Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Số phức trong các đề thi thử THPT Quốc gia

Gửi bởi: Tester vào ngày 2020-01-29 09:21:14 || Kiểu file: PDF

Nội dung tài liệu Tải xuống

Các tài liệu liên quan

Loading...

Thông tin tài liệu

SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THQG

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/

Chương 3-Giải tích 12

NỘI DUNG CÂU HỎI
Câu 1. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 3z + 5 = 0. Giá trị của |z1 | + |z2 |
bằng

A. 2 5.

B. 3.

C.



5.

D. 10.

Lời giải.



11
11
3
3
Phương trình z − 3z + 5 = 0 có hai nghiệm là z1 = −
i; z2 = +
i.
2
2
2
2
sÅ ã
Ç √ å2

3 2
11
+
Do đó |z1 | + |z2 | = 2 ·
= 2 5.
2
2
Chọn đáp án A
2

Câu 2. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức nào?
A. z = 1 + 2i.
B. z = 1 − 2i.
C. z = −2 + i.
D. z = 2 + i.


y
M

1

−2

x

O

Lời giải.
Ta có M (−2; 1) là điểm biểu diễn của số phức có phần thực bằng −2 và phần ảo bằng 1.
Suy ra điểm biểu diễn của M là số phức z = −2 + i.


Chọn đáp án C
Câu 3.
Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z = −1+2i
A. N .

B. P .

C. M .

y

D. Q.

Q
P

2

1

−2

−1

N

2

x

−1

M

Lời giải.
Số phức z = −1 + 2i có phần thực −1, phần ảo 2 nên có điểm biểu diễn tọa độ (−1; 2) chính là Q.


Chọn đáp án D
Câu 4. Tìm các số thực a và b thỏa mãn 2a + (b + i)i = 1 + 2i với i là đơn vị ảo.
1
A. a = 0, b = 2.
B. a = , b = 1.
C. a = 0, b = 1.
D. a = 1, b = 2.
2
Lời giải.
(
a=1
Ta có 2a + (b + i)i = 1 + 2i ⇔ (2a − 1) + bi = 1 + 2i ⇔
b = 2.



Chọn đáp án D

Câu 5. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 3z + 5 = 0. Giá trị của |z1 | + |z2 |
bằng


A. 2 5.
B. 5.
C. 3.
D. 10.
Lời giải.



3 + 11i
z =


2√
z 2 − 3z + 5 = 0 ⇔ 
⇒ |z1 | = |z2 | = 5 ⇒ |z1 | + |z2 | = 2 5.

3 − 11i
z=
2
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

2

https://emncischool.wixsite.com/geogebra

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/

Chương 3-Giải tích 12



Chọn đáp án A

Câu 6. Xét các số phức z thỏa mãn (z + 2i)(z + 2) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các
điểm biểu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là
A. (1; −1).

B. (1; 1).

C. (−1; 1).

D. (−1; −1).

Lời giải.
Giả sử z = a + bi, (a, b ∈ R), ta được
(z + 2i)(z + 2) = [a + (b + 2)i][(a + 2) − bi]
= [a(a + 2) + b(b + 2)] + [(a + 2)(b + 2) − ab]i.
(z + 2i)(z + 2) là số thuần ảo khi và chỉ khi
a(a + 2) + b(b + 2) = 0 ⇔ (a + 1)2 + (b + 1)2 = 2
nên tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn phương trình
(x + 1)2 + (y + 1)2 = 2
có tâm I(−1; −1).


