Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Sổ tay Toán học lớp 12

f525621d46acaa77f42023a13f0ba58b
Gửi bởi: Nguyễn Trần Thành Đạt vào ngày 2021-01-20 11:05:50 || Kiểu file: PDF Lượt xem: 86 | Lượt Download: 5 | File size: 3.104044 Mb

Nội dung tài liệu Xem trước tài liệu

Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THCS – THPT HOA SEN

SỔ TAY TOÁN HỌC-12

Họ và tên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lớp:
.................................

LƯU HÀNH NỘI BỘ

1|

Sổ tay toán học-12

SỔ TAY TOÁN HỌC-LỚP 12
Đạo hàm
1 (xn )0 = n.xn−1

2 (un )0 = n.u0 .un−1

√ 0
1
3 ( x) = √
2 x
Å ã0
1
1
5
=− 2
x
x

√ 0
u0
4 ( u) = √
2 u
Å ã0
1
u0
6
=− 2
u
u

7 (sin x)0 = cos x

8 (sin u)0 = u0 . cos x

9 (cos x)0 = − sin x

10 (cos u)0 = −u0 . sin x

u0
cos2 u
u0
14 (cot u)0 = − 2
sin u

11 (tan x)0 =

1
cos2 x
1
13 (cot x)0 = − 2
sin x

12 (tan u)0 =

15 (ex )0 = ex

16 (eu )0 = u0 .eu

17 (ax )0 = ax ln a

18 (au )0 = u0 .au ln a

19 (ln x)0 =

1
x

21 (loga x)0 =

20 (ln u)0 =

1
x ln a

u0
u

22 (loga u)0 =

u0
u ln a

Quy tắc tính đạo hàm
1 (u ± v)0 = u0 ± v 0
3 (u.v)0 = u0 .v + u.v 0

2 (k.u)0 = k.u0
 u 0 u0 .v − u.v 0
4
=
v
v2

Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số
Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K
• Nếu f 0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f 0 (x) chỉ tại hữu hạn điểm x ∈ K thì
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

1

2|

Sổ tay toán học-12

hàm số y = f (x) đồng biến trên K
• Nếu f 0 (x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f 0 (x) chỉ tại hữu hạn điểm x ∈ K thì
hàm số y = f (x) nghịch biến trên K
Qui tắc xét tính đơn điệu hàm số y = f (x)
Bước 1: Tìm tập xác định D
Bước 2: Tính đạo hàm f 0 (x) và tìm nghiệm f 0 (x) = 0, (x1 .x2 ... ∈ D )
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Bước 4: Từ bảng biến thiên và kết luận tính đơn điệu hàm số y = f (x)
Cực trị hàm số
Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì f 0 (x0 ) = 0
Qúy tắc 1
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f 0 (x)
• Bước 2: Tìm các điểm xi (i = 1; 2; ...) mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
• Bước 2: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f 0 (x). Nếu f 0 (x)
đổi dấu khi đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi .
Qúy tắc 2
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f 0 (x)
• Bước 2: Tìm nghiệm xi (i = 1; 2; ...) của phương trình f 0 (x) = 0
• Bước 3: Tính f 00 (x) và tình f 00 (xi )
+ Nếu f 00 (xi ) < 0 thì hàm số f (x) đạt cực đại tại xi .
+ Nếu f 00 (xi ) > 0 thì hàm số f (x) đạt cực tiểu tại xi .

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

2

3|

Sổ tay toán học-12

Hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d
y0; ∆

a>0

a<0
y

y
O

x

0

y = 0; ∆y0 > 0
(có 2 nghiệm)

O
x
y

y
y 0 = 0, ∆y0 = 0
(có nghiệm kép)

x

O
x

O
y

y 0 = 0; ∆y0 < 0
(vô nghiệm)

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

y
O x

O x

3

4|

Sổ tay toán học-12

Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c
y 0 ; a; b

a>0
y

a<0
y

y 0 = 0; a.b < 0

O

(có 3 cực trị)

x

x

O

y

y
y 0 = 0; a.b ≥ 0

O

(có 1 cực trị)

