Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Tuyển chọn các bài toán Phương trình - Hệ phương trình ôn thi vào chuyên Toán năm học 2021

8d88fec7e8e6428905013d9198043742
Gửi bởi: HCEM - CNTT vào ngày 2021-04-05 10:04:36 || Kiểu file: PDF Lượt xem: 39 | Lượt Download: 3 | File size: 0.386134 Mb

Nội dung tài liệu Xem trước tài liệu

Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

https://thuvientoan.net/

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ÔN THI VÀO CHUYÊN TOÁN
NĂM HỌC 2020 -2021
https://thuvientoan.net/

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
A. ĐỀ BÀI
Bài 1.

 x 2  y 2  2
.
Giải hệ phương trình:  8
2
8
2
 x 1  x   y 1  y   4
Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN năm 2021 lần 1
Bài 2.
1. Giải phương trình: 8 x 9  x 3  3 x 2  4 x  2.
 x  y  x  1 y  1  8
2. Giải hệ phương trình:  3
.
7 y  6 xy  x  2 y   25
Trích đề thi thử trường THPT chuyên KHTN năm 2021 lần 1
Bài 3.
2 x 4  1  y 2  0
.
Giải hệ phương trình:  2
2 2
2
 x  y   1  x  2 y

Bài 4.
 x 2  3 y  1   x  3 y 2  1

Giải hệ phương trình: 
.
3
 2 x  x  y   y 2  x2  y 2   3  x2  y2 

Trích đề thi Học sinh giỏi Toán của thuvientoan.net năm 2021 lần 1

Bài 5.
Giải phương trình: x 2  x  8  4 x  3.
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Sở Giáo dục và Đào tạo TP Hà Nội năm 2021
Bài 6.
Giải phương trình sau:

x  2  4  x  2 x 2  5 x  3.
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Phòng Giáo dục và Đào tạo Thanh Oai năm 2021

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/
Bài 7.
Giải phương trình: x 2  3 x  4 x  2  10  0.
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Phòng Giáo dục và Đào tạo Quận Hoàn Kiếm năm 2021
Bài 8.
a) Giải phương trình: 15  x3  x 2  2 x   4 5  x 2  2  x 4  4.

 x 2  xy  y 2  4 y  1  0
.
b) Giải hệ phương trình:  2
x

1
x

y

2

y





Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa năm 2021
Bài 9.

2019  x  2019  x x  2020   x  2020 13
Giải phương trình:
 .
2
2
2019  x 2019  x x  2020   x  2020 37
2

2

Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Thị xã Sơn Tây năm 2021
Bài 10.
Giải phương trình:

x 2  4 x  6 x 2  8 x  20

 2.
x2
x4

Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Phòng Giáo dục và Đào tạo Diên Khánh năm 2021
Bài 11.
a) Giải phương trình: 3 x  3  2 x x 2  3x  9  6 x  x3  27.



x2  y2  2

b) Giải hệ phương trinh: 
.

x  y  x 4  y 4  6 x 2 y 2  8 xy   32




Trích đề thi thử trường THPT chuyên KHTN năm 2020 lần 2
Bài 12.
a) Giải phương trình: x  3x  1  2 x 1.

 x  y  x  1 y  1  8
b) Giải hệ phương trinh: 
.
 3

y

y

16

6
x
x

2




Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN năm 2020 lần 2
Bài 13.
a) Giải phương trình:





2

x 1  x  3.

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/


2 xy

2
2

 x  y  x  y 1
.
b) Giải hệ phương trình: 

2
2



x  2 y  8 y  x
Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường Archimedes năm 2020 lần 3
Bài 14.

x 2  3  x  2 x 1.

a) Giải phương trình


 x  y  2  xy
b) Giải hệ phương trình 
.

2
2


2  x y  x  y

Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2020
Bài 15.
a) Giải phương trình:  x  1 x 1  5 x  13



x 3  xy  2 x 2  2 y  0


b) Giải hệ phương trình: 
 x  y  2 x 1

 y  x  5  9 x  5


x2


Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Giang năm 2020
Bài 16.
x 4  x 2 1
1
 .
3
2
x  3x  x 2

a) Giải phương trình:


 x  y  3 x  2 y  1
b) Giải phương trình: 
.

x

y

y

x




Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định năm 2020
Bài 17.
a) Giải phương trình







x  2020  x  2019 1  x 2  x  2019  2020  4039.

b) Cho hai số thực m, n khác 0 thỏa mãn

1 1 1
  . Chứng minh rằng phương trình:
m n 2

 x 2  mx  n x 2  nx  m  0

luôn có nghiệm.

Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Dương năm 2020
Bài 18.
Giải phương trình x 2  3 x  5   x  3 x 2  5.