Chọn đáp án D
Câu 7. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|2 = 2|z + z| + 4 và |z − 1 − i| = |z − 3 + 3i| ?
A. 4.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Lời giải.
Gọi z = x + yi (x; y ∈ R).
Ta có
|z|2 = 2|z + z| + 4
⇔ x2 + y 2 = 4|x| + 4
" 2
x + y 2 − 4x − 4 = 0, x ≥ 0 (1)

x2 + y 2 + 4x − 4 = 0, x < 0. (2)
Mặt khác
|z − 1 − i| = |z − 3 + 3i|
⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 = (x − 3)2 + (y + 3)2
⇔ 4x = 8y + 16
⇔ x = 2y + 4 (3)
+ Thay (3) vào (1) ta được
(2y + 4)2 + y 2 − 4(2y + 4) − 4 = 0
⇔ 5y 2 + 8y − 4 = 0

2
24
y= ⇒x=
(nhận)
5
5
⇔ 
y = −2 ⇒ x = 0 (nhận).
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

3

https://emncischool.wixsite.com/geogebra

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/

Chương 3-Giải tích 12

+ Thay (3) vào (2) ta được
(2y + 4)2 + y 2 + 4(2y + 4) − 4 = 0
⇔5y 2 + 24y + 28 = 0

y = −2 ⇒ x = 0 (loại)
⇔
.
8
14
y = − ⇒ x = − (nhận)
5
5
Vậy có 3 số phức thỏa điều kiện.


Chọn đáp án B
Câu 8. Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn là M (1; −2)?
A. −1 − 2i.
Lời giải.

C. 1 − 2i.

B. 1 + 2i.

D. −2 + i.

M (1; −2) là điểm biểu diễn cho số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng −2, tức là 1 − 2i.


Chọn đáp án C
Câu 9. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn iz + (1 − i)z = −2i bằng
B. −2.

A. 6.
Lời giải.

D. −6.

C. 2.

Số phức z có dạng z = x + yi, (x, y ∈ R).
Ta có
iz + (1 − i)z = −2i ⇔ i(x + yi) + (1 − i)(x − yi) = −2i
⇔ x − 2y − yi = −2i
(
(
x=4
x − 2y = 0


− y = −2
y = 2.
Vậy tổng phần thực và phần ảo của z là x + y = 4 + 2 = 6.


Chọn đáp án A
Câu 10. Cho a, b ∈ R và thỏa mãn (a + bi)i − 2a = 1 + 3i, với i là đơn vị ảo. Giá trị a − b bằng
A. 4.
Lời giải.

B. −10.

C. −4.

D. 10.

(
Ta có (a + bi)i − 2a = 1 + 3i ⇔ −2a − b + ai = 1 + 3i ⇔

− 2a − b = 1

a=3



(
a=3
b = −7.

Vậy a − b = 3 + 7 = 10.


Chọn đáp án D
Câu 11. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2 |z − i| = |z − z + 2i| là
A. một điểm.
B. một đường tròn.
C. một đường thẳng. D. một Parabol.
Lời giải.
Gọi z = x + yi; x, y ∈ R.
Ta có
2 |z − i| = |z − z + 2i|
⇔ 4 |z − i|2 = |z − z + 2i|2
⇔ 4 |x + yi − i|2 = |x + yi − (x − yi) + 2i|2
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

4

https://emncischool.wixsite.com/geogebra

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/

Chương 3-Giải tích 12



⇔ 4 x2 + (y − 1)2 = 4(y + 1)2
⇔ 4x2 − 16y = 0
⇔ x2 = 4y
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một Parabol.


Chọn đáp án D
Câu 12. Gọi S là tập hợp các số phức thỏa mãn |z − 1| =



34 và |z + 1 + mi| = |z + m + 2i|, trong

đó m ∈ R. Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc S sao cho |z1 − z2 | lớn nhất, khi đó giá trị của |z1 + z2 |
bằng
A. 2.

B. 10.

C.



2.

D.


130.

Lời giải.
Đặt z = x + yi, (x, y ∈ R).

Khi đó |z − 1| = 34 ⇔ (x − 1)2 + y 2 = 34.
Mặt khác |z + 1 + mi| = |z + m + 2i| ⇔ 2(m − 1)x + 2(2 − m)y + 3 = 0.
Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là giao điểm của đường tròn (C) : (x − 1)2 + y 2 = 34
và đường thẳng d : 2(m − 1)x + 2(2 − m)y + 3 = 0.
Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z1 , z2 . Suy ra (C) ∩ d = {A, B}.



|z
Mặt khác |z1 − z2 | = AB ≤ 2R = 2 34 do đó max
1 − z2 | = 2 34 ⇔ AB = 2 34 ⇔ I(1; 0) ∈ d.
"
z1 = 6 + 3i
1
Từ đó m = − nên ta có d : 3x − 5y − 3 = 0 ⇒
2
z2 = −4 − 3i.
Vậy z1 + z2 = 2.


