Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

§3. Tích của vectơ với một số

TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ

1. Định nghĩa : 

Cho số \(k\ne0\) và vectơ \(\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}\). Tích của vectơ \(\overrightarrow{a}\) với số \(k\) là một vectơ, với kí hiệu là \(k\overrightarrow{a}\), cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu k > 0, ngược hướng với 

\(\overrightarrow{a}\)  nếu k < 0 và có độ dài bằng \(\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|\)

Ta quy ước \(0\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\),  \(k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)

Người ta còn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ

2. Tính chất :

Với  hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\). bất kì, với mọi số h và k, ta có :

\(k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\)

 \(\left(h+k\right)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}\)

 \(h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a}\)

 \(1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};\left(-1\right)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}\)

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

 a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\)

 b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\)

 Chứng minh:

 a) \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2.\overrightarrow{MI}\) (do \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\))

 b) \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)=3.\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3.\overrightarrow{MG}\) (do \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\))

 4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương :

 Điều kiện để hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (\(\overrightarrow{b}\ne0\)) cùng phương là có một số k để \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\)

 5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

 Cho  hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Khi đó mọi vectơ \(\overrightarrow{x}\) đều phân tích dược một cách duy nhất theo  hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho \(\overrightarrow{x}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\)

Chứng minh:

Lấy vectơ \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{x}\). Lấy O là điểm đầu và vẽ hai vectơ \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\)\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\). Từ C kẻ các đường thẳng song song với các đường thẳng OA và OB (xem hình vẽ).

O A A' B a b c C B'

Ta có: \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}\)

Vì \(\overrightarrow{OA'}\) và \(\overrightarrow{OA}\) cùng phương nên tồn tại số h sao cho \(\overrightarrow{OA'}=h.\overrightarrow{OA}\),

     \(\overrightarrow{OB'}\) và \(\overrightarrow{OB}\) cùng phương nên tồn tại số k sao cho \(\overrightarrow{OA'}=k.\overrightarrow{OA}\),

Vậy \(\overrightarrow{OC}=h.\overrightarrow{OA}+k.\overrightarrow{OB}\)

Hay là \(\overrightarrow{x}=h.\overrightarrow{a}+k.\overrightarrow{b}\)

6. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

 Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng, ta có thêm một cách mới là chỉ ta tồn tại một số k để 

    \(\overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{AC}\)

Ví dụ:
Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của đoạn AG và K là điểm trên AB sao cho AK = AB/5. Chứng minh 3 điểm C, I, K thẳng hàng.

 Giải

A B C M G I K

 Ta biểu diễn \(\overrightarrow{CI}\) và \(\overrightarrow{CK}\) theo các vectơ là các cạnh của tam giác ABC như sau:

   \(\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

          \(=-\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}\)   

         \(=\frac{5}{6}\left(-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}\right)\)                    (1)

  \(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AK}=-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}\)          (2)

 Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow{CI}=\frac{5}{6}\overrightarrow{CK}\)

 Vậy C, I, K thẳng hàng.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Các dạng toán về Vectơ có hướng dẫn giải

Bài tập