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo TP. Hà Nội năm 2020
Bài 19.


x4  2x2 y  1

a) Giải hệ phương trình:  2
.
2

2
x

y

2
y

2



b) Giải phương trình: 2  x  2 x  2  x 2  3x  3.
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh năm 2020
Bài 20.
a) Giải phương trình: 5 x 2  3x  6  7 x 1 x 2  3.


8 xy


x2  y 2 
 16


x y

.
b) Giải hệ phương trình: 

5

x 2 12 
x  y  3x  x 2  5


2


Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương năm 2020
Bài 21.
a) Giải phương trình 5 x 2  2 x  3  (2 x 1) 5 x 2  2 x 1  0 .

 x  x 2  2  x 2 y  4  2  x 2  y 
b) Giải hệ phương trình 
.
 2

x

y

2

0


Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên năm 2020
Bài 22.



1
1 



x

y

 2
 x  3 y

3x  y 
Giải hệ phương trình sau: 

 x, y   .



2
2



 x  2 x  y 1   y 1 y  x  2  2 y 1





Trích đề thi thử vào chuyên Toán của thuvientoan.net năm 2022 lần 6.
Bài 23.
a) Giải phương trình: x 2  x  4  2 x 1 1 x .


x3  y 3  65

b) Giải hệ phương trình:  2
.
2

x
y

xy

20



Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên năm 2021

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/
Bài 24.
2
2


3x  y  4 xy  8
.
Giải hệ phương trình: 

x  y  x 2  xy  2  8





Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Phước năm 2021
Bài 25.
a) Giải phương trình: 3x 3  x 2  2 x  28   x 3  4 x3  7  0.


3x  4 xy  x 2  3 y  y  3


b) Giải hệ phương trình:  2
8.

x  6 y 1  y 2  2 x  9 


3


Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo TP Đà Nẵng năm 2020

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/
B. LỜI GIẢI

 x 2  y 2  2
.
Bài 1. Giải hệ phương trình:  8
2
8
2
x
1

x

y
1

y

4





Lời giải
n

Với mọi x, y  0 và n  * , ta có:

xn  yn  x  y 

 .
2
 2 

Với n  1, bất đẳng thức đúng.
k

Giả sử bất đẳng thức đúng với n  k , ta có:

xk  y k  x  y 

 .
2
 2 

x k 1  y k 1  x  y 
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng n  k  1, tức là:


2
 2 

k 1

.

Thật vậy, ta có:

 x y


 2 

k 1

k 1
k 1
k 1
k 1
k
k
k
 x  y   x  y  x  y x  y x  y  xy  x  y 



.
 

2
2
4
 2   2 



x k 1  y k 1  xy  x k 1  y k 1 
4


xy  x



 y k 1    x k 1  y k 1 

k 1

4

 x y
Từ đây suy ra: 

 2 

x k 1  y k 1
2

k 1





 x  y

2

x

k 1

 x k  2 y  ...  xy k  2  y k 1 
4

 0.

x k 1  y k 1
.
2

Áp dụng bất đẳng thức trên với n  4, n  5, ta có:
4

5

 x2  y2 
 x2  y 2 
x 1  x   y 1  y   x  y  x  y  2 

2


  4.
 2 
 2 
8

2

8

2

8

8

10

10

x  y  1
 x  y  1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 2  y 2  1  
.
 x  1, y  1

 x  1, y  1
Vậy hệ cho có bốn nghiệm:  x; y   1;1 ,  1; 1 , 1; 1 ,  1;1 .

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/
Bài 2.
a) Giải phương trình: 8 x 9  x 3  3 x 2  4 x  2.
 x  y  x  1 y  1  8
b) Giải hệ phương trình:  3
.
7 y  6 xy  x  2 y   25
Lời giải
a) Ta có phương trình tương đương:
3 3

 2 x   2 x  x  3x  4 x  2
  2 x   2 x   x  1   x  1
  2 x    x  1  2 x   x  1  0
3

3 3

3

2

3

3

3 3

3

3

2
  2 x 3   x  1   4 x 6  2 x3  x  1   x  1  1  0



 2 x 3  x  1  0   x  1  2 x 2  2 x  1  0
 x 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  1.
b) Ta có:

x3  8 y 3  6 xy  x  2 y   x 3  y 3  7 y 3  6 xy  x  2 y  
 x3  8 y 3  6 xy  x  2 y   x3  y 3  25
 x3  8 y 3  6 xy  x  2 y   x3  y 3  1  24
 x3  8 y 3  6 xy  x  2 y   x3  y 3  1  3  x  y  x  1 y  1
3

  x  2 y    x  y  1

3

 x  2 y  x  y 1
 y  1.
x  1
Với y  1, ta có: 7  6 x  x  2   25  x 2  2 x  3  0  
.
 x  3
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  x; y   1;1 ,  3;1 .
Bài 3.
2 x 4  1  y 2  0
Giải hệ phương trình:  2
2 2
2
 x  y   1  x  2 y

Lời giải
2

2

Ta có:  x 2  y 2   1  x 2  2 y  x 2  y 2  1   x 2  y 2   x 2  y 2  x 2  y 2  1  y 2  1  x 2 .

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/
Mặt khác 1  x 2  y 2  2 x 4  1  2 x 4  x 2  0  x  0.
 y 1
. Thử lại thấy thỏa mãn.
 y  1

Với x  0  

Vậy hệ cho có hai nghiệm  x; y    0;1 ,  0; 1 .
Bài 4.
 x 2  3 y  1   x  3 y 2  1

Giải hệ phương trình: 
.
3
 2 x  x  y   y 2  x 2  y 2   3  x 2  y 2 
Lời giải

Điều kiện: x  x  y   0 .
2

Ta có

2x  x  y 

y 2  x2  y2  

Suy ra

3

2x  x  y    x  y 
3x 2  4 xy  y 2


.
2
2

2 y 2  x2  y 2 x2  3 y 2

.
2
2
3

2 x  x  y   y 2  x 2  y 2   2 x 2  2 xy  2 y 2  3  x 2  y 2 

2 x  x  y    x  y 2


Dấu bằng xảy ra khi  y 2  x 2  y 2
 x  y  0.
x  y

Thay x  y vào phương trình ban đầu ta được:

x 2  3 x  1   x  3 x 2  1 




x2  1  x





x2  1  x



x2  1  3



 x2  1  x
x2  1  3  0  
x2 2
 x 2  1  3



Từ đây ta được x  y  2 2.



Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là  x; y   2 2; 2 2
Bài 5.
Giải phương trình: x 2  x  8  4 x  3.
Lời giải
Điều kiện xác định x  3.
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥





x2  1  x  0

 x  0 .

https://thuvientoan.net/
4 x  3  2  2  x  3  4  x  3  x  7.
2

Suy ra: x 2  x  8  x  7   x  1  0  x  1.
Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  1.
Bài 6.
Giải phương trình sau:

x  2  4  x  2 x 2  5 x  3.
Lời giải

Điều kiện: 2  x  4. Phương trình tương đương:



 



x  2  1  1  4  x   2 x  1 x  3



x3
x3

  2 x  1 x  3
x  2 1 1 4  x

1
1


  x  3 

 2 x  1  0
 x  2 1 1 4  x

x  3

.
1
1


 2 x  1 (1)
 x  2  1 1  4  x

Ta xét phương trình (1). Với 2  x  4  2 x  1  5.


1
1
1
1



 2.
x  2 1 1 4  x 0 1 0 1

Suy ra:

1
1

 2 x  1, do đó phương trình vô nghiệm.
x  2 1 1 4  x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  3.
Bài 7.
Giải phương trình: x 2  3 x  4 x  2  10  0.
Lời giải
Điều kiện xác định: x  2. Phương trình đã cho tương đương:

 x2  4 x  4   x  2  4
  x  2 
2





x2 4  0



2

x 2 2  0

x  2  0


 x  2.



 x 2 2  0
Thỏa điều kiện xác định. Vậy phương trình đã có nghiệm duy nhất x  2.

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/
Bài 8.
a) Giải phương trình: 15  x3  x 2  2 x   4 5  x 2  2  x 4  4.

 x 2  xy  y 2  4 y  1  0
.
b) Giải hệ phương trình:  2
x

1
x

y

2

y





Lời giải
a) Ta có: 4 5  x 2  2  x 4  4  15 x  x 2  x  2   x  0. Chia cả hai vế của phương trình cho x 2 , ta được:
2
4
2 


4 5  x   x 2  2  15  x   1
x
x
x 


Đặt t  x 

2
 2 2. Phương trình đã cho trở thành:
x

4t 5t 2  20  15  t  1  16t 2  5t  20   225  t  1
 16t 4  109t 2  90t  45  0
  t  3 16t 3  48t 2  35t  15   0
 t  3.
Với t  3, ta có: x 

x  1
2
 3  x 2  3x  2  0  
.
x
x  2

Thỏa điều kiện.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x  1, x  2.
b) Nhận xét y  0 không thỏa mãn. Xét y  0, hệ phương trình tương đương:
 x2  1
  x  y  2  2

y

.
 2
x

1



 y   x  y  2  1


x2  1
, b  x  y  2. Hệ cho trở thành:
Đặt a 
y

a  b  2
 a  b  1. Do đó:

ab  1

 x2  1
2
1
 x  1, y  2

 y  x  1


.
 y
 2
x


2,
y

5
x

x

2

0


x  y  2  1 

Vậy hệ cho có hai nghiệm  x; y   1; 2  ,  2;5  .