Chọn đáp án A
Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn z = 3 + 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.
A. Phần thực bằng −3, phần ảo bằng 2.
C. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng −2.

B. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2.
D. Phần thực bằng −3, phần ảo bằng −2.

Lời giải.
Vì z = 3 + 2i ⇒ z = 3 − 2i. Do đó số phức z có phần thực bằng 3, phần ảo bằng −2.


Chọn đáp án C

Câu 14. Cho các số phức z thỏa mãn |z| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w = 3 − 2i + (4 − 3i)z là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.

A. r = 5.
B. r = 2 5.
C. r = 10.
D. r = 20.
Lời giải.
Cách 1:
Giả sử w = x + yi ⇒ z =

x + yi − 3 + 2i
4x − 3y − 18 3x + 4y − 1
=
+
i.
4 − 3i
25
25

Theo bài ra ta có
»
(4x − 3y − 18)2 + (3x + 4y − 1)2
|z| = 2 ⇔
=2
25
⇔ (4x − 3y − 18)2 + (3x + 4y − 1)2 = 2500
⇔ x2 + y 2 − 6x + 4y + 13 = 100 ⇔ (x − 3)2 + (y + 2)2 = 100.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w theo yêu cầu là đường tròn có tâm I(3, −2) và bán kính
r = 10.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

5

https://emncischool.wixsite.com/geogebra

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/

Chương 3-Giải tích 12

Cách 2:
Đặt w = x + yi (x, y ∈ R), ta có
w = 3 − 2i + (4 − 3i)z ⇔ w − (3 − 2i) = (4 − 3i)z
⇔ |w − (3 − 2i)| = |(4 − 3i)z|
⇔ |(x − 3) + (y + 2)i| = |4 − 3i||z|
»
»
⇔ (x − 3)2 + (y + 2)2 = 42 + (−3)2 · 2
⇔ (x − 3)2 + (y + 2)2 = 100
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = 3 − 2i + (4 − 3i)z là một đường tròn có tâm I(3, −2),
bán kính r = 10.


Chọn đáp án C
Câu 15. Phần thực và phần ảo của số phức z = 1 + 2i lần lượt là
A. 1 và 2.

B. 1 và i.

C. 1 và 2i.

D. 2 và 1.

Lời giải.
Số phức z có phần thực là 1 và phần ảo là 2.
Chọn đáp án A



Câu 16. Cho√số phức z thỏa mãn z(2 − i) + 13i = 1. Tính môđun
của số phức z.


5 34
34
A. |z| =
.
B. |z| = 34.
C. |z| =
.
D. |z| = 34.
3
3
Lời giải.
p

1 − 13i
= 3 − 5i ⇒ |z| = 32 + (−5)2 = 34.
Ta có z(2 − i) + 13i = 1 ⇔ z =
2−i
Chọn đáp án D



Câu 17. Cho số phức z = 2 − 3i. Số phức liên hợp của số phức z là:
A. z = 3 − 2i.

C. z = −2 − 3i.

B. z = 3 + 2i.

D. z = 2 + 3i.

Lời giải.
Do định nghĩa số phức liên hợp nên số phức liên hợp của z = 2 − 3i là z = 2 + 3i.


Chọn đáp án D

Câu 18. Trong các số phức z thỏa mãn: |z − 1 + i| = |z + 1 − 2i|, số phức z có mô đun nhỏ nhất có
phần ảo là
3
A.
.
10
Lời giải.

B.