Hàm số hữu tỉ y =
y0 =

O

x

ad − bc
>0
(cx + d)2
d
y
TCĐ: x = −

ax + b
cx + d
y0 =

ad − bc
<0
(cx + d)2
y
d

TCĐ: x = −

c

TCN: y =

x

c

a
c

O
x

O

TCN: y =

a
c

x

Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm bậc 3
1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, đồng biến trên R.


a > 0
a > 0
y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔

 0
 2
∆y ≤ 0
b − 3a.c ≤ 0
2 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, nghịch biến trên R.

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

4

5|

Sổ tay toán học-12

y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔


a < 0



 0
∆y ≤ 0


a < 0
 2
b − 3a.c ≤ 0

Điều kiện cực trị hàm bậc 3-trùng phương
1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, đạt cực đại tại x0

y 0 (x0 ) = 0

 00
y (x0 ) < 0
2 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, đạt cực tiểu tại x0

y 0 (x0 ) = 0

 00
y (x0 ) > 0
3 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 3 cực trị ⇔ a.b < 0
4 Hàm số y = ax4 + bx2 + c

có 1 cực đại, 2 cực tiểu ⇔


a > 0


4

b<0

2

5 Hàm số y = ax + bx + c

có 2 cực đại, 1 cực tiểu ⇔


a < 0


4

b>0

2

6 Hàm số y = ax + bx + c có 1 cực trị.


a 6= 0
a = 0
hoặc


b 6= 0
a.b ≥ 0
7 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực tiểu.


a = 0
a > 0
hoặc


b>0
a.b ≥ 0
8 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực đại.

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

5

6|

Sổ tay toán học-12


a = 0

b<0

hoặc


a < 0

a.b ≤ 0

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Tính y 0 , cho y 0 = 0, nhận nghiệm x1 , x2 , · · · ∈ [a; b]
Tính y(a), y(b), y(x1 ), y(x2 ), · · ·
So sánh y(a), y(b), y(x1 ), y(x2 ), · · ·
Suy ra max y; min y
[a;b]

[a;b]

Đường tiệm cận
å

Ç

lim y = ±∞
lim y = ±∞ ⇒ TCĐ: x = x0
x→x−
0


lim y = y0
lim y = y0 ⇒ TCN: y = y0

x→x+
0

x→+∞

x→−∞

Lũy thừa (a > 0)
2 (a.b)n = an .bn
 a  n an
= n
5
b
b
1
8 a−n = n
a

1 am .an = am+n
am
4 n = am−n
a
7 (am )n = am.n


k
ak = a 2

k
n
6 ak = a n
p

k
m n
9
ak = a m.n
3

Lôrarit (0 < a 6= 1, 0 < b 6= 1)
1 loga 1 = 0
3 loga a = 1
5 loga aα = α
1
7 logx a =
loga x

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

2 loga (x.y) = loga x + loga y.
Å ã
x
4 loga
= loga x − loga y.
y
6 loga xα = α loga x.
1
8 logam x =
loga x.
m

6

7|

Sổ tay toán học-12

9 loga x = loga b. logb x

10 loga x =

logb x
.
logb a

Hàm số lũy thừa y = xα , α ∈ R
y
α>1

Tập xác định:

α=1

• D = R khi α nguyên dương
• D = R \ {0} khi α nguyên âm

0<α<1

• D = (0; +∞) khi α không

1

nguyên

O

α=0
α<0

x

1
Hàm số mũ y = ax
a>1

0
•D = R

•D = R
y

y
a>1

1

1

O
TCN: y = 0

O
x

TCN: y = 0

0
x

Hàm số logarit y = loga x
a>0
• D = (0; +∞)

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

0 • D = (0; +∞)

7

8|

Sổ tay toán học-12

y

y

a>1

x

1

O
TCĐ: x = 0

TCĐ: x = 0

O
1

x

0
Phương trình, bất phương trình mũ
x

a = b ⇔ x = loga b
a>1
af (x) > ag(x) ⇔ f (x) > g(x)

af (x) = ag(x)
⇔ f (x) = g(x)
0 af (x) > ag(x) ⇔ f (x) < g(x)