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

2

https://thuvientoan.net/
Bài 9.

2019  x  2019  x x  2020   x  2020 13
Giải phương trình:
 .
2
2
2019  x 2019  x x  2020   x  2020 37
2

2

Lời giải
Điều kiện: x  . Đặt a  x  2019, phương trình đã cho trở thành:
a 2  a a 1  a 1

2

a 2  a a 1  a 1

2



13
37

a 2  a 1
13

 133a 2  3a 1  37 a 2  a 1  0
2
3a  3a 1 37
a  4
 a 2  a 12  0  
.
 a  3


Với a  4, ta có x  2023.
Với a  3, ta có x  2016.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x  2023, x  2016.
Bài 10.
x 2  4 x  6 x 2  8 x  20
Giải phương trình:

 2.
x2
x4

Lời giải
Điều kiện xác định: x  2; x  4. Phương trình đã cho tương đương:

 x  2  2
2

 x  4  4
2

2
4
 x4
2
x2
x4
x2
x4
2  x  4
4  x  2
2
4




x2 x4
 x  2 x  4  x  4 x  2


2  x 2

Phương trình tương đương: 2  x  4  4  x  2  x  0 (thỏa điều kiện).
Vậy tập nghiệm của phương trình là S  {0}.
Bài 11.
a) Giải phương trình: 3 x  3  2 x x 2  3x  9  6 x  x3  27.



x2  y2  2

b) Giải hệ phương trinh: 
.

x  y  x 4  y 4  6 x 2 y 2  8 xy   32




Lời giải
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/
a) Điều kiện: x  3. Phương trình tương đương:



 



x3  27  3 x  3  6 x  2 x x 2  3x  9  0

 x 3





 2x 



 x  3x  9  3  0
x  3 x  3x  9  3  0
x 2  3x  9  3  2 x

2

2

x 1
2 x  x  3  0



  x  0.
 x 2  3x  9  3  0  x  3


Thỏa điều kiện ban đầu nên phương trình đã cho có ba nghiệm: S  0;1;3.
b) Kết hợp với x 2  y 2  2, phương trình thứ hai của hệ tương đương:

 x  y   x 2  y 2   4 x 2 y 2  8 xy   32
2



2 2
  x  y 4  4 x y  8 xy  32
  x  y 1  xy   8.
2

2


 x  y   2 1  xy 


Vậy hệ cho tương đương: 
.
2

x

y
1

xy

8







 x  y

5

Do đó: 8   x  y 1  xy  
2

4

 x  y  2. Khi đó xy  1.

Từ đây tìm được x  y  1.
Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất  x; y   1;1.
Bài 12.
a) Giải phương trình: x  3x  1  2 x 1.
 x  y  x  1 y  1  8

b) Giải hệ phương trinh: 
.
 3

y

y

16

6
x
x

2




Lời giải
a) Điều kiện: x  0. Phương trình tương đương:

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/
2 x  2 3x 1  4 x  2
 3x  1  2 3x 1 1  x  4 x  4




 



2

2

3x  1 1 

x  2  3x 1 1  x  2

 3x 1  x 1

3
1 
  0
 3x  1  2  x 1   x 1

 3x 1  2
x 1





  x 1 3 x  1 3x  1  0





3x 1  x 1

x  0
 2 x  x 1  0  
.
 x  1

Thỏa điều kiện ban đầu nên phương trình đã cho có ba nghiệm: S  0;1.
b) Ta có:

x3  y 3  1  3 x  y  x  1 y 1  x 3   y 3  y  24   y 1
 x3  6 x  x  2 16  24  y 1  x3  6 x  x  2  8   y 1
  x  2  y 1
3

Suy ra:

 x  y 1  x  2  y 1  0
3

3

2
2
  y 1  x  y  1   x  y  1 x  2   x  2  1  0


 y  1.

x 1
2
Với y  1, ta được  x  1  4  
.
 x  2
Vậy hệ cho có nghiệm hai nghiệm  x; y   1;1 , 2;1.
Bài 13.
a) Giải phương trình:





2

x 1  x  3.


