loading
back to top

Chuyên đề: Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 phần số học

Chia sẻ: dethikiemtra | Ngày: 2017-01-12 09:47:09 | Trạng thái: Được duyệt

Chủ đề: đề cương toán lớp 6   

143
Lượt xem
12
Tải về





Bên trên chỉ là 1 phần trích dẫn trong tài liệu để xem hết tài liệu vui lòng tải về máy. Chuyên đề: Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 phần số học

Chuyên đề: Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 phần số học

Chuyên đề: Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 phần số học




Tóm tắt nội dung
CHUYÊN NG HSG PH SỀ ƯỠ ỐH CỌBÀI TÌM CH CÙNGỮ ẬTìm ch cùng nhiên là ng toán hay. Đa các tài li uữ ệv ng toán này đu ng khái ni đng khái ni tr ng và ượkhông có trong ch ng trình. Vì th có không ít sinh, đc bi là các ươ ớvà khó có th hi và ti thu đc. ượQua bài vi này, tôi xin trình bày các tính ch và ph ng pháp ươgi bài toán “tìm ch cùng”, ch ng ki th THCS. ứChúng ta xu phát tính ch sauấ Tính ch 1ấ a) Các có ch cùng là 0, 1, 5, khi nâng lên lũy th kì thì ấch cùng không thay đi. ổb) Các có ch cùng là 4, khi nâng lên lũy th thì ch ốt cùng không thay đi. ổc) Các có ch cùng là 3, 7, khi nâng lên lũy th 4n (n thu ộN) thì ch cùng là 1. ậd) Các có ch cùng là 2, 4, khi nâng lên lũy th 4n (n thu ộN) thì ch cùng là 6.ữ Vi ch ng minh tính ch trên không khó, xin dành cho đc. Nh y, mu ốtìm ch cùng nhiên aữ m, tr ta xác đnh ch cùng ướ ậc a. ủ­ ch cùng là 0, 1, 5, thì cũng có ch cùng là 0, 1, 5, 6. ậ­ ch cùng là 3, 7, 9, vì aế 4n 4n.a 0, 1, 2, nên ừtính ch 1c => ch cùng chính là ch cùng aấ r. ch...
Nội dung tài liệu
CHUYÊN NG HSG PH SỀ ƯỠ ỐH CỌBÀI TÌM CH CÙNGỮ ẬTìm ch cùng nhiên là ng toán hay. Đa các tài li uữ ệv ng toán này đu ng khái ni đng khái ni tr ng và ượkhông có trong ch ng trình. Vì th có không ít sinh, đc bi là các ươ ớvà khó có th hi và ti thu đc. ượQua bài vi này, tôi xin trình bày các tính ch và ph ng pháp ươgi bài toán “tìm ch cùng”, ch ng ki th THCS. ứChúng ta xu phát tính ch sauấ Tính ch 1ấ a) Các có ch cùng là 0, 1, 5, khi nâng lên lũy th kì thì ấch cùng không thay đi. ổb) Các có ch cùng là 4, khi nâng lên lũy th thì ch ốt cùng không thay đi. ổc) Các có ch cùng là 3, 7, khi nâng lên lũy th 4n (n thu ộN) thì ch cùng là 1. ậd) Các có ch cùng là 2, 4, khi nâng lên lũy th 4n (n thu ộN) thì ch cùng là 6.ữ Vi ch ng minh tính ch trên không khó, xin dành cho đc. Nh y, mu ốtìm ch cùng nhiên aữ m, tr ta xác đnh ch cùng ướ ậc a. ủ­ ch cùng là 0, 1, 5, thì cũng có ch cùng là 0, 1, 5, 6. ậ­ ch cùng là 3, 7, 9, vì aế 4n 4n.a 0, 1, 2, nên ừtính ch 1c => ch cùng chính là ch cùng aấ r. ch cùng là 2, 4, 8, cũng nh tr ng trên, tính ch 1d ườ ấ=> ch cùng chính là ch cùng 6.aữ r. Bài toán Tìm ch cùng các sữ a) 99 b) 14 1414 c) 567L gi iờ a) Tr t, ta tìm phép chia 99 cho 4ướ (9 1)(9 1) chia cho ế=> 99 4k (k thu N) => 7ộ 99 4k 4k.7 Do 4k có ch cùng là (theo tính ch 1c) => 7ữ 99 có ch cùng là 7.