Phương trình và bất phương trình logarit
Khi giải phương trình, bất phương trình logarit: Đặt điều kiện

loga x = b ⇔ x = ab
a>1
loga f (x) > loga g(x) ⇔
⇔ f (x) > g(x)

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

loga f (x) = logb g(x)
⇔ f (x) = g(x)
0 loga f (x) > loga g(x) ⇔
⇔ f (x) < g(x)

8

9|

Sổ tay toán học-12

Lãi suất ngân hàng
1 Lãi đơn: Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không

tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước
không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì
hạn người gửi không đến rút tiền ra.
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r%/kì hạn thì số tiền
khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗ ) là
Sn = A + n.A.r = A(1 + nr)
2 Lãi kép: Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút

ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền
khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗ ) là

Å ã
Sn
Sn
Sn
n
Sn = A(1 + r) ; n = log1+r
−1 ; A=
; r% = n
A
A
(1 + r)n
Bảng nguyên hàm
Z

Z

dx = x + C

1

x
xn dx =
+C
n+1
Z
dx
1
5
=− +C
2
x
Z x
dx
7
= ln |x| + C
Z x
9
ex dx = ex + C
3

ax
+C
ln a
Z
13 cos xdx = sin x + C
Z

11

ax dx =

kdx = kx + C

2

n+1

Z

Z

4
Z

6
Z

8
Z

10
Z

12
Z

14

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

1 (ax + b)n+1
(ax + b)n dx =
+C
a
n+1
dx
1
1
=− .
+C
2
(ax + b)
a ax + b
dx
1
= ln |ax + b| + C
ax + b
a
1
ax+b
e
dx = eax+b + C
a
1 aαx+β
αx+β
a
dx =
+C
α ln a
1
cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C
a

9

10 |

Sổ tay toán học-12

1
sin xdx = − cos x + C 16 sin(ax+b)dx = − cos(ax+b)+C
a
Z
Z
dx
dx
1
17
= tan x + C
18
= tan(ax + b) + C
2
2
a
Z cos x
Z cos (ax + b)
dx
dx
1
19
= − cot x + C 20
= − cot(ax + b) + C
2
2
a
Z sin (ax + b)
Z sin x
1
21 tan xdx = − ln |cos x| + C 22 tan(ax + b)dx = − ln |cos x| + C
a
Z
Z
1
23 cot xdx = ln |sin x| + C 24 cot(ax + b)dx = ln |sin x| + C
a
Z
Z
1
1
x
1
1
x−a
25
dx =
ln
+C 26
dx = arctan + C
2
2
x2 − a2
2a
x+a
x +a
a
a
Z

Z

15

Tích phân
Zb

b

= F (b) − F (a)

f (x)dx = F (x)
a

a

Za

Zb

dx = 0

1

2

a

a

Zb
a

Zb

4

b

[f (x) ± g(x)] dx =

Zb

f (x)dx ±

a

Zb

Zc

f (x)dx =
a

b

f (x)dx

a

5

f (x)dx

Za

k.f (x)dx = k

3

f (x)dx = −

Za

Zb

g(x)dx
a

Zb

f (x)dx +

f (x)dx

a

c

Tích phân từng phần
Zb

b
0



u.v dx = u.v
a

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

a

Zb

u0 .vdx

a

10

11 |

Sổ tay toán học-12

Zb

hay

Zb

b



udv = u.v

v.du

a

a

a

Diện tích phẳng phẳng
1 Diện tích hình phẳng

2 Diện tích hình phẳng

giới hạn bởi

y = f (x)

giới hạn bởi

y = f (x)


y = 0; x = a; x = b
y


y = g(x); x = a; x = b
y = f (x)
y
y = f (x)
y = g(x)