2 xy

2
2

 x  y  x  y 1
.
b) Giải hệ phương trình: 

2
2



x  2 y  8 y  x
Lời giải
a) Điều kiện: x  3. Phương trình tương đương:

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/
x  2 x  1  x  3  x  2 x  x  3 1


x  x  4



x4
x  3 1

x 2


x
1
  0
  x  4

 x  2
x  3  1
x  4


x
1

 x  2  x  3  1  0 *


Ta có phương trình * tương đường:

x





x  3 1  x  2  0

 x  x  3  2  x 2  3x  4  0
 x  1

 x  4
Do x  3 nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: S  4.
b) Điều kiện: x  y. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

 x 2  y 2  x  y   2 xy  x  y
  x  y   2 xy  x  y   2 xy  x  y
3

  x  y   x  y   2 xy  x  y 1  0
3

  x  y  x  y 1 x  y  1  2 xy  x  y 1  0
  x  y 1  x  y  x  y 1  2 xy   0
 x  y 1  0
 y  x 1
 
 
 x  y  x  y  1  2 xy  0  x  y  x  y  1  2 xy  0 *
Với y  x 1 thay vào phương trình thứ hai ta tìm được x  2  y  1 , x 

5 
2
 y  .
3
3

Ta lai có phương trình * tương đương:

x2  x  y 2  y  0  8 y  2 y 2  y 2  y  0
y  0
 y2  7 y  0  
 y  7
Với y  0, ta tìm được x  1.
Với y  7, phương trình vô nghiệm.

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/


 2 5 

Vậy hệ đã cho có ba nghiệm: S  
 ;  , 2;1 , 1;0
.


 3 3 



Bài 14.
a) Giải phương trình

x 2  3  x  2 x 1.

 x  y  2  xy

b) Giải hệ phương trình 
.

2
2


2  x y  x  y

Lời giải
1
a) Điều kiện: x  . Ta có:
2

x 2  3  x  2 x 1  x 2  3  x 2  2 x 1  2 x 2 x 1
1


 x2
 x 2 x 1  2  x   2

2
2



 x 2 x 1  2  x

1


x2

 2
 x 1

3
2


x  x  2x  2  0
Vậy x  1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) Cộng vế theo với của phương trình ta được:

x  y  2  2  x y  xy  x 2  y 2
  x  y   x  y  2  0
2

 x  y  1

.
 x  y  2
Với x  y  1, thay vào phương trình đầu của hệ ta được: x 2  3x  3  0, vô nghiệm.
Với x  y  2, thay vào phương trình đầu của hệ ta được: x 2  0  x  0  y  2,
Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất  x; y   0; 2.
Bài 15.
a) Giải phương trình:  x  1 x 1  5 x  13



x 3  xy  2 x 2  2 y  0


b) Giải hệ phương trình: 
 x  y  2 x 1

 y  x  5  9 x  5


x2


Lời giải
a) Điều kiện : x 1  0  x  1 . Phương trình đã cho tương đương:

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/

 x 1 x 1 1  6 x 12  0 

 x 1 x  2
x 1  1

 6  x  2  0

x  2

 x 1


  x  2
 6  0  x  1
 x 1  1

6 0

 x 1  1
x 1
Ta thấy x  2 thỏa mãn. Còn
 6  0 với mọi x  1.
x 1  1
Vậy x  2 là nghiệm duy nhất của phương trình
b) Điều kiện: x  1, x  2, y   . Ta có:

 x  2
x3  xy  2 x 2  2 y  0   x  2 x 2  y  0  
 y  x2

Do x  1 nên y  x 2 .
Thay y  x 2 vào phương trình

 x  y  2 x  1
x2

 x  x 2  2

 y  x  5  9 x  5, ta được phương trình:

x 1

 x 2  x  5  9 x  5
x2
 x 2  x  2 x 1 3 2

 x  5 x  9 x  5 1
x2
Với điều kiện bài toán

1   x 1 x  2 x  1   x  2 x 1 x 2  4 x  5
  x 1  x  2 x  1  x  2 x 2  4 x  5  0


x 1 y 1
 
2
(2)
 x  2 x  1  x  2 x  4 x  5  0

Ta có:

2   x 1  x  1   x  2   x  2
3

3


  x  1   x  2 

 



2
2

x  1   x  2 x  1   x  2  1  0




 x 1  x  2
(3)


2
 x  1   x  2 x  1   x  22  1  0 4












3 x  2
1
x 1   x  2 x 1   x  2  1   x 1   x  2 
1  0 nên (4) vô nghiệm.


2
4



2

2

2

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

2

https://thuvientoan.net/

x2






x  2


x

2
 x  5  13


5  13



 
 x
. Giá trị này thỏa mãn.
3  
2
2  2



2
 x  1   x  2
x  5x  3  0 




 x  5  13



2


5  13
19  5 13
.
Với x 
ta có y 
2
2

 5  13 19  5 13 




Vậy hệ phương trình có tập nghiệm 
;
1;1; 
.


