Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

[SƯU TẦM] - BÀI TẬP MŨ - LOGARIT (NGUYỄN TÀI CHUNG)

6a54fb498bc42a2a1d1eefee45431906
Gửi bởi: Thành Đạt vào ngày 2020-11-28 11:34:29 || Kiểu file: PDF Lượt xem: 63 | Lượt Download: 1 | File size: 1.010051 Mb

Nội dung tài liệu Xem trước tài liệu

Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Biên soạn: Nguyễn Tài Chung

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ

LÔGARIT

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 2

2020

Bài giảng toán 12 năm học 2020-2021

2 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

3 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

MỤC LỤC
CHƯƠNG 2 Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
1

2

3

4

5

Lũy thừa

5
5

A

Tóm tắt lí thuyết

5

B

Phương pháp giải toán

6

C

Bài tập trắc nghiệm

Lôgarit

10
15

A

Tóm tắt lí thuyết

15

B

Phương pháp giải toán

16

C

Bài tập ôn luyện

20

D

Bài tập trắc nghiệm

22

Hàm số mũ, hàm số lôgarit và hàm số lũy thừa.

28

A

Tóm tắt lí thuyết

28

B

Phương pháp giải toán

29

C

Bài tập ôn luyện

40

D

Bài tập trắc nghiệm

43

Phương trình, bất phương trình mũ

53

A

Một số dạng toán

53

B

Bài tập ôn luyện

58

C

Bài tập trắc nghiệm

59

Phương trình, bất phương trình lôgarit

65

MỤC LỤC

A

Phương pháp giải toán

65

B

Bài tập ôn luyện

71

4 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679
C
6

Bài tập trắc nghiệm

Hệ mũ và lôgarit

73
79

A

Một số dạng toán

79

B

Bài tập ôn luyện

82

C

Bài tập trắc nghiệm

83

Ôn tập chương

85

A

Bộ đề số 1

85

B

Bộ đề 2

88

C

Bộ đề 3

91

D

Bộ đề 4

94

MỤC LỤC

5 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

CHƯƠNG

2

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ
HÀM SỐ LÔGARIT
BÀI 1. LŨY THỪA

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Căn bậc n.

Định nghĩa 1. Căn bậc n (với n ∈ Z, n ≥ 1) của số thực a, ký hiệu là n a, là số thực b (nếu
có) sao cho bn = a.

4 = 81, ta viết 4 81 = 3. Số −2 là căn bậc 5 của −32 vì
Ví dụ. Số 3 là căn bậc
4
của
81

3

(−2)5 = −32, ta viết 5 −32 = −2.
Tính chất 1. Với k ∈ Z, k ≥ 1, ta có


(1) 2k a có nghĩa ⇔ a ≥ 0;
(2) 2k a ≥ 0, ∀ a ≥ 0;
ß


b≥0
2k
(3)
a=b⇔
;
(4) 2k−1 a có nghĩa với mọi a;
2k
a=b

(5) 2k−1 a = b ⇔ a = b2k−1 .

n
a, còn
Tính chất 2. Khi n lẻ (n = 2k + 1, k ∈ N), mỗi số thực a chỉ có một căn√bậc n, đó


2k
2k
khi n chẵn (n = 2k, k ∈ N), mỗi số thực a có đúng hai căn bậc n, đó là a và − a.
m
2. Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ. Với số hữu tỉ (m ∈ Z, n ∈ N∗ ), ta có
n

m
n
a n = am , ∀ a > 0.


2
3
Ví dụ. 8 3 = 82 = 3 64 = 4.
Chú ý 1. Khi xét lũy thừa với số mũ nguyên dương thì cơ số là tùy ý. Khi xét luỹ thừa với số
mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0, khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì
cơ số phải dương.
Các công thức.

(1) am .an = am+n ;

(2)

( am )n = am.n ;
 a n
an
= n;
b
b

(4)

(3)
(5)

am
= am−n ;
an
( ab)n = an bn ;

(6) a0 = 1; an =

(giả thiết rằng các số hạng có mặt trong các công thức trên đã có nghĩa).
3. Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực. Xét a > 0. Khi đó

(1) a x > 0, ∀ x ∈ R;
(2) Nếu a > 1 thì a x < ay ⇔ x < y;
(3) Nếu 0 < a < 1 thì a x < ay ⇔ x > y;
(4) Nếu a = 1 thì a x = 1x = 1, ∀ x ∈ R.
(5) Nếu a 6= 1 thì a x = ay ⇔ x = y.

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

1
a−n

.

6 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679
Chú ý 2.



(1)

2k−1

A2k−1



= A;

(2)

2k

A2k

= | A| =

ß

A
khi A ≥ 0
− A khi A < 0.

4. Công thức lãi kép. Nếu một người gửi số tiền A với lãi suất r mỗi kì, thì sau n kì, số tiền
người gửi thu được cả vốn lẫn lãi là
C = A (1 + r ) n .

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1. Rút gọn biểu thức.
Phương pháp. Sử dụng các công thức:

(1) am .an = am+n ;

(2)

( am )n = am.n ;
 a n
an
= n;
b
b

(4)

(3)
(5)

am
= am−n ;
an
( ab)n = an bn ;

(6) a0 = 1; an =

1
a−n

.