O
a
Zb

S=

x

b

a

O

Zb

|f (x)| dx

S=

a

y

c

4 Diện tích hình phẳng
y
y = f (x)

b
x

c

|h(x)| dx +

a

Zd

Zc
S=

b x

f (x)dx−
a

Zd
f (x)dx+

c

f (x)dx
b

Zb
h(x)dx −

a

|h(x)| dx

c

Zc
S=

Zb

d

a

O
S=

|f (x) − g(x)| dx

y = h(x)

a

Zc

x

a

3 Diện tích hình phẳng

O

b

h(x)dx
c

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

11

12 |

Sổ tay toán học-12

Thể tích vật thể tròn xoay
1 Thể tích của vật thể giới

2 Thể tích của vật thể giới

bạn bởi

(P ), (Q)⊥Ox

bạn bởi

y = f (x), Ox


x = a; x = b


x = a; x = b

Zb

V =

Zb

V = π.

S(x)dx
a

f 2 (x)dx

a

Số phức
1 Định nghĩa và tính chất

• z = a + bi, (i2 = −1) là số phức
– Phần thực: a
– Phần ảo: b
• Cho z = a + bi và z 0 = a0 + b0 i thì
– z + z 0 = (a + a0 ) + (b + b0 )i
– z − z 0 = (a − a0 ) + (b − b0 )i
– z.z 0 = (aa0 − bb0 ) + (ab0 + a0 b)i
z
aa0 + bb0 a0 b − a − b0
– 0 = 02
+
z
a + b02
a02 + b02
2 Số phức liên hợp
• Cho z = a + bi thì z = a − bi là số phức liên hợp của z.
• Tính chất
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

12

13 |

Sổ tay toán học-12

2
2
– z.z
Å =
ã a + b ; z1 + z2 = z1 + z2 ; z1 .z2 = z1 .z2
z1
z1
= ; z + z = 2a; z − z = 2bi

z2
z2
3 Môdun số phức

• Cho z = a + bi thì |z| = a2 + b2

• |z| = |z|; |z1 .z2 | = |z1 |.|z2 |
z1
|z1 |

=
; |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |; |z1 − z2 | ≥ |z1 | − |z2 |
z2
|z2 |
4 Biểu diễn hình học số phức
y

z = a + bi ⇒ M (a; b)
b

M

2

2

+

b

p a
=
O

|
|z

=

M

a

O

x

5 Phương trình bậc hai

ax2 + bx + c = 0, (a 6= 0), ∆ = b2 − 4ac.


−b ± ∆
• ∆ > 0 phương trình có 2 nghiệm thực: x1,2 =
2a p
−b ± |∆|i
• ∆ < 0 phương trình có 2 nghiệm phức: x1,2 =
2a
Khối đa diện đều
Số
Tên

Số

Số

Mặt

Loại

Hình
đỉnh cạnh mặt đ.x

1 Khối

tứ

{3; 3}

4

6

4

6

diện đều

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

13

14 |

Sổ tay toán học-12

2 Khối

lập

{4; 3}

8

12

6

9

{3; 4}

6

12

8

9

{5; 3}

20

30

12

15

{3; 5}

12

30

20

15

phương

3 Khối

bát

diện đều

4 Khối

12

mặt đều

5 Khối

20

mặt đều

Thể tích khối đa diện
1 Thể tích khối lập phương cạnh a:

V = a3
2 Diện tích xung quanh: Sxq = 4a2
3 Diện tích toàn phần: Stp = 6a2

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

14

15 |

Sổ tay toán học-12

4 Thể tích khối hộp chữ nhật

V = a.b.c
5 Diện tích xung quanh:

Sxq = 2(a.c + c.b)
6 Diện tích toàn phần:

Stp = 2(a.c + c.a + a.b)
7 Thể tích khối lăng trụ

V = Sđáy .h
Sđáy : Diện tích đáy
h: chiều cao lăng trụ
8 Thể tích khối chóp
1
V = Sđáy .h
3
Sđáy : Diện tích đáy

h: chiều cao lăng trụ
9 Tỉ số thể tích khối chóp

Hình chóp S.ABC, gọi A0 , B 0 , C 0 lần lượt
là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC
VS.A0 B 0 C 0
SA0 SB 0 SC 0
=
VS.ABC
SA SB SC

SA
SB
SC
SD
,b =
,c =
,d =
SA0
SB 0
SC 0
SD0
VS.A0 B 0 C 0 D0
a+b+c+d
=
VS.ABCD
4abcd

10 a =

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

15

16 |

Sổ tay toán học-12

AM
BN
CP
,b =
,c =
0
0
AA
BB
CC 0
a+b+c
VABC.M N P
=
0
0
0
VABC.A B C
3

11 a =

BN
CP
DQ
AM
,b =
,c =
,d =
AA0
BB 0
CC 0
DD0
và a + c = b + d
a+b+c+d
VABCD.M N P Q
=
VABCD.A0 B 0 C 0 D0
4

12 a =

Khối tròn xoay

1 Diện tích mặt cầu: S = 4πR2
4
2 Thể tích khối cầu: V = πR3
3

3 Thể tích chỏm cầu:
Å
ã

h
πh
V = πh2 R −
=
3r2 + h2
3
6
4 Diện tích xung quanh chỏm cầu

Sxq = 2πRh = π r2 + h2

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

16

17 |

Sổ tay toán học-12

5 Diện tích xung quanh: Sxq = 2πRl
6 Diện tích toàn phần: Stp = 2πR(l + R)
7 Thể tích khối trụ: V = πR2 h

8 Diện tích xung quanh: Sxq = πRl
9 Diện tích toàn phần: Stp = πR(l + R)
1
10 Thể tích khối nón: V = πR2 .h
3


l = h2 + R2 ; h = l2 − R2


π.h 2
R + r2 + R.r
3
= π (R + r) l

11 V =
12 Sxq

13 Stp = π R2 + r2 + R.l + r.l



Thiết diện của mặt phẳng cắt hình tròn xoay

Hình trụ có thiết diện qua trục OO0 là hình
chữ nhật ABB 0 A0
• Chiều rộng: AB = 2R
• Chiều dài: AA0 = h = l
• Diện tích: SABB 0 A0 = AB.AA0 = 2.R.l

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

17

18 |

Sổ tay toán học-12

Hình nón có thiết diện qua trục SO là tam
cân SAB tại S
• Cạnh bên: SA = SB = l
• Cạnh đáy: AB = 2R
• Diện tích: S4SAB = R.h

Hình học phẳng
• 4ABC vuông tại A: BC 2 = AB 2 + AC 2
1
1
1

=
+
2
2
AH
AB
AC 2
1
• Diện tích: S4ABC = AB.AC
2
• 4ABC vuông cân tại tại A
BC 2
+ S4ABC =
√4
+ BC = AB 2
1
1
1
• S4ABC = ha .a = hb .b = hc .c
2
2
2
• S4ABC =

• S4ABC =





1
1
1
bc sin A = ca sin B = ab sin C
2p
2
2

p(p − a)(p − b)(p − c)
a+b+c
S4ABC = pr, p =
2
abc
S4ABC =
4R
a2 = b2 + c2 − 2b.c cos A
a
b
c
=
=
= 2R
sin A
sin B
sin C

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

18

19 |

Sổ tay toán học-12

• Hình vuông ABCD cạnh a

+ AC = BD = a 2
+ SABCD = a2
• Tam giác ABC đều cạnh√a
a 3
+ Đường cao: AM =
2√
a 3
+ GA = GB = GC =
3√
a2 3
+ Diện tích: S4ABC =
4

Công thức tính nhanh thể tích

1 Hình

chóp

S.ABC



SA

=

c, AB = a, AC = b đôi một vuông
abc
góc: VS.ABC =
6

2 Hình chóp S.ABC có đáy 4ABC là

tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b:

a2 3b2 − a2
VS.ABC =
12

a3 2
Khi a = b thì VS.ABC =
12

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

19

20 |

Sổ tay toán học-12

3 Hình chóp tam giác đều có cạnh

đáy a, cạnh bên tạo với đáy 1 góc α:
a3 tan α
VS.ABC =
12

4 Hình chóp tam giác đều có cạnh

bên b, cạnh bên tạo với đáy 1 góc α:
√ 3
3b sin α cos2 α
VS.ABC =
4

5 Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy

bằng a, mặt bên tạo với đáy 1 góc α:
a3 tan α
VS.ABC =
24
6 Hình chóp đều S.ABCD có ABCD

là hình vuông cạnh a, cạnh bên b:

a2 4b2 − 2a2
VS.ABCD =
6

a3 2
Khi a = b thì VS.ABCD =
6

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

20

21 |

Sổ tay toán học-12

7 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy

bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

a3 2 tan α
α: VS.ABCD =
6
8 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên

bằng b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
4b3 . tan α
α: VS.ABCD = »
3
3 (2 + tan2 α)
9 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy

bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

a2 tan2 α − 1
α: VS.ABCD =
6
10 Hình nón nội tiếp hình chóp đều

S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng

a
a2
b: r = , h = SO = b2 −
2
… 2
a2
πa2 b2 −
2
Thể tích nón: Vnón =
12

πa3 2
Khi a = b: Vnón =
24

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

21

22 |

Sổ tay toán học-12

11 Hình nón ngoại tiếp hình chóp đều

S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng


a2
a 2
b: r =
, h = SO = b2 −
2
2

a2
πa2 b2 −
2
Thể tích nón: Vnón =
6

πa3 2
Khi a = b: Vnón =
12

12 Hình nón nội tiếp hình chóp tam giác

đều S.ABC có cạnh bằng a, cạnh bên bằng


a 3
a2
b: r =
, h = SO = b2 −
6

√3
a 6
πa3 6
Khi a = b: h =
,V =
3
108

13 Hình nón ngoại tiếp hình chóp tam giác

đều S.ABC có cạnh bằng a, cạnh bên bằng


a 3
a2
b: r =
, h = SO = b2 −
3
3


a 6
πa3 6
Khi a = b: h =
,V =
2
27

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

22

23 |

Sổ tay toán học-12

14 Hình nón nội tiếp hình lập phương cạnh

a. r =

πa3
a
, h = a, V =
2
12

15 Hình cầu nộp tiếp hình lập phương cạnh

a r=

πa3
a
,V =
2
6

16 Hình cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

a2 + b2 + c2
có cạnh a, b, c: R =
2


a 3
πa3 3
Khi a = b = c: r =
,V =
2
2

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

23

24 |

Sổ tay toán học-12

17 Hình cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh


a 6
, V = πa3 6
a: r =
4

18 Hình cầu nội tiếp tứ diện đều cạnh a:


a 6
πa3 6
r=
,V =
12
216

Hệ tọa độ trong không gian
1 Tọa độ vec-tơ

• Vec-tơ đơn vị:



i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1)



• Vec-tơ #»
a = a1 . i + a2 . j + a2 + a3 . k ⇒ #»
a = (a1 ; a2 ; a3 )

• Tính chất: Cho hai vec-tơ #»
a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 )

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

24

25 |

Sổ tay toán học-12


+ Tổng-hiệu: #»
a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )
+ Tích 1 số với 1 vec-tơ: k #»
a = (k.a1 ; k.a2 ; k.a3 )
p
+ Độ dài vec-tơ: | #»
a | = a21 + a22 + a23

+ Hai vec bằng nhau: #»
a = (a1 ; a2 ;a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 )


a1 = b1





a = b ⇔ b1 = b2




a = b
3
3


+ Hai vec-tơ cùng phương: a = k. b
a2
a3
a1
=
=
=k

b1
b2
b3
+ Tích vô hướng của hai vec-tơ


a . b = a .b + a .b + a .b
1

1

2

2

3

3


+ Vec-tơ #»
a vuông góc b



a ⊥ b ⇔ #»
a . b = 0 ⇔ a1 .b1 + a2 .b2 + a3 .b3 = 0

+ Tích có hướng của 2 vec-tơ

î

#»ó

a, b =

Ñ

a2 a3
b2

b3

;

a3 a1
b3

b1

;

a1 a2
b1

é

b2

= (a2 b3 − a3 b2 ; a3 b1 − a1 b3 ; a1 b2 − a2 b1 )
+ Góc giữa hai vec-tơ: 0◦ ≤ α ≤ 180◦
Ä #»ä
a1 .b1 + a2 .b2 + a3 .b3
p
cos α = cos #»
a, b = p 2
a1 + a22 + a23 . b21 + b22 + b23
2 Tọa độ điểm

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

25

26 |

Sổ tay toán học-12

# »



• OM = x. i + y. j + z. j ⇒ M (x; y; z).

• Tính chất:
Cho các điểm A (xA ; yA ; zA ); B (xB ; yB ; zB ); C (xC ; yC ; zC )
+ Độ dài đoạn thẳng AB
»
AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2
+ Tọa độ trung điểm I củađoạn thẳng AB
xA + xB


xI =


2


y A + yB
I : yI =

2



z
+
zB
A

zI =
2
# »
# »
+ Điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k: M A = k.M B
xA − k.xB
yA − k.yB
zA − k.zB
xM =
; yM =
; zM =
1−k
1−k
1−k
+ Tọa độ trong tâm G của4ABC
xA + xB + xC


xG =


3


yA + yB + yC
G : yG =

3



zA + zB + zC


zG =
3

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

26

27 |

Sổ tay toán học-12

Ứng dụng tích có hướng của 2 vec-tơ
î #»ó #»

1 #»
a và b cùng phương: #»
a, b = 0
î #»ó

2 #»
a , b , #»
c đồng phẳng: #»
a , b . #»
c =0

3 Diện tích 4ABC:

S4ABC =

1 î # » # »ó
AB, AC
2

4 Diện tích hình bình hành ABCD:
î # » # »ó
S4ABCD = AB, AC

5 Thể tích hình hộp ABCD.A0 B 0 C 0 D0 :
î # » # »ó # »
V = AB, AC .AA0

6 Thể tích tứ diện
1
V =
6

ABCD:
î # » # »ó # »
AB, AC .AD

Phương trình mặt cầu

1 Mặt cầu (S) :


tâm I(a; b; c)


bán kính R

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
2 Phương trình: x2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với điều kiện:

a2 + b2 + c2 − d > 0 là phương trình mặt cầu (S)

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

27

28 |

Sổ tay toán học-12


tâm I(a; b; c)
p

bán kình R = a2 + b2 + c2 − d
Phương trình mặt phẳng
1 Phương trình tổng quát mặt phẳng (P ):

Ax + By + Cz + D = 0 có vec-tơ pháp tuyến #»
n = (A; B; C)
2 Mặt phẳng

qua M (x0 ; y0 ; z0 )
(P ) :

vtpt #»
n = (A; B; C)

A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
3 Mặt phẳng (P ) có cặp vec-tơ chỉ phương
î #»ó


a và b thì vtpt của (P ) là #»
n = #»
a, b
4 Mặt

phẳng

(ABC)

với

A(a; 0; 0),

B(0; b; 0), C(0; 0; c)
x y z
(ABC) : + + = 1
a b
c

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

28

29 |

Sổ tay toán học-12

5 Các mặt phẳng đặc biệt

(Oyz) : x = 0

(Oxz) : y = 0

(Oxy) : z = 0

(Oyz) ∥ x = a

(Oxz) ∥ y = b

(Oxy) ∥ z = c

6 Khoảng cách từ điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) đến

mặt phẳng
(P ) : Ax + By + Cz + D = 0
|A.x0 + B.y0 + C.z0 + D|

d(M0 , (P )) =
A2 + B 2 + C 2
7 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng
(P1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, n#»1 = (A1 ; B1 ; C1 )
(P ) : A x + B y + C z + D = 0, n#» = (A ; B ; C )
2