 2
2




Bài 16.
x 4  x 2 1
1
 .
a) Giải phương trình: 3
2
x  3x  x 2

 x  y  3 x  2 y  1
b) Giải phương trình: 
.

x

y

y

x




Lời giải

x  0
a) Điều kiện: x3  3 x 2  x  0   2
. Phương trình đã cho tương đương:
2


 x  3 x 1  0

2 x 4  x3  5 x 2  x  2  0


1 
1
1 
1
 2  x 2  2   x    5  0  2  x    x   1  0


x  
x
x  
x

1   
1 
  x   1  2  x    1  0   x 2  x 12 x 2  x  2  0

x    
x  
2


 x  1 5

2


 x  1 5
 x 2  x 1  0

2
  2

.

1  17
 2 x  x  2  0 
x   4


 x   1 17

4

So với điều kiện ta thấy thỏa mãn.
1  5 1 5 1 17 1  17 



Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: S  
;
;
;

.


2
2
4
4





♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/


x  y  0
. Hệ phương trình tương đương:
b) Điều kiện: 



3x  2 y  0


2 x  y  2  5 x  y   x  y


.


x

y

x

y

0




 2a  2  5a 2  b
Đặt a  x  y và b  x  y với a  0, b  0. Hệ đã cho trở thành: 
.



a  b  0

Suy ra

2 a 1  5a 2  a  2 a 1  5a 2  a  3a 2  5a  2  0  a  2 do a  0. Suy ra b  2.
2



1 5

x y 




x  y  4 
x  1
2 
Khi đó ta có: 

.




yx  2 
y3
1 5






yx 


2


Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất  x; y   1;3.
Bài 17.
a) Giải phương trình







x  2020  x  2019 1  x 2  x  2019  2020  4039.

b) Cho hai số thực m, n khác 0 thỏa mãn

1 1 1
  . Chứng minh rằng phương trình:
m n 2

 x 2  mx  n x 2  nx  m  0

luôn có nghiệm.

Lời giải
a) Điều kiện: x  2019. Nhân cả hai vế của phương trình cho





4039 1  x 2  x  2019  2020  4039

x  2020  x  2019, ta được:



x  2020  x  2019

 x  2020  x  2019  1   x  2020 x  2019
   x  2020 x  2019  x  2020  








x  2019 1





x  2020 1  0

 x  2019  1
 
 x  2020.
 x  2020  1
So với điều kiện ban đầu ta thấy x  2020 là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) Ta có

1 1 1
   2 m  n  mn.
m n 2

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥



x  2019 1  0



https://thuvientoan.net/
Phương trình tương đương: x 2  mx  n  0 1 hoặc x 2  nx  m  0 2.
Phương trình 1 và 2 lần lượt có 1  m 2  4n và 2  n 2  4m.
Ta có: 1  2  m 2  n 2  4m  4n  m 2  n 2  2mn  m  n  0.
2

Suy ra một trong hai số 1 hoặc 2 lớn hơn hoặc bằng 0.
Do đó một trong hai phương trình 1 hoặc 2 luôn có nghiệm.
Suy ra phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Bài 18.
Giải phương trình x 2  3 x  5   x  3 x 2  5.
Lời giải
Phương trình đã cho luôn xác định với mọi x . Đặt a  x 2  5 ( a  0), khi đó phương trình có thể viết lại
thành a 2  3x  ( x  3)a, hay ( a  x )( a  3)  0.
Do a  x 2  5  x 2  x  x nên từ đây, ta có a  3 hay

x 2  5  3.

Từ đó, ta có x  2 (thỏa mãn) hoặc x  2 (thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x  2 và x  2.
Bài 19.

x4  2x2 y  1
a) Giải hệ phương trình: 
.
 2
2

2
x

y

2
y

2



b) Giải phương trình: 2  x  2 x  2  x 2  3x  3.
Lời giải
a) Cộng vế theo vế của hai phương trình ta được:

 x 4  2 x 2 y  2 x 2  y 2  2 y  3
  x 4  2 x 2 y  y 2   2 x 2  y  3  0
2
  x 2  y  2  x 2  y  3  0
 x2  y  1
 x 2  y 1

 2
  2
.
x

y


3

 x  y  3

Với x 2  y 1, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: y  0  x  1 hoặc x  1.
Với x 2  y  3, Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: y 2  8  y  2 2 hoặc y  2 2.

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/
Khi đó x 2  2 2  3 hoặc x 2  2 2  3, phương trình vô nghiệm do x 2  0.
Tóm lại hệ cho có hai nghiệm  x; y   1; 0 , 1;0.
b) Điều kiện: x  2. Phương trình tương đương:

x 2  3 x  3  2  x  2 x  2  0
  x 2  4 x  4  2  x  2 x  2  x  2  9



 x2 x 2



2

9

x2 x  2  3
 
 x  2  x  2  3
 x  2  5  x 1
 
.
 x  2  1 x 2

x  5
5  x  0

11 29

Trường hợp 1: 1  
 x
.

