Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Bài 5b: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1) Hệ số góc của tiếp tuyến, phương trình tiếp tuyến

     • Hệ số góc của tiếp tuyến tại M (\(x_0;y_0\)) là \(k=y'\left(x_0\right)\)

     • Phương trình tiếp tuyến tại M (\(x_0;y_0\)) là \(y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0\) 

a. Tiếp tuyến tại điểm M(\(x_0;y_0\)).

     • Tính \(y_0\Rightarrow y'\left(x_0\right)\) ⇒ PTTT.

Lưu ý.

∗ Nếu đề bài chỉ cho \(x_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và tính \(y_0=y'\left(x_0\right)\).

∗ Nếu đề chỉ cho \(y_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và giải phương trình \(y_0=y'\left(x_0\right)\Rightarrow x_0\) 

∗ Nếu đề chưa cho \(x_0;y_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và lập phương trình tiếp tuyến theo x0.

b. Tiếp tuyến biết hệ số góc k.

• Gọi điểm tiếp xúc M(\(x_0;y_0\)); Tính \(y'\) ; Giải phương trình \(y'\left(x_0\right)=k\Rightarrow x_0;y_0\)⇒ Phương trình tiếp tuyến.

Lưu ý.

∗ Tiếp tuyến song song ∆ ⇒ kT T = k∆.

∗ Tiếp tuyến vuông góc ∆ ⇒ kT T = − 1 k∆

2) Các dạng bài tập 

Dạng 1 : Viết  phương trình tiếp tuyến 

Ví dụ 1 :

Cho hàm số \(y=x^4-8x^2+m+1\)  \(\left(C_m\right)\). Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị  \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ \(x_0=1\) luôn cắt đồ thị  \(\left(C_m\right)\) tại 3 điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm.

Bài giải :

Ta có : \(y'=4x^3-16x\)

Vì \(x_0=1\Rightarrow y_0=m-6\)

                        \(y'\left(x_0\right)=-12\)

Phương trình tiếp tuyến d của  \(\left(C_m\right)\)tại điểm có hoành độ \(x_0=1\) là :

\(y=-12\left(x-1\right)+m-6=-12x+m+6\)

Phương trình hoành độ giao điểm của  \(\left(C_m\right)\) với d là :

\(x^4-8x^2+m+1=-12x+m+6\Leftrightarrow x^4-8x^2+12x-5=0\)

                                                                   \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x-5\right)=0\)

                                                                   \(\Leftrightarrow x=1;x=-1\pm\sqrt{6}\)

Vậy d và  \(\left(C_m\right)\) luôn cắt nhau tại 3 điểm phân biệt :

\(A\left(1;m-6\right);B\left(-1\pm\sqrt{6};m+18\right)\) (vì \(m-6\ne m+18\))

Ví dụ 2 : Cho hàm số \(y=-x^4-\frac{1}{2}x^2+6\left(C\right)\). Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của (C) biết :

a. \(\Delta\) vuông góc với đường thẳng \(d:y=\frac{1}{5}x-1\)

b.\(\Delta\) tạo với hai đường thẳng \(d_1:2x-y+2=0\)

                                                \(d_2:x-2y+3=0\) một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của \(d_1,d_2\)

Bài giải 

giải :Tập xác định : D = R

Gọi tiếp điểm là \(M\left(x_0;y_0\right);y'=-4x^3-x\)

Hệ số góc của \(\Delta\) là \(k=y'\left(x_0\right)\)

a. Vì  \(\Delta\perp d\) nên \(\frac{1}{5}.k=-1\Leftrightarrow k=-5\Leftrightarrow-4x^3_0-x_0=-5\Leftrightarrow x_0=1\)

    (Chú ý: \(-4x_0^3-x_0=-5\Leftrightarrow\left(-4x_0^3+4x\right)-\left(5x_0-5\right)=0\Leftrightarrow\left(x_0-1\right)\left(4x_0^2+4x+5\right)=0\Leftrightarrow x_0=1\))

