đẳng thức
P (x)+Q (x) = R2(x), ∀x ∈ .RHỏi đa thức
T (x) = P (x).Q(x).R(x)
có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực (kể cả nghiệm bội).
©

ª+∞

Bài 10.(Hải Phòng) Cho dãy đa
thức
hệ số thực
P n (x)
³
´
2
2, P1 (x) = 2x, P
.
n+1(x) = 2x.Pn (x)+ 1 − x P n−1(x)∀n ≥ 1

n=0 xác

định như sau
P 0 (x) =

P n (x).
1. Xác định công thức tổng quát của

2. Tìm tất cả các số tự nhiên
n để P n (x) chia hết chox2 + 3.
Bài 11.(Hòa Bình) Cho đa thức
P (x) = 4x+ax3 +bx2 +cx +dvàQ(x) = x2 +px +q cùng
I có độ dài lớn
thuộc Q[x] . Biết rằng hai đa thức cùng nhận giá trị âm trên khoảng
I chúng đều nhận giá trị không âm . Chứng minh rằng tồn
hơn hai và ngoài khoảng
tại xo ∈ Rđề P (xo ) < Q(xo).
Bài 12. (Tp. HCM) Cho đa thứcP (x) = x2016+ a2015x2015+ a2014x2014+ ... + 1ax + a0 có

P / (2) P / (1)
>
+ 2016
. Giả sửP (x)có 2016nghiệm thực,
P (2) P (1)
(1; 2)
chứng minh rằng trong số đó, có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
.

hệ số thực vớiP (1)P (2) 6=
và04

Bài 13.(Khánh Hòa) ChoP (x)là đa thức với hệ số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại
hai đa thứcQ(x) và R(x) sao cho
12

http://www.facebook.com/thcmn

1. P (x)R(x)là các đa thức của
x2.
x3.
2. P (x)R(x)là các đa thức của
P (x) thỏa mãn:
Bài 14.(Long An) Tìm tất cả đa thức
¡
¢2
P (−x).P (3x) +
P (2x) = P (x).P (5x), ∀x ∈ R.

m ≡ 1(mod2017)
Bài 15. (Nghệ An) Chom là số nguyên dương thỏa mãn
. Chứng
2017
P (x) = x − mx + 2016
Z[x].
minh rằng đa thức
là đa thức bất khả quy trên
P (x)hệ số thực thỏa mãn
Bài 16.(Phú Thọ) Tìm tất cả các đa thức
2
(x2 − 6x + 8)P (x) −
+
(x2x)P (x − 2) =2 6x
− 12x.

Bài 17.(Quảng Bình) Cho đa thức
2017
f (x) = x
+ ax2 + bx + c

trong đóa, b, c ∈ cZó ba nghiệm nguyên
x1, x2, x3 . Chứng minh rằng biểu thức sau là
bội của2017
(a2017+ b2017+ c2017+ 1)(x
1 − x2)(x2 − x3)(x3 − x1)

P (x)với hệ số thực thỏa mãn điều kiện:
Bài 18.(Quảng Nam) Tìm tất cả các đa thức
P (x2) + P (x).P (x + 1) = 0, ∀x ∈ R

n) n đa thức đôi một phân
Bài 19.(Vĩnh Phúc) ChoP i (x) = x2 + bi x + ic (i = 1, 2, ..., là
1 ≤ i < j ≤ nthì đa thứcQi , j(x) = Pi (x) + Pj (x) có
biệt với hệ số thực sao cho với mọi
nghiệm thực duy nhất. Tìm giá trị lớn nhất có thển.của

3 Giải tích
x= 7
Bài 1.(THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN) Cho dãy(xsố
n ) thỏa x1 = 3, 2
và:
2

xn+2 = xn+1
− xn2 + xn ,n ∈ N

Đặt dãy:
yn =

Xn 1
k=1 xk

Chứng minh(yn ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
http://thcmn.wordpress.com

13

Bài 2. (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp. HCM) a
Tìm
để dãy số(un ) hội tụ,
biết u1 = avà:

 2un − 1khi un > 0


un+1 = −1khi − 1 ≤ nu≤ 0
,n ∈ N

 u 2 + 4u + 2khi u < −1
n
n
n
Bài 3. (THPT chuyên ĐH Vinh) Tìm tất cả các hàmf :số
R → Rthỏa mãn:
1. f (1) > .0
2. f (x y − 1) + 2 f (x) f (y) = 3x y − 1∀x,
. y∈R
¡

¢

a ≥ 2và dãy sốun xác đinh bởi:
Bài 4. (THPT chuyên ĐH Vinh) Cho số thực

 u = a
1

u +1

 un+1 = un + ln n
,n ∈ N
2un − 3
un có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Chứng minh rằng dãy

Bài 5. (Bà Rịa - Vũng Tàu)
: R → Rthỏa mãn:
1. Chứng minh rằng không tồn tại hàmf số
f (x − 2016 f (y)) = y − 2017 f (x) ∀x, y ∈ R.
f : R → Rthỏa mãn
2. Tìm tất cả các hàm số
f (x + y f (x)) = x f (y ) + f (x) ∀x, y ∈ R.

Bài 6. (Bà Rịa - Vũng Tàu) Cho dãyxsố
n xác định bởi:

1

 x1 =
2

 xn+1 =

1. Chứng minhxn ≤

nxn2


,n ∈ N
1 + (n + 1)x
n

1
,∀n ≥ 1.
n(n + 1)

n , đặtyn =
2. Với mỗi số nguyên dương

hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Xn

kxk
. Chứng minh dãy số có giới
k
k=1 1 + (k + 1)x

1
3

1
3

f : R → R thỏa mãn f (x y ) +f (x z) −
Bài 7. (Bình Dương) Tìm tất cả các hàm số
1
f (x) f (y z) ≥.
9

Bài 8. (Bình Thuận)
14

http://www.facebook.com/thcmn

1 3
2 4

2n + 1
n∈N
.
2n + 2

a. Tìm lim un với un = · · · ·

b. Cho dãy số(un ) xác định bởi:

 u = 1
 1
q

 un+1 =

2
1+u
n− 1

,n ∈ N
un

(un ).
Tìm công thức tổng quát của

Bài 9. (Đà Nẵng) Cho dãy Fibonacci xác định như sau:
(

u1 = u2 = 1
un = un−1 +u n−2

≥ 7thì có đúng1 trong2 số u p−1, up+1 là bội
Chứng minh rằng với mọi số nguyênp tố
của p.
f : R → Rthỏa mãn
Bài 10.(Đồng Nai) Tìm tất cả các hàm
f (x2 − 2y f (x)) + f2(y
) = f2(x − y), ∀x, y ∈ R.
(un ) xác định bởi:
Bài 11.(Đồng Nai) Cho dãy số

¡ ¢
 u1 ∈ 1; 2

2

un

 u
,∀n ∈ N
n+1 = 1 + nu−
2
¡

¢

Chứng minh rằngun có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 12.(Hà Nam) Cho hai dãy số được xác định bởi:

p
 x1 = y1 = 3

q

2
xn+1 = xn + 1 + nx
y
n

q
 yn+1 =
2

1+ 1+y


,∀n ∈ N

n

1. Chứng minh rằngxn yn ∈ (2; 3) ∀n ≥
. 2
2. Tính lim yn .
n→+∞

¡

¢

¡

¢

Bài 13.(Hà Nội) Cho dãy sốun có u1 = 1, u
n=

n
un−1 +n với n ∈ Nvà n ≥ 2.
n−1

un .
1. Xác định công thức của
3
u < 2016
2. Chứng minhu1 +u2 + ... +2016
.

http://thcmn.wordpress.com

15

Bài 14. (Hà Tĩnh) Với mỗi số nguyên dương
n , xét hàm sốfn trên R được xác định
2n
2n−1
2
bởi fn (x) = x + x
+ ... + x+ x + .1
1. Chứng minh hàm số
fn đạt giá trị nhỏ nhất tại một điểm duy nhất.
(sn ) có giới hạn hữu
2. Gọi giá trị nhỏ nhất của hàmfnsốlà sn . Chứng minh dãy số
hạn.
(un ) thỏa:
Bài 15.(Hải Phòng) Cho dãy số

 u1 = 1
 un+1 =
Ã

un2 +n

,n ∈ N
2un

!
un
Chứng minh rằng dãyp
có giới hạn hữu hạn.
n

f : R → Rthỏa mãn:f ([x]y ) = f (x)[ f (y )]
Bài 16. (Hòa Bình) Xác định tất cả các hàm
x.
với [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá

Bài 17.(Hòa Bình) Cho x(n ) được xác định như sau:
x0 > 0; nx+1 =
p

xn
2
1 + nx

,n ∈ N

Tìm lim 2nxn .
(xn ) xác định bởi:
Bài 18.(Hòa Bình) Cho dãy số

 x = 1
 o
x1 = 41
q

 xn+2 = 3xn + 8(x2 + xn2 ), n ∈ N
n+1

Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.
Bài 19.(Tp. HCM) Cho dãy số
un xác định bởi công thức:

3

 u1 = 1, u
2=
2
un+1 + 2

 u
=
,n ∈ N
 n+2
un + 2
un có giới hạn hữu hạn.
Chứng minh dãy số
: R → Rthỏa mãn:f (x y)+ f (x − y)+ f (x + y +1) =
Bài 20.(Khánh Hòa) Tìm các hàm fsố
x y + 2x +với
1 mọix, y ∈ R
(un ) xác định bởi:
Bài 21.(Khánh Hòa) Cho dãy số

 u = a
1

un
n

 un+1 =
+ ,n ∈ N
n
un

16

http://www.facebook.com/thcmn

h

i

Chứng minh rằngun2 = nkhi n ≥ 4.
Bài 22.(Lạng Sơn) Cho dãy số
(un ) xác định bởi




1
u1 = −
3

un + 1 ∀n ∈ N
.
un+1+ 1 =q
un2 + 1




3(un + 1)

∀n ∈ N
.
10

1. Chứng minh rằngun+1 + 1 < p

(un ) hội tụ. Tính lim un .
2. Chứng minh rằng dãy
n→+∞

: R → Rđơn điệu trênR thỏa mãn:
Bài 23.(Lạng Sơn) Tìm tất cả các hàmf số
f (x3 + f (y )) =3f(x) + y∀x, y ∈ R

(xn ) được xác định bởi
Bài 24.(Lào Cai) Cho dãy số thực

5

 x1 =
2r
.
20n + 21

 xn+1 = xn3 − 12x
+
n
n+1
(xn ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó .
Chứng minh rằng dãy số

Bài 25.(Ninh Bình) Cho hàm số
f : N∗ → N∗ thỏa mãn các điều kiện sau:
i. f (m) < f (n) ∀m,n ∈∗N
;m < n.
ii. f (mn) = f (m) f (n) ∀m,n ∈∗;N(m, n) =. 1

iii. ∃i ∈ N
, i > 1sao chof (i ) =.i

1. Chứng minh rằngf (1) = 1
, f (3) = .3
2. Tìm tất cả các hàm
f (n) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
(xn ) xác định bởi hệ thức:
Bài 26.(Ninh Bình) Cho dãy số

x =1
1
p

 xn+1 = xn (xn + 1)(x
n + 2)(x
n + 3) + 1,n ∈ N

Đặt yn =

Xn

1
. Tínhlim yn .
i =1xi + 2

http://thcmn.wordpress.com

17

Bài 27.(Phú Thọ) Xét dãy số thực vô hạn
x1, x2, · · · ,n xthỏa mãn
1
|xm+n − xm − xn | <
m +n
m,n . Chứng minh rằng
(xn ) là cấp số cộng.
với mọi số nguyên dương
f :N
a, f (b), f (b+ f (a)−1)
Bài 28. (Quảng Bình) Tìm tất cả hàm
số∗ → N ∗ sao cho ba số
∈ N∗
luôn là độ dài ba cạnh của một tam giác vớia,b
mọi
(xn ) xác định bởi
Bài 29.(Quảng Binh) Choa là một số thực và dãy số thực
p3
xn = 2016n + a.n 3 + 1.
(xn ) có giới hạn hữu hạn.
1. Tìm a sao cho dãy số