2  2


2
x

11
x

23

0
x

2

5

x







 x  1
1 x  0

1 5

Trường hợp 2: 2  
 x 
.

2  2


2
x

x

1

0
x

2


1

x







11 29 1  5 


Vậy tập nghiệm của phương trình là S  
;

.


2
2





Bài 20.
a) Giải phương trình: 5 x 2  3x  6  7 x 1 x 2  3.


8 xy


x2  y 2 
 16


x y

.
b) Giải hệ phương trình: 

5

x 2 12 
x  y  3x  x 2  5


2


Lời giải
a) Đặt a  x 2  3  3, khi đó phương trình trở thành: 2a 2 7 x 1 a  3 x 2  3x  0
Xem đây là phương trình bậc 2 ẩn a, dựa vào công thức nghiệm ta tìm được:

2a  x 1 hoặc a  3x.
 x  1



 x  1
Với 2a  x  1, ta có 2 x 2  3  x  1  
. Hệ này vô nghiệm.
 2
2 
2


3
x

2
x

11

0
4
x

12

x

1







♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/

Với a  3 x, ta có:


x  0
6
x 2  3  3x  
 x
.
 2

4
8
x

3



Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 

6
.
4

b) Điều kiện xác định: x  y  0. Ta có:
8 xy
 16
x y
2
  x  y   x  y   2 xy   8 xy 16  x  y   0


2
  x  y   x  y  16  2 xy  x  y   4  0



  x  y  4  x  y  x  y   4  x  y   2 xy   0
x2  y 2 

  x  y  4  x 2  y 2  4  x  y   0
 x  y  4  x  y  0.

Thay vào phương trình thứ hai ta được:
x 2  12  x 2  5  3 x  5 (1).

7

5
 0 suy ra 3x  5  0  x  .
3
x 12  x  5
Phương trình (1) tương đương:

Do

x 2  12  x 2  5 

2

2

x 2  12  4  3x  6  x 2  5  3


x2  4
x 2  12  4

 3 x  2 

x2  4
x2  5  3

x2  0


x2
x2
.

 3
 0 (2)
2
 x 2  12  4
x 5 3

Với x  2  0 kết hợp với x  y  4 ta tìm được x  y  2. Nghiệm này thỏa mãn hệ phương trình.

Xét

x2
x 2 12  4

 3

x2
x2  5  3

x2
x 2  12  4



 0, ta có:

x2
x2  5  3



 x  2 x 2  5  x 2 12 1





x 2  12  4

Suy ra phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất  x; y   2; 2.

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥



x2  5  3

5
 0 với x  .
3

https://thuvientoan.net/
Bài 21.
a) Giải phương trình 5 x 2  2 x  3  (2 x 1) 5 x 2  2 x 1  0 .


x  x 2  2  x 2 y  4  2  x 2  y 

b) Giải hệ phương trình  2
.

x  y2 0


Lời giải
a) Điều kiện 5 x 2  2 x 1  0. Đặt a  5 x 2  2 x 1, a  0. Phương trình đã cho trở thành:
a 2  4 x  2 2 x 1 a  0
 a  2a  2 x 1  0
 a  2 x  1  a  2  0

Với a  2 x  1, ta có:


1


x   2
2
5 x  2 x 1  2 x 1  
 x  3 1.

2
2



5 x  2 x 1  2 x 1

So với điều kiện ban đầu phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  1  3.

 x2  2
.
b) Phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương:  x  2 x  y  2  0  
 y  2 x

2

x  2
Với x 2  2  
, ta đều có y  4.
 x   2
x  0  y  2
Với y  2  x thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được x 2  x  0  
.
 x  1  y  3
Vậy hệ cho có bốn nghiệm  x; y  







2; 4 ,  2; 4 , 0; 2 , 1;3.

Bài 22.



1
1 



x

y

 2
 x  3 y

3x  y 
Giải hệ phương trình sau: 

 x, y   .



2
2



 x  2 x  y 1   y 1 y  x  2  2 y 1





Lời giải
Điều kiện x, y  0 và xy  0.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/

x y
x  3y



x y
3x  y

 2.

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

x
x
x y
1 x
x  y 


 

 và
x  y x  3 y 2  x  y x  3 y 
x  3y
y
x  3y
Suy ra:

Do đó:



1 2y
1 1
2 y 

  

2 x  3 y 2  2 x  3 y 

1 x
3
 
 . Tương tự ta cũng có:
x  3 y 2  x  y 2 

x y

x y
x  3y

x y



3x  y

1 y
3
 
 .
y  3x 2  x  y 2 

x y

 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y.

Thay x  y vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

 x  2 x 2  x 1   x 1 x 2  x  2  2 x 1
Đặt a  x 2  x 1, b  x 2  x  2 với a  1, b 

(4)

7
. Khi đó (4) thành :
2

a a 2  b 2  3  b a 2  b 2  3  2(a 2  b 2 )
 a  b a  b  1a  b  3  0
a  b

.
 a  3  b
1
Với a  b, ta có: x  y  .
2
Với a  3  b, ta có:

x2  x  1  3  x2  x  2  x2  x  1  x2  x  2  6 x2  x  2  9
 x  1
 3 x  x2  5 x  
.
x  7
8

2

Thử lại thấy x  y 

7
1
hoặc x  y  thỏa mãn.
8
2

1 1 7 7
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm  x; y    ;  ,  ;  .
2 2 8 8

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/
Bài 23.
a) Giải phương trình: x 2  x  4  2 x 1 1 x .

 x3  y 3  65
b) Giải hệ phương trình: 
.
 2
2

x
y

xy

20



Lời giải
a) Điều kiện x  1. Phương trình tương đương:
x 2  x  4  2 x 1 1 x





 x 2  2 x x 1  x 1  2 x  x 1  3  0





2





 x  x 1  2 x  x 1  3  0
 x  x 1  3
 
 x  x 1  3, x  x 1  1
 x  x 1  1
x  3

 x 1  3  x  

2  x  2.

x

1

3

x







Thỏa điều kiện.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  2.
b) Ta có: 125  65  3 20   x3  y 3   3 x 2 y  xy 2    x  y  .
3

Do đó: x  y  5.
Khi đó: x 2 y  xy 2  20  xy  x  y   20  xy  4.


x  y  5 
x  4
x  1
Từ đây ta có hệ 

hoặc 
.






 xy  4
y 1



y  4
Vậy hệ cho có hai nghiệm  x; y   1; 4 , 4;1.
Bài 24.



3x 2  y 2  4 xy  8

.
Giải hệ phương trình: 

x  y  x 2  xy  2  8




Lời giải



 x  y 3x  y   8
. Suy ra:
Hệ cho tương đương: 

x  y  x 2  xy  2  8





♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥



https://thuvientoan.net/

 x  y 3x  y    x  y  x 2  xy  2
  x  y  x 2  xy  2  3x  y  0
  x  y  x 1 x  y  2  0
x 1

  x  y .

x  2 y


 y 1
Nếu x  1  y 2  4 y  5  0  
.
 y  5
Nếu x   y thì hệ vô nghiệm.
 y  4  3x


3x  y  4
Nếu x  2  y  

 x  y  1.
 2
 2

 x  xy  2  4 


 x  x 4  3x  2  0

Tóm lại hệ cho có hai nghiệm  x; y   1;1 , 1; 5.
Bài 25.
a) Giải phương trình: 3x 3  x 2  2 x  28   x 3  4 x3  7  0.


3x  4 xy  x 2  3 y  y  3


b) Giải hệ phương trình:  2
8.

x  6 y 1  y 2  2 x  9 


3


Lời giải
a) Điều kiện: x  3 7. Ta có phương trình tương đương:
x 2  x 1  2 x3  2 x  28   x3  4 x 3  7  0
Nhận xét x  2 là một nghiệm của phương trình.
Nếu x  2, ta có: x 2  x 1  2 x3  2 x  28   x 3  4 x3  7  0.
Nếu

3

7  x  2, ta có: x 2  x 1  2 x3  2 x  28   x 3  4 x3  7  0.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  2.

x2  6 y 1  0
b) Điều kiện 
. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
 2

y

2
x

9

0



x 2  4 xy  3 y 2  3 x  3 y   0
  x  3 y  x  y   3 x  3 y   0
  x  3 y  x  y  3  0
x  3y

.
 x  y  3

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥

https://thuvientoan.net/
Với x  3 y, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:



9 y 2  6 y 1  y 2  6 y  9 
 3 y 1  y  3 

8
3

8
3

8
Nếu y  3 thì 3 y 1  y  3  8  .
3

Nếu y 
Nếu

1
8
1
thì phương trình tương đương: 1 3 y  3  y   y   x  1.
3
3
3

1
8
1
1
 y  3 thì phương trình tương đương: 3 y 1  3  y   y  không thỏa do  y  3.
3
3
3
3



Với x  y  3, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

 y  3  6 y 1  y 2  2  y  3  9 
2

8
3
8
2
 y 2  10   y 1  2 
3
8
2
y 2  10   y 1  2  10  2  3  1  4  nên phương trình này vô nghiệm.
3
 y 2  10  y 2  2 y  3 

Ta có

8
3

 1
Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất  x; y   1; .
 3 

♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