          \(x_0=1\Rightarrow y\left(x_0\right)=-1-\frac{1}{2}+6=\frac{9}{2}\Rightarrow\Delta:y=-5\left(x-1\right)+\frac{9}{2}\Leftrightarrow\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}\)

Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của (C) là \(\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}\)

b. Phân giác của hai đường thẳng \(d_1;d_2\) là :

\(\frac{\left|2x-y+2\right|}{\sqrt{5}}=\frac{\left|x-2y+3\right|}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=-x+1\\y=x+\frac{5}{3}\end{array}\right.\)

Từ giả thiết suy ra \(\Delta\) vuông góc với các đường phân giác của  \(d_1;d_2\) nên hệ số góc của  \(\Delta\)  là \(\pm1\) ( \(\Delta\)  không đi qua giao điểm của   \(d_1;d_2\)

* Trường hợp 1 : Với k = 1 ta có \(-4x^3_0-x_0=1\Leftrightarrow x_0=-\frac{1}{2}\Rightarrow y_0=\frac{93}{16}\)

                             Suy ra \(\Delta:y-\frac{93}{16}=x+\frac{1}{2}\) hay \(y=x+\frac{101}{16}\)

* Trường hợp 2 : Với k = -1 ta có \(-4x^3_0-4x_0=-1\Leftrightarrow x_0=\frac{1}{2}\)

                             Suy ra \(\Delta:y-\frac{93}{16}=x-\frac{1}{2}\) hay \(y=x+\frac{85}{16}\)

Dạng 2 : Tìm tọa độ điểm thỏa mãn tính chất của tiếp tuyến và số tiếp tuyến

Ví dụ 1 : Cho hàm số \(y=\frac{2x}{x-1}\) có đồ thị (C). Tìm 2 điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các điểm đó song song với nhau, đồng thời 3 điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O (O là gốc tọa độ)
Bài giải :
Gọi \(A\left(a;\frac{2a}{a-1}\right);B\left(b;\frac{2b}{b-1}\right)\)  (với \(a,b\ne0;a,b\ne1;a\ne b\))
Khi đó hệ số góc của các đường tiếp tuyến tại A và B lần lượt là :
\(k_1=-\frac{2}{\left(a-1\right)^2};k_2=-\frac{2}{\left(b-1\right)^2}\)
Do các đường tiếp tuyến song song nên :
\(-\frac{2}{\left(a-1\right)^2}=-\frac{2}{\left(b-1\right)^2}\Leftrightarrow a+b=2\)
Mặt khác, ta có : \(\overrightarrow{OA}=\left(a;\frac{2a}{a-1}\right);\overrightarrow{OB}=\left(b;\frac{2b}{b-1}\right)\)
Do OAB là tam giác vuông tại O nên \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow ab+\frac{4ab}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=0\)
Ta có hệ \(\begin{cases}a+b=2\\ab+\frac{4ab}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=0\end{cases}\)
Giải hệ ta được \(\begin{cases}a=-1\\b=3\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a=3\\b=-1\end{cases}\)
Vậy 2 điểm cần tìm có tọa độ là : (-1;1) và (3;3)
Ví dụ 2 : Tìm tất cả những điểm nằm trên trục tung sao cho từ đó có thể kẻ tới đồ thị hàm số \(y=x^4-2x^2-1\) đúng 3 tiếp tuyến
Bài giải 
Xét \(M\left(0;m\right)\in Oy\)
Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình : \(y=kx+m\)
d là tiếp tuyến suy ra hệ : \(\begin{cases}x^4-2x^2-1=kx+m\\4x^3-4x=k\end{cases}\) có nghiệm
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :
\(-x^4-2x^2-1=4x^4-4x^2+m\Leftrightarrow5x^4-2x^2+1+m=0\) (*)
Để từ M ta có thể kẻ đến đồ thị đúng 3 tiếp tuyến suy ra (*) có 3 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow m+1=0\Leftrightarrow m=-1\)
Khi đó (*) có 3 nghiệm \(x=0;x=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}\)
Vậy 3 tiếp tuyến đó là :
\(y=-1;y=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}x-1\)

 

TÀI LIỆU ĐỌC THÊM

Các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài tập