3
.
5

3
C. − .
5

D. −

3
.
10

Đặt z = x + iy (với x, y ∈ R và i2 = −1). Khi đó,
|z − 1 + i| = |z + 1 − 2i|
⇔ |(x − 1) + i(y + 1)| = |(x + 1) − i(y + 2)|
⇔ (x − 1)2 + (y + 1)2 = (x + 1)2 + (y + 2)2
⇔ 4x + 2y + 3 = 0
3
⇔ y = −2x − .
2
Ta có
p
|z| = x2 + y 2 =

x2

Å
ã
3 2
+ −2x −
=
2

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

6


Å
ã
3 2
9
9
5 x+
+

.
5
20
20
https://emncischool.wixsite.com/geogebra

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/

Chương 3-Giải tích 12



3
3


x = −
x = −
5
5

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
3


y = − 3 .
y = −2x −
2
10
Chọn đáp án D



Câu 19. Tìm hai số thực x và y thỏa mãn (3x + 2yi) + (3 − i) = 4x − 3i với i là đơn vị ảo.
2
C. x = 3; y = −3.
D. x = −3; y = −1.
A. x = 3; y = −1.
B. x = ; y = −1.
3
Lời giải.
Ta có
(
(
3x + 3 = 4x
x=3
(3x + 2yi) + (3 − i) = 4x − 3i ⇔ (3x + 3) + (2y − 1)i = 4x − 3i ⇔

2y − 1 = −3
y = −1.


Chọn đáp án A
2
Câu 20. Kí√hiệu z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z
√ −z +1 = 0. Tính P = |z√1 |+|z2 |.
14
3
2
2 3
A. P =
.
B. P = .
C. P =
.
D. P =
.
3
3
3
3
Lời giải.


1 − i 11
z1 =
6√ .
2
Ta có 3z − z + 1 = 0 ⇔ 

1 + i 11
z2 =
6 √ å
sÅ ã
Ç


2
2
1
2 3
11
1
Do đó P = |z1 | + |z2 | = 2
=2
=
.
+
6
6
3
3



Chọn đáp án D

Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết |z −(2−3i)| ≤
2.
A. Một đường thẳng.

B. Một hình tròn.

C. Một đường tròn.

D. Một đường elip.

Lời giải.
»
Đặt z = x + yi, |z − (2 − 3i)| = |(x − 2) + (y + 3) i| = (x − 2)2 + (y + 3)2 .
»
Do đó |z − (2 − 3i)| ≤ 2 ⇔ (x − 2)2 + (y + 3)2 ≤ 2 ⇔ (x − 2)2 + (y + 3)2 ≤ 4.
Vậy điểm biểu diễn số phức z nằm trên hình tròn có bán kính r = 2.
Chọn đáp án B



Câu 22. Biết rằng đồ thị hàm số y = x4 − 2ax2 + b có một điểm cực trị là (1; 2). Khi đó khoảng
cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho bằng



A. 2.
B. 26.
C. 5.
D. 2.
Lời giải.
Dựa vào điểm cực trị ta tìm được a = 1; b = 3. Tọa độ điểm cực đại A(0; 3), tọa độ một điểm cực
tiểu là B(1; 2).

Khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu là AB = 2.


Chọn đáp án D
Câu 23. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn
|z + 2 − i| + |z − 4 − i| = 10

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

7

https://emncischool.wixsite.com/geogebra

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/

A. 12π.

Chương 3-Giải tích 12

B. 20π.

C. 15π.

D. Đáp án khác.

Lời giải.
Phương pháp:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức bài cho sau đó tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi
các điểm đó.
Cách giải:
Ta có |z + 2 − i| + |z − 4 − i| = 10 ⇔ |z − (−2 + i)| + |z − (4 + i)| = 10 (∗).
Gọi z = x + yi ⇒ M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z.
Gọi A (−2; 1) là điểm biểu diễn cho số phức −2 + i và B (4; 1) là điểm biểu diễn cho số phức 4 + i.
Từ (∗) ⇒ M A + M B = 10 nên tập hợp điểm M là elip có A, B là hai tiêu điểm và độ dài trục lớn
bằng 10.
Ta có AB =


62 = 6 = 2c ⇒ c = 3 và M A + M B = 2a = 10 ⇒ a = 5.