2. Tìm a để dãy số là dãy tăng từ một lúc nào đó.
Bài 30.(Quảng Ninh) Choa, blà các số thực dương. Xét dãyunsố
được xác định bởi
©
p ª
2 2

un = a n + bn, vớin ∈ N. TínhLi m un .
Bài 31.(Quảng Trị) Cho dãy số
xn xác định bởi



x1 = 2
2xn + 1
 xn+1 =
xn + 2
xn và tìmlim xn .
Tìm số hạng tổng quát
¯
¯

¯
¯


(an ) có a1 ∈ Rvà an+1 = ¯an − 21−n¯,∀n ∈ N
Bài 32.(Thái Bình) Cho dãy số
. Tìmlim an .

: R → Rthỏa mãn:
Bài 33.(Thanh Hóa) Tìm tất cả các hàmfsố
2
2
f ( f (x) + f (y )) = 2f)(x
+ 2x
f (y ) + ( f (y
))

với mọix, y ∈ R
−1

a 6=
an cho bởi
Bài 34.(Thanh Hóa) Với số thực
p cho trước ,xét dãy số
2









a1 = a
q
7 2an2 + 7 − 14
an+1 =
q
4an + 2an2 + 7

Xác địnha để dãy có giới hạn hữu han.

18

http://www.facebook.com/thcmn

4 Hình học
4ABC nhọn (AB < AC )có H,O
Bài 1. (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN)
E thuộc cạnhAC sao cho
lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp. Điểm
OE//BC . OE cắt đường tròn ngoại tiếp
4EBC tại F . Tiếp tuyển tại
F của đường tròn
ngoại tiếp4EBC cắt BC, AH ở P,Q.
(K )ngoại tiếp4BPQ đi qua trung điểm
M của AH .
1. Chứng minh đường tròn
(K )tại S, T cắt nhau
2. PA,PH cắt(K )ở S, T khácP . Chứng minh hai tiếp tuyển của
ME .
tại một điểm trên
ABCD nội tiếp (O) sao
Bài 2. (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN) Tứ giác
,D của (O) cắt nhau tạiT . T A cắt
cho ABCD không phải hình thang. Tiếp tuyến Ctại
BD tại S, E dối xứng vớiD qua S. AB cắt đường tròn ngoại tiếp
4EBC tại F . EC cắtT A
tại P .
4EBC .
1. Chứng minh rằngPF tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp
Q lên F A,FC . M là trung
2. Giả sửPF cắt AC tại Q , H,K lần lượt là hình chiếu của
điểm F A. Chứng minh rằng tiếp tuyến qua
A của (O) và đường thẳng qua
Qv
4MHK .
song songAO cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp

Bài 3. (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN)4ABC nhọn nội tiếp(O) có H
là trực tâm.P là một điểm nằm trên trung trực của
BC và nằm trong4ABC . Đường
E song songAH cắt
thẳng quaA song songPH cắt(O) tại E khác A. Đường thẳng qua
(O) tại F khác E . Gọi Q là điểm đối xứng với
P qua O. Đường thẳng qua
F song song
với AQ cắt PH tại G.
K.
1. Chứng minh rằngB,C , P,Gcùng thuộc một đường tròn tâm

2. AQ cắt(O) tại R khác A. PQ cắtF R tại L . Chứng minhK L = OP.
Bài 4. (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN)4ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp
(I ). Đường tròn qua
B,C tiếp xúc(I ) tại P . AI giao BC tại X . Tiếp tuyến qua
X của (I )
khácBC , giao tiếp tuyến tại
(I ) tại P tại S. AS giao(O) tại T khác A. Chứng minh rằng
o
 AT I = 90

4ABC nhọn. Đường
Bài 5. (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp. HCM) Cho
tròn (I ) có tâmI thuộc BC và tiếp xúc với các cạnh
AB, AC lần lượt tạiE , F.Llấy hai
BCEF sao cho tứ giác
EF NM nội tiếp (I ) và các đường
điểm M,N bên trong tứ giác
thẳngBC, M N,EF đồng quy.MF cắt NE tại P , AP cắt BC tại D .

