Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Bài 6: Bất phương trình mũ và logarit

I. Bất phương trình mũ

1) Bất phương trình mũ cơ bản

Để giải bất phương trình mũ, ta chú ý đến tính đồng biến, nghịch biến của hàm mũ $a^x$, với $a>1$ hàm số đồng biến, với $0<a<1$ hàm số nghịch biến.

a) Dạng 1: $a^x>b$ ($a>0,a\ne 1$)

 *) Nếu $b\le 0$, nghiệm là $\forall x$.

 *) Nếu $b>0$, khi đó:

    +) Nếu $a>1$, nghiệm là $x>\log_ab$.

    +) Nếu $0<a<1$, nghiệm là $x<\log_ab$

b) Dạng 2: $a^x\ge b$ ($a>0,a\ne 1$)

 *) Nếu $b\le 0$, nghiệm là $\forall x$.

 *) Nếu $b>0$, khi đó:

    +) Nếu $a>1$, nghiệm là $x\ge \log_ab$.

    +) Nếu $0<a<1$, nghiệm là $x\le \log_ab$

 c) Dạng 3: $a^x<b$ ($a>0,a\ne 1$)

 *) Nếu $b\le 0$, bất phương trình vô nghiệm.

 *) Nếu $b>0$, khi đó:

    +) Nếu $a>1$, nghiệm là $x<\log_ab$.

    +) Nếu $0<a<1$, nghiệm là $x>\log_ab$

 d) Dạng 4: $a^x\le b$ ($a>0,a\ne 1$)

 *) Nếu $b\le 0$, bất phương trình vô nghiệm.

 *) Nếu $b>0$, khi đó:

    +) Nếu $a>1$, nghiệm là $x\le \log_ab$.

    +) Nếu $0<a<1$, nghiệm là $x\ge\log_ab$

2) Một số bất phương trình mũ đơn giản

Một số bất phương trình mũ có thể giải bằng cách biến đổi để đưa về bất phương trình mũ cơ bản.

Ví dụ: Giải bất phương trình: \(\frac{4^x}{4^x-3^x}< 4\)

Giải: Bất phương trình đã cho tương đương với:

        \(\frac{4^x}{4^x-3^x}-4< 0\)

       \(\Leftrightarrow\frac{4^x-4.4^x+4.3^x}{4^x-3^x}< 0\)

     \(\Leftrightarrow\frac{-3.4^x+4.3^x}{4^x-3^x}< 0\)

    \(\Leftrightarrow\frac{-3+4.\frac{3^x}{4^x}}{1-\frac{3^x}{4^x}}< 0\) (chia cả tử và mẫu vế trái cho \(4^x\))

   Đặt \(t=\left(\frac{3}{4}\right)^x\)  (với \(t>0\)) ta được

     \(\frac{-3+4t}{1-t}< 0\)

   Nghiệm bất phương trình là \(t< \frac{3}{4}\) hoặc \(t>1\).

   Hay là \(\left(\frac{3}{4}\right)^x< \frac{3}{4}\) hoặc \(\left(\frac{3}{4}\right)^x>1\)

   \(\Leftrightarrow x>1\) hoặc \(x< 0\).

II. Bất phương trình lôgarit

1) Bất phương trình lôgarit cơ bản

Để giải bất phương trình lôgarit, ta chú ý đến tính đồng biến, nghịch biến của hàm lôgarit $\log_ax$, với $a>1$ hàm số đồng biến, với $0<a<1$ hàm số nghịch biến.

a) Dạng 1: $\log_ax>b$ ($a>0,a\ne 1$)

 *) nếu $a>1$, nghiệm là $x>a^b$.

 *) nếu $0<a<1$, nghiệm là $0<x<a^b$.

b) Dạng 2: $\log_ax\ge b$ ($a>0,a\ne 1$)

 *) nếu $a>1$, nghiệm là $x\ge a^b$.

 *) nếu $0<a<1$, nghiệm là $0<x\ge a^b$.

c) Dạng 3: $\log_ax<b$ ($a>0,a\ne 1$)

 *) nếu $a>1$, nghiệm là $0<x<a^b$.

 *) nếu $0<a<1$, nghiệm là $x>a^b$.

d) Dạng 4: $\log_ax\le b$ ($a>0,a\ne 1$)

 *) nếu $a>1$, nghiệm là $0<x\le a^b$.

 *) nếu $0<a<1$, nghiệm là $x\ge a^b$.

2) Một số bất phương trình lôgarit

Một số bất phương trình lôgarit có thể giải bằng cách biến đổi để đưa về bất phương trình lôgarit cơ bản.

Ví dụ: Giải bất phương trình:

      \(\log_{0,2}^2x-5\log_{0,2}x< -8\)

Giải: Điều kiện $x>0$.

     \(\log_{0,2}^2x-5\log_{0,2}x+8< 0\)

   \(\Leftrightarrow2< \log_{0,2}x< 3\)

   \(\Leftrightarrow0,2^2>x>0,2^3\)

   \(\Leftrightarrow0,008< x< 0,04\)

Bài tập