(giả thiết rằng các số hạng có mặt trong các công thức trên đã có nghĩa).
Lưu ý.
ß


2k
2k−1
A
khi A ≥ 0
2k

1
2k
A
= A;
(2)
A = | A| =
(1)
− A khi A < 0.
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau đây
»
4
1
( a2 − 12a + 36) ;
»
8
3
x16 ( x + 2)8 , với x ≤ −2;


2
4

64a6 b2 , với b ≤ 0;

p
3

x5 ( x4 − 3x3 + 3x2 − x ).

Bài 2. Đơn giản các biểu thức (với a, b là những số dương cho trước)
√
4
4 3 2
1
7
1
5
a b
a3 − a3
a− 3 − a 3
1 A= √
;
2 B= 1
− 2
4
−1 .
3 12 6
a b
a3 − a3
a3 + a 3
1

a2 + a 2
a−1
Bài 3. Cho a > 0. Rút gọn biểu thức A = √
−√
.
a+1
a3 + 1
Bài 4. Đơn giản các biểu thức




4
a− b
a + ab


1 A= √
− √
;
4
4
4
4
a− b
a+ b
!
√
2


a+b
3
3
3

3 C= √

ab
:
a

b
.
3
3
a+ b

2 B= √
3

a−b
a+b


−√
;
3
3
3
a− b
a+ b

Bài 5. Đơn giản các biểu thức

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

7 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679


1 a −2 2


a−

 √2+1

1


2−1

;

2





a

b

3

 √3+1

3−1



a −1−
b −2

3

.

Bài 6. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa một số với số mũ hữu tỉ và rút gọn.
» p √
p √
1
3
1 6 x 3 5 x ( x > 0);
2
a 4 a 5 a : a 60 ( a > 0);
p√
√ p
√ p
√ p

3
4
5
100 99
3
5.
5. 3 5. 4 5 . . .
5.
Bài 7. Rút gọn biểu thức sau trong miền xác định của nó:
2√
x− 3 3 x − y

P=
√ .
2 :
x
x

y
y
2
3
( x − xy)
3

3

x2 + y2

Bài 8. Rút gọn biểu thức sau trong miền xác định của nó:
" √



2
2 #5 »
4
4
4
4

(
a
+
b
)
+
(
a

b
)
3

. a a.
Q = a3
a + ab
Bài 9. Rút gọn biểu thức sau trong miền xác định của nó:
3

P=

y2
x+ √
x

!2 "√
3

:

#2


3
x− y
y

+√
.

x
x− y

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức.
Phương pháp. Sử dụng các công thức:

(1) am .an = am+n ;

(2)

( am )n = am.n ;
 a n
an
= n;
b
b

(4)

(3)
(5)

am
= am−n ;
n
a
( ab)n = an bn ;

(6) a0 = 1; an =

(giả thiết rằng các số hạng có mặt trong các công thức trên đã có nghĩa).
Bài 10. Cho a > 0, b > 0. Chứng minh:
 1
 1
 1

1
1
1
2
2
4
4
4
4
a) a − b
a +b
a + b = a − b.


2
3

1
3



4
3

2
3

1
3

2
3



a −b
a + a .b + b
a2 − b



b)  2
=
.
1
4
2 1
2
a2 + b
a3 + b3
a3 − a3 b3 + b3




a+ 4 a √
Bài 11. Chứng minh rằng: 3
· √
· 4 a − 1 = a.
1
a−1
a4 + a2
√
 1 √
1
3
3
Bài 12. Chứng minh rằng
5+2 −
5 − 2 là số nguyên.
a−1

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

1
a−n

.

8 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679



3 5
5
25 64
25 64
Bài 13. Chứng minh rằng
+
+
+

+
= 1.
2
4
27
2
4
27
Bài 14 (Malaysia National Olympiad 2010).
Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên m, n (n 6= 0) sao cho
»√
»√
m
3
3
=
50 + 7 −
50 − 7.
n
q
q
»
»
3
2
4
2
2
Bài 15. Cho x, y thỏa mãn: x + x y + y + 3 y4 x2 = a. Chứng minh rằng:
3


3

x2 +

»
3

y2 =


3

a2 .

Bài 16. Với mọi số thực x, ta kí hiệu
sinh x =

e x − e− x
e x + e− x
, cosh x =
.
2
2

Chứng minh rằng
1 cosh 2x = 2 cosh2 x − 1;

2 sinh 2x = 2 sinh x cosh x;

3 cosh 3x = 4 cosh3 x − 3 cosh x;

4 sinh 3x = 3 sinh x + 4 sinh3 x;

5 cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x;

6 cosh2 x − sinh2 x = 1.

Bài 17. Một cấp số cộng và một cấp số nhân có cùng các số hạng thứ m + 1, thứ n + 1 và thứ
p + 1 là ba số dương a, b, c. Chứng minh hệ thức:
ab−c .bc−a .c a−b = 1.