2

2

2

2

2

2

2

2

B1
C1
D1
A1
=
=
6=
.
• (P1 ) ∥ (P2 ):
A2
B2
C2
D2
A1
B1
C1
D1
• (P1 ) ≡ (P2 ):
=
=
=
.
A2
B2
C2
D2
• (P1 )⊥(P2 ): A1 .A2 + B1 .B2 + C1 .C2 = 0
• Góc giữa 2 mặt phẳng: 0◦ ≤ ((P1 ), (P2 )) ≤ 90◦
|A1 .A2 + B1 .B2 + C1 .C2 |
p
cos((P1 ), (P2 )) = p 2
A1 + B12 + C12 . A22 + B22 + C22
Phương trình đường thẳng
1 Phương trình tham số

qua M0 (x0 ; y0 ; z0 )
Đường thẳng (∆) :

vtcp: #»
u = (a; b; c)



x = x0 + a.t



Phương trình tham số (∆) : y = y0 + b.t , (t ∈ R)




z = z + c.t
0

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

29

30 |

Sổ tay toán học-12

2 Phương trình chính tắc:
x − x0
y − y0
z − z0
(∆) :
=
=
a
b
c
3 Vị trí tươngđối của 2 đường thẳng

0
0 0




x = x0 + a.t
x = x0 + a .t




(∆) : y = y0 + b.t , (∆0 ) : y = y00 + b0 .t0










z = z0 + c.t
z = z00 + c0 .t0



x0 + at = x00 + a0 t



• (∆) cắt (∆0 ): y0 + bt = y00 + b0 t có đúng 1 nghiệm t, t0




z + ct = z 0 + c0 t
0
0


x0 + at = x00 + a0 t



• (∆) chéo (∆0 ): y0 + bt = y00 + b0 t vô nghiệm




z + ct = z 0 + c0 t
0
0
b
c
a
và 0 6= 0 6= 0
a
b c

x0 + at = x00 + a0 t



0
• (∆) ∥ (∆ ): y0 + bt = y00 + b0 t vô nghiệm




z + ct = z 0 + c0 t
0
0
a
b
c
và 0 = 0 = 0
a
b c


x0 + at = x00 + a0 t



• (∆) ≡ (∆0 ): y0 + bt = y00 + b0 t vô số nghiệm




z + ct = z 0 + c0 t
0
0
4 Góc giữa 2 đường thẳng: (0◦ ≤ (∆, ∆0 ) ≤ 90◦ )
|a.a0 + b.b0 + c.c0 |

cos(∆; ∆0 ) = √
a2 + b2 + c2 . a02 + b02 + c02
5 Vị trị tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

30

31 |

Sổ tay toán học-12




x = x0 + a.t



(∆) : y = y0 + b.t và (P ) : Ax + By + Cz + D = 0




z = z + c.t
0
Thế (∆) vào (P )
A(x0 + a.t) + B(y0 + b.t) + C(z0 + c.t) + D = 0

(1)

+ Nếu (1) có đúng nghiệm t = t0 suy ra (∆) cắt (P ) tại điểm
M0 (x0 + at0 ; y0 + bt0 ; z0 + zt0 )
+ Nếu (1) vô nghiệm thì (∆) ∥ (P )
+ Nếu (1) vô số nghiệm thì (∆) thuộc (P )
6 Góc của đường thẳng và mặt phẳng: (0◦ ≤ (∆, (P )) ≤ 180◦ )
|A.a + B.b + C.c|

sin(∆, (P )) = √
2
A + B 2 + C 2 . a2 + b2 + c2
7 Đường thẳng song song (vuông góc) với mặt phẳng
(∆) có vtcp: #»
u = (a; b; c); (P ) có vtpt: #»
n = (A; B; C)

• (∆) ∥ (P ) khi A.a + B.b + C.c = 0
A
B
C
• (∆)⊥(P ) khi
=
= .
a
b
c

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em

31