ữ ậb) th 14ễ 14 4k (k thu N) => theo tính ch 1d thì 14ộ 1414 14 4k có ch ậcùng là 6. c) Ta có 67 chia cho => 5ế 67 4k (k thu N) ộDoc24.vn=> 567 4k 4k.4, theo tính ch 1d, 4ấ 4k có ch cùng là nên 4ữ 567 có ch ữs cùng là 4. ậTính ch sau đc => tính ch 1. ượ ấTính ch 2ấ nhiên kì, khi nâng lên lũy th 4n (n ậthu N) thì ch cùng không thay đi.ộ Ch cùng ng các lũy th đc xác đnh ng cách tính ng các ượ ổch cùng ng lũy th trong ng. ổBài toán Tìm ch cùng ng 2ữ 2004 8009. gi iờ Nh xétậ lũy th trong đu có mũ khi chia cho thì (các lũy th ừđu có ng nề 4(n 2) 1, thu {2, 3, …, 2004}). ộTheo tính ch 2, lũy th trong và các ng ng đu có ch ươ ậcùng gi ng nhau, ng ch cùng ngố (2 9) 199.(1 9) 200(1 9) 9009. ch cùng ng là 9. ổT tính ch ti => tính ch 3. ấTính ch 3ấ a) có ch cùng là khi nâng lên lũy th 4n có ch ốt cùng là có ch cùng là khi nâng lên lũy th 4n ậs có ch cùng là 3. ậb) có ch cùng là khi nâng lên lũy th 4n có ch ốt cùng là có ch cùng là khi nâng lên lũy th 4n ậs có ch cùng là 2. ậc) Các có ch cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy th 4n ậ+ không thay đi ch cùng. ậBài toán Tìm ch cùng ng 2ữ 11 2004 8011. gi iờ Nh xétậ lũy th trong đu có mũ khi chia cho thì (các lũy th ừđu có ng nề 4(n 2) 3, thu {2, 3, …, 2004}). ộTheo tính ch thì 2ấ có ch cùng là 3ữ có ch cùng là 4ữ 11 có ch cùng là ậNh y, ng có ch cùng ng ch cùng ngư (8 9) 199.(1 9) 200(1 9) 9019. ch cùng ng là 9. ổ* Trong bài toán khác, vi tìm ch cùng đn gi khá đc ộđáo. Bài toán hay không nhiên sao cho nồ chia cho ế1995 2000. Doc24.vnL gi iờ 1995 2000 cùng ch nên chia cho 5. Vì y, ta đt ặv là li nấ có chia cho không ếTa có n(n 1), là tích hai nhiên liên ti nên ch cùng aủ ủn ch có th là => nỉ ch có th cùng là => nỉ không chia cho 5. ếV không nhiên sao cho nậ chia cho 1995ế 2000. ng tính ch “m chính ph ng ch có th cùng các ch ;ộ ươ ố4 9” ta có th gi đc bài toán sauể ượ Bài toán Ch ng minh ng các ng sau không th là chính ph ngứ ươ a) 19 1995 1996 (v ch n) ẵb) 2004 2004k 2003 ng tính ch “m nguyên ch có th cùng các ch sộ ố1 9” ta ti gi quy đc bài toánế ượ Bài toán Cho là nguyên 5. Ch ng minh ngố 8n +3.p 4n chia cho 5. ế* Các hãy gi các bài sauạ Bài Tìm các phép chiaố a) 2003 8005 cho b) 11 2003 8007 cho Bài Tìm ch cùng X, Yữ 10 2004 8010 12 16 2004 8016 Bài Ch ng minh ng ch cùng hai ng sau gi ng nhauứ 2005 8013 11 2005 8015 Bài Ch ng minh ng không các nhiên x, y, th mãnứ 19 1980z 1975 430 2004. Các th nghiên các tính ch và ph ng pháp tìm nhi ch ươ ốt cùng nhiên, chúng ta ti trao đi này. ề* Tìm hai ch cùng ậNh xétậ và 100k y, trong đó thì hai ch ậcùng cũng chính là hai ch cùng y. ủHi nhiên là x. Nh y, đn gi vi tìm hai ch cùng ựnhiên thì thay vào đó ta đi tìm hai ch cùng nhiên (nh n). ơRõ ràng càng nh thì vi tìm các ch cùng càng đn gi n. ơT nh xét trên, ta xu ph ng pháp tìm hai ch cùng nhiên ươ ựx nh sauư Tr ng 1ườ ch thì aế m. là nhiên sao cho aọ 25. Vi pế (p N), trong đó là nh nh aố ta có Doc24.vnx q(a pn 1) q. Vì 25 => pn 25. khác, do (4, 25) nên aặ q(a pn 1) 100. hai ch cùng am cũng chính là hai ch cùng aq. ủTi theo, ta tìm hai ch cùng aq. ủTr ng 2ườ là nhiên sao cho aế 100. Vi uế (u N, n) ta có v(a un 1) v. Vì 100 => un 100. hai ch cùng aậ cũng chính là hai ch cùng aữ v. Ti theo, ta tìm hai ch cùng aế v. Trong hai tr ng trên, chìa khóa gi đc bài toán là chúng ta ườ ượph tìm đc nhiên n. càng nh thì và càng nh nên dàng ượ ễtìm hai ch cùng aữ và v. Bài toán Tìm hai ch cùng các sữ a) 2003 b) 99 gi iờ a) Do 2003 là ch n, theo tr ng 1, ta tìm nhiên nh ườ ỏnh sao cho 2ấ 25. Ta có 10 1024 => 10 1025 25 => 20 (2 10 1)(2 10 1) 25 => 3(2 20 1) 100. khácặ 2003 3(2 2000 1) 3((2 20) 100 1) 100k (k N). hai ch cùng 2ậ 2003 là 08. b) Do 99 là theo tr ng 2, ta tìm nhiên bé nh sao cho 7ố ườ 100. Ta có 2401 => 74 100. khácặ => 4k (k N) 7ậ 99 4k 7(7 4k 1) 100q (q N) cùng hai ch 07.ậ ốBài toán Tìm phép chia 3ố 517 cho 25. gi iờ Tr ta tìm hai ch cùng 3ướ 517. Do này nên ẻtheo tr ng 2, ta ph tìm nhiên nh nh sao cho 3ườ 100. Ta có 10 59049 => 10 50 => 20 (3 10 1) (3 10 1) 100. khácặ 16 => 5(5 16 1) 20 => 17 5(5 16 1) 20k =>3 517 20k 5(3 20k 1) 5(3 20k 1) 243, có hai ch cùng là 43. ậV phép chia 3ậ 517 cho 25 là 18. Trong tr ng đã cho chia cho thì ta có th tìm theo cách gián ti p. ườ ếTr tiên, ta tìm phép chia đó cho 25, đó suy ra các kh năng ướ ủhai ch cùng. Cu cùng, vào gi thi chia cho ch giá tr ịđúng. Doc24.vnCác thí trên cho th ng, ho thì 20 thì 4. ếM câu đt ra làộ kì thì nh nh là bao nhiêu Ta có tính ch ấsau đây (b đc ch ng minh). ứTính ch 4ấ và (a, 5) thì aế 20 25. Bài toán Tìm hai ch cùng các ngữ a) S1 2002 2002 2002 ... 2004 2002 b) S2 2003 2003 2003 ... 2004 2003 gi iờ a) th y, ch thì aễ chia cho thì aế 100 chia cho ến chia cho thì aế chia cho 25. ếM khác, tính ch ta suy ra và (a, 5) ta có a100 25. ta có aậ 2(a 100 1) 100. Do đó S1 2002 2(2 2000 1) ... 2004 2(2004 2000 1) ... 2004 2. Vì th hai ch cùng ng Sế ổ1 cũng chính là hai ch cùng ng ổ1 ... 2004 2. áp ng công th cụ ... n(n 1)(2n 1)/6 =>1 ... 2004 2005 4009 334 2684707030, cùng là 30. ậV hai ch cùng ng Sậ ổ1 là 30. b) Hoàn toàn ng nh câu a, Sươ ư2 2003 3(2 2000 1) ... 2004 3(2004 2000 1) 2004 3. Vì th hai ch cùng ng Sế ổ2 cũng chính là hai ch ốt cùng 1ậ ... 2004 3. áp ng công th cụ => ... 2004 (2005 1002) 4036121180100, cùng là 00. ậV hai ch cùng ng Sậ ổ2 là 00. Tr bài toán (TTT2 15), ta th ng có th ng vi tìm ch sở ốt cùng nh bi không ph là chính ph ng. Ta cũng có ươth nh bi đi đó thông qua vi tìm hai ch cùng. ậTa có tính ch sau đây (b đc ch ng minh). ứTính ch 5ấ nhiên không ph là chính ph ng uố ươ có ch cùng là 2, 3, 7, ậ+ có ch cùng là mà ch hàng ch là ch ch ẵ+ có ch hàng đn khác mà ch hàng ch là ẻ+ có ch hàng đn là mà ch hàng ch khác ụ+ có hai ch cùng là ẻBài toán 10 Cho và không chia cho 4. Ch ng minh ng 7ế +2 không th là chính ph ng. ươL gi iờ Do không chia cho nên 4k (r {0, 2, 3}). Ta có ế7 2400 100. Ta vi 7ế 4k r(7 4k 1) 2. Doc24.vnV hai ch cùng 7ậ cũng chính là hai ch cùng 7ữ (r 0, 2, 3) nên ch có th là 03, 51, 45. Theo tính ch thì rõ ràng 7ỉ không th ểlà chính ph ng khi không chia cho 4. ươ ế* Tìm ba ch cùngữ Nh xétậ ng nh tr ng tìm hai ch cùng, vi tìm ba ươ ườ ệch cùng nhiên chính là vi tìm phép chia cho ủ1000. 1000k y, trong đó thì ba ch cùng cũng chính là baế ủch cùng (y x). ủDo 1000 125 mà (8, 125) nên ta xu ph ng pháp tìm ba ch ươ ậcùng nhiên aủ nh sauư Tr ng 1ườ ch thì aế chia cho 2ế m. là nhiên ựsao cho chia cho 125. ếVi pế (p N), trong đó là nh nh aố chia cho ta cóế q(a pn 1) q. Vì chia cho 125 => aế pn chia cho 125. khác, do (8, 125) nên ặa q(a pn 1) chia cho 1000. ếV ba ch cùng aậ cũng chính là ba ch cùng aữ q. Ti theo, ếta tìm ba ch cùng aữ q. Tr ng 2ườ là nhiên sao cho aế chia cho ế1000. Vi uế (u N, n) ta có v(a un 1) v. Vì chia cho 1000 => aế un chia cho 1000. ếV ba ch cùng aậ cũng chính là ba ch cùng aữ v. Ti theo, ếta tìm ba ch cùng aữ v. Tính ch sau đc suy ra tính ch 4. ượ ấTính ch 6ấ và (a, 5) thì aế 100 chia cho 125. ếCh ng minhứ Do 20 chia cho 25 nên aế 20, 40, 60, 80 khi chia cho 25 cócùng là ư=> 20 40 60 80 chia cho 5. aế 100 (a 20 1)( 80 60 40 20 1) chia cho 125. ếBài toán 11 Tìm ba ch cùng 123ữ 101. gi iờ Theo tính ch 6ấ do (123, 5) => 123 100 chia cho 125 (1). khácặ 123 100 (123 25 1)(123 25 1)(123 50 1) => 123 100 chia cho (2). Vì (8, 125) 1, (1) và (2) suy raừ 123 100 chi cho 1000 ếDoc24.vn=> 123 101 123(123 100 1) 123 1000k 123 (k N). ∩V 123ậ 101 có ba ch cùng là 123. ậBài toán 12 Tìm ba ch cùng 3ữ 399...98. gi iờ Theo tính ch 6ấ do (9, 5) => 100 chi cho 125 (1). ng bài 11, ta có 9ươ 100 chia cho (2). Vì (8, 125) 1, (1) và (2) suy raừ 100 chia cho 1000 => 3ế 399...98 199...9 100p 99 99(9 100p 1) 99 1000q 99 (p, N). ba ch cùng 3ậ 399...98 cũng chính là ba ch cùng 9ữ 99. vì 9ạ 100 chia cho 1000 => ba ch cùng 9ế 100 là 001 mà 99 100: => ba ch cùng 9ữ 99 là 889 (d ki tra ch cùng 9ễ 99 là 9, sau đó vào phép nhân xác đnh ). ba ch cùng 3ậ 399...98 là 889. đã cho chia cho thì ta cũng có th tìm ba ch cùng cách ộgián ti theo các cế ướ Tìm phép chia đó cho 125, đó suy ra các kh ảnăng ba ch cùng, cu cùng ki tra đi ki chia cho ch ọgiá tr đúng. ịBài toán 13 Tìm ba ch cùng 2004ữ 200. gi iờ do (2004, 5) tính ch 6ấ => 2004 100 chia cho 125 ư=> 2004 200 (2004 100) chia cho 125 ư=> 2004 200 ch có th cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Do ậ2004 200 chia cho nên ch có th cùng là 376. ậT ph ng pháp tìm hai và ba ch cùng đã trình bày, chúng ta có th ươ ởr ng tìm nhi ba ch cùng nhiên. ựSau đây là bài ngộ Bài Ch ng minh 1ứ chia cho khi và ch khi không ỉchia cho 4. ếBài Ch ng minh 9ứ 20002003, 20002003 có ch cùng gi ng nhau. ốBài Tìm hai ch cùng aữ a) 999 b) 11 1213 Bài Tìm hai ch cùng aữ 23 ... 