Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Tứ giác nội tiếp

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 53 (SGK trang 89)

Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống trong các bảng sau (nếu có thể):

1) 2) 3) 4) 5) 6) Trường hợp Góc A B C D > > > > 80 70 105 75 60 40 65 74 95 98 O O O O O O O O O O

Hướng dẫn giải

- Trường hợp 1:

Ta có + = 180o => = 180o - = 180o – 80o = 100o

+ = 180o => = 180o - = 180o – 70o = 110o

Vậy điểm = 100o , = 110o

- Trường hợp 2:

Ta có + = 180o => = 180o - = 180o – 105o = 75o

+ = 180o => = 180o - = 180o – 75o = 105o

- Trường hợp 3:

+ = 180o => = 180o - = 180o – 60o = 120o

+ = 180o Chẳng hạn chọn = 70o , = 110o

- Trường hợp 4: = 180o - = 180o – 40o = 140o

Còn lại + = 180o Chẳng hạn chọn = 100o , = 80o

- Trường hợp 5: = 180o - = 180o – 74o = 106o

= 180o - = 180o – 65o = 115o

- Trường hợp 6: = 180o - = 180o – 95o = 85o

= 180o - =180o – 98o = 82o

Vậy điền vào ô trống ta được bảng sau:


Bài 54 (SGK trang 89)

Tứ giác ABCD có \(\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^o.\) Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối diện bằng 180o nên nội tiếp đường tròn tâm O, ta có

OA = OB = OC = OD

Do đó các đường trung trực của AB, BD, AB cùng đi qua O



Bài 55 (SGK trang 89)

Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết \(\widehat{DAB}=80^o,\widehat{DAM}=30^o;\widehat{BMC}=70^o.\)

Hãy tính số đo các góc \(\widehat{MAB};\widehat{BCM};\widehat{AMB};\widehat{DMC};\widehat{AMD};\widehat{MCD}\) và \(\widehat{BCD}.\)

Hướng dẫn giải

Ta có: = - = 80o – 30o = 50o (1)

- ∆MBC là tam giác cân (MB= MC) nên = = 55o (2)

- ∆MAB là tam giác cân (MA=MB) nên = 50o (theo (1))

Vậy = 180o – 2. 50o = 80o

= sđcung BCD (số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn)

=> sđ cung BCD = 2 = 2. 80o = 160o

Mà sđ cung BC = = 70o (số đo ở tâm bằng số đo cung bị chắn)

Vậy cung DC = 160o – 70o = 90o (vì C nằm trên cung nhỏ cung BD)

Suy ra = 90o (4)

∆MAD là tam giác cân (MA= MD)

Suy ra = 180o – 2.30o = 120o (5)

∆MCD là tam giác vuông cân (MC= MD) và = 90o

Suy ra = = 45o (6)

= 100o theo (2) và (6) và vì CM là tia nằm giữa hai tia CB, CD



Bài 56 (SGK trang 89)

Xem hình 47. Hãy tính số đo các góc của tứ giác ABCD.

O A B C D E F 40 20 O O

Hướng dẫn giải

Ta có = (hai góc đối đỉnh)

Đặt x = = . Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có:

= x + 40o (1)

= x +20o (2)

Lại có + = 180o (3)

(hai góc đối diện tứ giác nội tiếp)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

180o = 2x + 60o => x = 60o

Từ (1), ta có:

= 60o + 40o = 100o

Từ (2), ta có:

= 60o + 20o = 80o

= 180o – x (hai góc kề bù)

=> = 120o

= 180o - (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp)

=> = 180o – 120o = 60o



Bài 57 (SGK trang 89)

Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được trong một đường tròn: Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Hình bình hành nói chung không nội tiếp được đường tròn vì tổng hai góc đối diện không bằng 180o.Trường hợp riêng của hình bình hành là hình chữ nhật (hay hình vuông) thì nội tiếp đường tròn vì tổng hai góc đối diện là 90o + 90o = 180o

Hình thang nói chung, hình thang vuông không nội tiếp được đường tròn.

Hình thang cân ABCD (BC= AD) có hai góc ở mỗi đáy bằng nhau

= , = ; mà + = 180o (hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD với AD // CD),suy ra + = 180o . Vậy hình thang cân luôn có tổng hai góc đối diện bằng 180o nên nội tiếp được đường tròn



Bài 58 (SGK trang 90)

Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = D và \(\widehat{DCB}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB}.\)

a) Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.

b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D.

Hướng dẫn giải

a) Theo giả thiết, = = .60o = 30o

= + (tia CB nằm giữa hai tia CA, CD)

=> = 60o + 30o = 90o (1)

Do DB = CD nên ∆BDC cân => = = 30o

Từ đó = 60o + 30o = 90o (2)

Từ (1) và (2) có + = 180o nên tứ giác ABDC nội tiếp được.

b) Vì = 90o nên AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC, do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC là trung điểm AD.



Bài 59 (SGK trang 90)

Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD tại P khác C. Chứng minh AP = AD.

Hướng dẫn giải

Do tứ giác ABCP nội tiếp nên ta có:

+ = 180o (1)

Ta lại có: + = 180o (2)

(hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến CB và AB // CD)

Từ (1) và (2) suy ra: =

Vậy ABCP là hình thang cân, suy ra AP = BC (3)

nhưng BC = AD (hai cạnh đối đỉnh của hình bình hành) (4)

Từ (3) và (4) suy ra AP = AD.



Bài 60 (SGK trang 90)

Xem hình 48. Chứng minh QR // ST.

P T R S I Q

Hướng dẫn giải

Ta có tứ giác ISTM nội tiếp đường tròn nên:

+ = 180o

+ = 180o (kề bù)

nên suy ra = (1)

Tương tự từ các tứ giác nội tiếp IMPN và INQS ta được

= (2)

= (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra

Do đó QR // ST