⇒ b2 = a2 − c2 = 52 − 32 = 42 ⇒ b = 4.
Vậy S(E) = π · ab = π · 5 · 4 = 20π.


Chọn đáp án B
Ä√
ä2019
Câu 24. Cho khai triển
3+x
= a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + a2019 x2019 .
Hãy tính tổng S = a0 − a2 + a4 − a6 + . . . + a2016 − a2018 .
A.

Ä√ ä1009
3
.

C. 22019 .

B. 0.

D. 21009 .

Lời giải.
Phương pháp: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức: (a + b)n =

n
P

Ckn an−k bk .

k=0
2019
Ä√
ä2019 X
Ä√ äk
Ck2019
3+x
=
3 x2019−k
k=0

= C02019

Ä√ ä2019
Ä√ ä2018
√ 2018
2019
3
+ C12019
3
x + . . . + C2018
·
3x
+ C2019
2019
2019 x

= a + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + a2019 x2019 .
 0

1
khi m = 4l




i
khi m = 4l + 1
m
Ta có: i =
(l ∈ Z).


1
khi
m
=
4l
+
2





−i
khi m = 4l + 3
Chọn x = i ta có:
2019
Ä√
ä2019 X
Ä√ äk

3+i
=
Ck2019 3 i2019−k i2 = −1
k=0

= C02019

Ä√ ä2019
Ä√ ä2018

2019
3
+ C12019
3
i + . . . + C2018
3 · i2018 + C2019
2019 ·
2019 i

= a0 + a1 i + a2 i2 + a3 i3 + . . . + a2018 i2018 + a2019 i2019
= a0 + a1 i − a2 − a3 i + . . . − a2018 − a2019 i.
Chọn x = −i ta có:
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

8

https://emncischool.wixsite.com/geogebra

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/

Ä√

Chương 3-Giải tích 12

2019
ä2019 X
Ä√ äk
3−i
=
Ck2019 3 (−i)2019−k
k=0

= C02019

Ä√ ä2019
Ä√ ä2018

2019
3
− C12019
3
i − . . . + C2018
3 · i2018 − C2019
2019 ·
2019 i

= a0 − a1 i + a2 i2 − a3 i3 + . . . + a2018 i2018 − a2019 i2019
= a0 − a1 i − a2 + a3 i + . . . − a2018 + a2019 i.
Ä√
ä2019 Ä√
ä2019

3+1
3−1
+
= 2 (a0 − a2 + a4 − a6 + . . . + a2016 − a2018 ) .
i
h
h Ä√
ä3 673
Ä√
ä3 i673
3+1
+
3−1
= (8i)673 + (−8i)673 = 0
⇔ 2S =
⇔ 2S = 8673 · i673 − 8673 · i673 = 0 ⇔ S = 0.
Chọn đáp án B



Câu 25 (2D4B1-2). Cho số phức z = 2 + 5i. Điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy có
tọa độ là
A. (5; 2).

B. (2; 5).

C. (−2; 5).

D. (2; −5).

Lời giải.
Phương pháp: Số phức z = a + bi, (a; b ∈ R) có điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng Oxy là
(a; b).
Cách giải: Điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là (2; 5).


Chọn đáp án B
Câu 26. Đồ thị hàm số nào đi qua điểm M (1; 2)?
x2 − x + 1
−2x − 1
.
B. y = 2x3 − x + 1.
C. y =
.
A. y =
x+2
x−2
Lời giải.

D. y = −x4 + 2x2 − 2.

Phương pháp: Thay tọa độ của điểm M vào các hàm số.
Cách giải: Ta có 2 = 2 · 13 − 1 + 1 ⇒ M (1; 2) thuộc đồ thị hàm số y = 2x3 − x + 1.


Chọn đáp án B
Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z = 6 − 3i. Phần thực của số phức z là:
A. −3.
B. 3.
C. 0.
D. −3i.
Lời giải.
Phương pháp: Giải phương trình phức cơ bản tìm số phức z.
Cách giải: Ta có
(1 + 2i) z = 6 − 3i
6 − 3i
⇔z =
1 + 2i
(6 − 3i) (1 − 2i)
⇔z =
(1 + 2i) (1 − 2i)
6 − 12i − 3i − 6
⇔z =
= −3i.
1+4
Phần thực của số phức z là 0.



Chọn đáp án C

Câu 28. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − 2z + 2018 = 0. Khi đó giá trị biểu thức
A = |z1 + z2 − z1 z2 | bằng
A. 2017.

B. 2019.

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

C. 2018.
9

D. 2016.

https://emncischool.wixsite.com/geogebra

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/

Chương 3-Giải tích 12

Lời giải.
Phương pháp: Sử dụng định lý Vi-ét.
"
Cách giải: z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − 2z + 2018 = 0 ⇒

z1 + z2 = 2
z1 z2 = 2018.

A = |z1 + z2 − z1 z2 | = |2 − 2018| = 2016.


Chọn đáp án D

Câu 29. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z − 2i| = 2 và z 2 là số thuần ảo?
A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Lời giải.
Phương pháp: Gọi số phức đó là z = a + bi, (a, b ∈ R). Tìm điều kiện của a, b.
Cách giải: Gọi số phức đó là z = a + bi, (a, b ∈ R). Ta có:


|z − 2i| = 2 ⇔ |a + bi − 2i| = 2 ⇔ a2 + (b − 2)2 = 2 (1)
"
z 2 = (a + bi)2 = (a2 − b2 ) + 2abi là số thuần ảo ⇒ a2 − b2 = 0 ⇔

a=b

a = −b.
a = b. Thay vào (1): a + (a − 2) = 2 ⇔ 2a − 4a + 2 = 0 ⇔ a = 1 = b ⇒ z = 1 + i.
2

2

2

a = −b. Thay vào (1): a2 + (−a − 2)2 = 2 ⇔ 2a2 + 4a + 2 = 0 ⇔ a = −1, b = 1 ⇒ z = −1 + i.
Vậy, có 2 số phức z thỏa mãn yêu cầu đề bài.


Chọn đáp án C
Câu 30. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 | = 3, |z2 | = 4, |z1 − z2 | =
a + bi,√
(a, b ∈ R). Khi đó |b| bằng√
3
3 3
A.
.
B.
.
8
8
Lời giải.



41. Xét số phức z =



2
C.
.
4

z1
=
z2


D.

5
.
4

Phương pháp:
Biểu diễn lượng giác của số phức.
|z1 |
z1
=
, z2 6= 0.
|z2 |
z2
Cách giải:
Cách 1: Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức z1 , z2 .
2
2

’ = 3 + 4 − 41 = − 2 .
Theo đề bài, ta có OA = 3, OB = 4, AB = 41. ⇒ cos AOB
2·3·4
3
Đặt
z1 = 3 (cos ϕ + i sin ϕ) .
⇒ z2 = 4 (cos (ϕ ± AOB))
= 4 (cos (ϕ ± α) + i sin (ϕ ± α))

Ä

ä
’ .
α = AOB

z1
3 (cos ϕ + i sin ϕ)
=
z2
4 (cos (ϕ ± α) + i sin (ϕ ± α))
3
=
· (cos ϕ + i sin ϕ) (cos (ϕ ± α) − i sin (ϕ ± α))
4
3
=
[(cos ϕ · cos (ϕ ± α) + sin ϕ · sin (ϕ ± α)) + i (sin ϕ · cos (ϕ ± α)) − cos ϕ · sin (ϕ ± α)]
4
3
3
=
[cos (±α) + i · sin (±α)] = · (cos α ± i sin α) .
4
4
Å ã2 √
3
3
2
5
⇒ b = ± sin α ⇒ |b| =
1−
=
.
4
4
3
4



Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

10

https://emncischool.wixsite.com/geogebra