40023 Bài Tìm ba ch cùng aữ 2004 2004 ... 2003 2004 Bài Cho (a, 10) 1. Ch ng minh ng ba ch cùng aứ 101 cũng ng ba ch cùng a. ủDoc24.vnBài Cho là ch không chia cho 10. Hãy tìm ba ch ậcùng Aủ 200. Bài Tìm ba ch cùng sữ 1993 19941995 ...2000 Bài Tìm sáu ch cùng 5ữ 21. BÀI CH NG MINH KHÔNG PH IỨ LÀ CHÍNH PH NGỐ ƯƠTrong ch ng trình Toán 6, các em đã đc các bài toán liên quanươ ượ ềt phép chia nhiên cho nhiên khác và đc bi là ệđc gi thi chính ph ng, đó là nhiên ng bình ph ng ượ ươ ươ ộs nhiên (ch ng nố ;16 25 121 144 …). các ki th trên, các em có th gi quy bài toánế Ch ng minh ứm không ph là chính ph ng. Đây cũng là cách ng các ki ươ ếth mà các em đã đc c. Nh ng bài toán này làm tăng thêm lòng say mê ượ ẽmôn toán cho các em. 1. Nhìn ch cùngữ Vì chính ph ng ng bình ph ng nhiên nên có th th ngay ươ ươ ấs chính ph ng ph có ch cùng là trong các ch ;ố ươ ố6 9. đó các em có th gi đc bài toán ki sau đâyừ ượ Bài toán Ch ng minh sứ 2004 2003 2002 2001 không ph ảlà chính ph ng. ươL gi iờ dàng th ch cùng các 20042 20032 20022 ố20012 là 1. Do đó có ch cùng là nên không ph ượ ảlà chính ph ng. ươChú Nhi khi đã cho có ch cùng là trong các ;ề ố5 nh ng không ph là chính ph ng. Khi đó các ph thêmư ươ ưm chút aộ chính ph ng chia cho nguyên thì ph chia cho ươ ếp 2. Bài toán Ch ng minh 1234567890 không ph là chính ph ng. ươL gi iờ Th ngay 1234567890 chia cho (vì ch cùng là 0)ấ ậnh ng không chia cho 25 (vì hai ch cùng là 90). Do đó 1234567890 ốkhông ph là chính ph ng. ươDoc24.vnChú Có th lý lu 1234567890 chia cho (vì ch cùng là 0), ậnh ng không chia cho (vì hai ch cùng là 90) nên 1234567890 không làư ậs chính ph ng. ươBài toán Ch ng minh ng có ng các ch là 2004 thì ốđó không ph là chính ph ng. ươL gi iờ Ta th ng các ch 2004 là nên 2004 chia cho ếmà không chia nên có ng các ch là 2004 cũng chia cho mà ếkhông chia cho 9, do đó này không ph là chính ph ng. ươ2. Dùng tính ch dấ Ch ng các em bài toán sau đâyẳ Bài toán Ch ng minh có ng các ch là 2006 không ph là sứ ốchính ph ng. ươCh ch các em “choáng”. bài toán này ta ph nghĩ ớđi gì Vì cho gi thi ng các ch nên ch ch các em ph nghĩ ớphép chia cho ho cho 9. Nh ng không đi “kì di u” nh bài toán 3. ưTh thì ta nói đc đi gì này Ch ch này chia cho ph 2. Tế ượ ừđó ta có gi i. ảL gi iờ Vì chính ph ng khi chia cho ch có là ho 1ố ươ mà thôi (coi nh bài các em ch ng minh !). Do ng các ch đó là ố2006 nên đó chia cho 2. Ch ng đã cho không ph là chính ốph ng. ươT ng các em có th gi quy đc bài toánươ ượ Bài toán Ch ng minh ng các nhiên liên ti đn 2005 không ếph là chính ph ng. ươBài toán Ch ng minh sứ 2004 2004 2004 23 không là ốchính ph ng. ươBây gi các em theo dõi bài toán sau nghĩ “tình hu ng” i. ớBài toán Ch ng minh sứ 44 44 444 444 4444 4444 15 không là chính ph ng.ố ươNh xétậ xét chia cho 3, các em th phép chia là 1,ế ẽth là không “b ch c” đc cách gi các bài toán 6. xét ch ướ ượ ữs cùng các em th ch cùng là nên không làm “t ng ươ ựđc nh các bài toán 2. phép chia cho là th nh t, đó chính ượ ấlà 3. tộ chính ph ng khi chia cho cho nh th nào nh ?ố ươ Các em có th ch ng minh và đc quể ượ đó ch có th làố ho 1ặ Nh ưv là các em đã gi xong bài toán 7. ả3. “K p” gi hai chính ph ng “liên ti p”ẹ ươ Doc24.vnCác em có th th ngể là nhiên và nhiên th mãn nế (n 1) thì không là chính ph ng. đó các em có th xét đc các bàiố ươ ượtoán sau Bài toán Ch ng minh 4014025 không là chính ph ng. ươNh xétậ này có hai ch cùng là 25, chia cho 1, chia cho ưcũng 1. Th là các cách làm tr đu không ng đc. Các em có ướ ượth th gi theo ng khác. ướL gi iờ Ta có 2003 4012009 2004 4016016 nên 2003 4014025 2004 2. Ch ng 4014025 không là chính ph ng. ươBài toán Ch ng minh n(n 1)(n 2)(n 3) không là chính ốph ng nhiên khác 0. ươ ựNh xétậ Đi các em đã làm quen ng bi th này thì có th ểnh ra là chính ph ng (đây là bài toán quen thu 8). Các em ươ ớl 6, cũng có th ch khó đc gi i. ảL gi iờ Ta có n(n 1)(n 2)(n 3) (n 3n)(n 3n 2) (n 3n) 2(n2 3n) +1 (n 3n +1) 2. khácặ (n 3n) (n 3n) 2(n 3n) A. Đi này hi nhiên đúng vì 1. Ch ng tề (n 3n) (n 3n +1) 2. => không là chính ph ng. ươCác em có th rèn luy ng cách th gi bài toán sauể Bài toán 10 Hãy tìm nhiên sao cho nố 2n 3n 2n là chínhốph ng. ươG ýợ Nghĩ đn (nế 1) 2. Bài toán 11 Ch ng minh 23ứ 23 12 23 2003 không là chính ph ng. ươG ýợ Nghĩ đn phép chia cho ho phép chia cho 4. ặBài toán 12 Có 1000 nh bìa hình ch nh t, trên nh bìa đc ghi ượm trong các đn 1001 sao cho không có hai nh nào ghi gi ng ốnhau. Ch ng minh ngứ Không th ghép các nh bìa này li nhau ểđc chính ph ng. ượ ươBài toán 13 Ch ng minh ngứ ng các bình ph ng nhiênổ ươ ựliên ti không th là chính ph ng. ươG ýợ Nghĩ phép chia cho 4. ớBài toán 14 Ch ng minh ng 333ứ 333 555 555 777 777 không là chính ốph ng. ươG ýợ Nghĩ đn phép chia cho ch (?) ụBài toán 15 Lúc đu có hai nh bìa, bé tinh ngh ch ộm nh bìa lên xé ra làm nh. ta mong ng làm nh đn ộDoc24.vnTrên đây chỉ là phần trích dẫn 10 trang đầu của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầyđủ tài liệu gốc thì ấn vào nút Tải về phía dưới.

0 Bình luận



Bạn cần đăng nhập mới có thể viết bình luận

Có thể bạn quan tâm




Nhận thông tin qua email


Cập nhật tài liệu hay và mới tại doc24.vn qua email



Hỗ trợ trực tuyến