1. Chứng minhA, D, E , cFùng thuộc một đường tròn.

BN,C M lấy các điểm
H,K sao choƒ AC H =ABK
= 90o. LấyT là
2. Trên đường thẳng
trung điểmHK . Chứng minhT B = TC.

http://thcmn.wordpress.com

19

Bài 6. (Trường Phổ thông Năng khiếu,
ĐHQG Tp. HCM) 4ABC có B AC tù, H là
A xuốngBC . ĐiểmM thay đổi trên cạnh
AB . DựngN sao cho
chân đường cao kẻ từ
4BMN ∼ 4HC A (H,N) nằm khác phía với
AB .
4BMN tại K khác M . Chứng minhNK luôn đi
1. CM cắt đường tròn ngoại tiếp
qua điểm cố định.

2. NH cắt AC tại P . Dựng Q sao cho 4HPQ ∼ 4HNM
Chứng minhQ thuộc một đường thẳng cố định.

(Q,M khác phía vớiNP .

4ABC . Đường tròn(I ) nội tiếp
Bài 7. (THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội) Cho
4ABC tiếp xúc vớiBC ,C A, ABtại D, E , .F Đường thẳngD I cắt đường tròn tâm
A bán
AD,EF cắt nhau tạiP . các
kính AE tại M,N (N ) nằm giữaM và D ). Các đường thẳng
AD và (I ). Đường
đường thẳngM A, NP cắt nhau tạiQ . GọiH là giao điểm thứ hai của
DH,DE cắt AC tại L . Chứng minh rằng:
thẳng qua trung điểm của

1. QH ⊥ AD.
2. DL//EF .
(O1) và (O2) tiếp xúc
Bài 8. (THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội) Hai đường tròn
(O1) và (O2), với B ∈ (O1) và
ngoài nhau tạiA. BC là một tiếp tuyến chung ngoài của
C ∈ (O
BC , P,Q theo thứ tự là điểm đối xứng B,C
của quaO1,O 2.
2). GọiM là trung điểm
MP theo thứ tự cắt
BO 2, B Atại X , Y. MQ cắtCO 1,C A tại Z , T. Chứng minh rằng:

1. Các tứ giácB Z T P,C X Y nội
Q tiếp.
2. AM, Z T, X Yđồng quy.
Bài 9. (THPT chuyên ĐH Vinh)4ABC vuông tạiA nội tiếp đường tròn(O). Đường
D . Gọi I là giao điểm của
AC và
thẳng quaA song songBC cắt (O) tại điểm thứ hai là
BD . Đường thẳng qua
I song songAB cắt AD tại J . Đường tròn tâm
C bán kínhC I cắt
(O) tại E và F (E thuộc cungB AC.
I J với CD . Chứng minhS, E , Fthẳng hàng.
1. Gọi S là giao điểm của

2. Chứng minhE J ⊥ AF.
Bài 10. (THPT chuyên ĐH Vinh)4ABC có M di chuyển trên cạnh
AC. Đường tròn
4BCM
ngoại tiếp4ABM cắt cạnhBC tại điểm thứ hai làD . Đường tròn ngoại tiếp
cắt cạnhAB tại điểm thứ hai là
E.
AD vàCE . Chứng minhA, E ,O, Mcùng thuộc một đường
1. Gọi O là giao điểm của
tròn.
AB và DM , BC và EM ,
2. Gọi I , J , Nlần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng
A J vàC I. Chứng minh đường thẳng
MN luôn đi qua điểm cố định.

20

http://www.facebook.com/thcmn
tuyensinh247@gmail.com
2020-09-24 16:43:25