Bài 18. Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh rằng:
a) Nếu

1 1 1
1
1
1
1
1
+ + =
thì n + n + n = n
.
a b c
a+b+c
a
b
c
a + bn + cn

b) Nếu ax n = byn = czn và
»
n

1 1 1
+ + = 1 thì:
x y z
ax n−1 + byn−1 + czn−1 =


n

a+


n

b+


n

c.





3
Bài 19. Chứng minh rằng nếu 3 a + b + 3 c = 3 a + b + c thì với mọi số nguyên dương n lẻ
ta đều có:




n
n
n
a + b + n c = a + b + c.
Bài 20. Cho x < 0. Chứng minh rằng
œ


1
−1 + 1 + (2 x − 2− x )2
1 − 2x
4

=
.
1 + 2x
1 x
2

x
1 + 1 + (2 − 2 )
4

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

9 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

Dạng 3. Chứng minh bất đẳng thức.
Phương pháp.
• Vận dụng tính chất:

(1) Nếu a > 1 thì a x < ay ⇔ x < y;
(2) Nếu 0 < a < 1 thì a x < ay ⇔ x > y.
• Bất đẳng thức Côsi:

◦ Với a, b không âm, ta có a + b ≥ 2 ab, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.

◦ Với a, b, c không âm, ta có a + b + c ≥ 3 3 abc, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a = b = c.
Bài 21 (ĐHSP Quy Nhơn-1997). Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta có bất đẳng thức:
2
3a −4 + 34a+8 ≥ 2.
 2sin2 x +5 cos x+3
2
1
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Bài 22. Cho hàm số: f ( x ) =
2
2

2

2

Bài 23. Cho a + b = c, với a > 0, b > 0. Chứng minh a 3 + b 3 > c 3 .
3

3

3

Bài 24. Với a > 0, b > 0. Chứng minh rằng a 4 + 2b 4 > ( a + 2b) 4 .
Bài 25. Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng
2

2

2

2

a 3 + b 3 + c 3 > ( a + b + c) 3 .

(1)

3
Bài 26 (Dự bị ĐH-2005B). Xét a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = . Chứng
4
minh rằng:



3
3
a + 3b + b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3.
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 27 (Dự bị ĐH-2005A). Cho x, y, z là ba số thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 0. Chứng
minh rằng:



3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ≥ 6.
Bài 28. Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
9 a + 9b + 9c ≥ 3 a + 3b + 3c .

Bài 29. Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
8 a + 8b + 8c ≥ 2 a + 2b + 2c .

Dạng 4. Các bài tập sử dụng công thức lãi kép.
Phương pháp. Nếu một người gửi số tiền A với lãi suất r mỗi kì, thì sau n kì, số tiền người
gửi thu được cả vốn lẫn lãi là C = A(1 + r )n .

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

10 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679
Bài 30. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kì hạn một năm, với lãi
xuất 7, 56%. Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau
5 năm là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài 31. Một người đầu tư 100 triệu đồng vào một công ty theo thể thức lãi kép, với lãi xuất
11% một năm. Hỏi sau 5 năm người đó mới rút lãi thì thu được bao nhiêu tiền lãi? (với giả sử
rằng lãi suất không thay đổi hàng năm).
Dạng 5. Một số bài tập khác.
Bài 32. Tìm các số thực α thỏa mãn từng điều kiện sau:
1


1 2α
a + a−2α = 1 ( a > 0);
2

2 5|α| ≤ 125.

Chú ý 3. Để làm các bài tập 33, 34 sau đây, cần nhớ lại công thức khai triển của Nhị thức
Niutơn đã học ở lớp 11: với n ∈ N∗ ta có

( a + b)n = Cn0 an b0 + Cn1 an−1 b1 + · · · + Cnk an−k bk + · · · + Cnn a0 bn
n

=



Cnk an−k bk =

k =0

n

∑ Cnk ak bn−k (quy ước a0 = b0 = 1).

k =0

Lưu ý rằng số hạng chứa ak trong khai triển của nhị thức ( a + b)n là
Tk+1 = Cnk ak bn−k (k = 0, 1, 2, . . . , n).
Bài 33 (ĐH-2004D). Tìm số hạng không chứa x khi khai triển



1 7
3
x+ √
với x > 0.
4
x
Bài 34 (Đề thi ĐH-2003A). Tìm hệ số của số hạng chứa

x8


trong khai triển của


1
x5
+
x3

n

biết rằng x > 0 và
+1
n
Cnn+
4 − Cn+3 = 7( n + 3) ( n là số nguyên dương).

Bài 35. Tìm các số hạng nguyên khi khai triển

√
5

3+

36

3
7 .

Bài 36. Tìm hệ số của số hạng 
thứ 4 trongkhai triển nhị thức Newton (theo thứ tự số mũ
n

2
5
giảm dần của x ) của biểu thức

x
, với x > 0, biết rằng trong khai triển này, tổng
x3
các hệ số của số hạng thứ 2 và số hạng thứ 3 bằng hệ số của số hạng cuối cùng.

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. Đề bài
Câu 1. Cho a 6= 0, b 6= 0 và m, n ∈ Z. Ta có:
A. am−n .

B. am+n .

am
bằng:
an
C. m.n.

D.

m
.
n

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT