Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Ôn tập góc với đường tròn

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 88 (SGK trang 103)

Hãy nêu têm mỗi góc trong các hình dưới đây:

(Ví dụ: Góc trên hình 66b) là góc nội tiếp).

O O O O O a) b) c) d) e)

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn làm bài:

a) Góc ở tâm.

b) Góc nội tiếp.

c) Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

d) Góc có đỉnh bên trong đường tròn.

e) Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn.

Bài 89 (SGK trang 104)

Trong hình 67, cung AmB có số đo là 60o. Hãy:

a) Vẽ góc ở tâm chắn cung AmB. Tính góc AOB.

b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn cung AmB. Tính góc ACB.

c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dây cung BA. Tính góc ABt.

d) Vẽ góc ADB có đỉnh D ở trong đường tròn. So sánh \(\widehat{ADB}\) và \(\widehat{ACB}.\)

e) Vẽ góc AEB có đỉnh E ở bên ngoài đường tròn (E và C cùng phía đối với AB). So sánh \(\widehat{AEB}\) với \(\widehat{ACB}.\)

O A B

Hướng dẫn giải

Trong hình 67, cung AmB có số đo là 66o. Hãy:

a) Vẽ góc ở tâm chắn cung AmB. Tính góc AOB.

b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn cung AmB. Tính góc ACB.

c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dây cung BA. Tính góc ABt.

d) Vẽ góc ADB có đỉnh D ở bên trong đường tròn. So sánh ˆADBADB^ với ˆACBACB^ .

e) Vẽ góc AEB có đỉnh E ở bên ngoài đường tròn (E và C cùng phía đối với AB). So sánh ˆAEBAEB^ với ˆACBACB^

Hướng dẫn trả lời:

a) Từ O nối với hai đầu mút của cung AB

Ta có ˆAOBAOB^ là góc ở tâm chắn cung AB

ˆAOBAOB^ là góc ở tân chắn cung AB nên

ˆAOBAOB^ = sđ cung AB = 60°

b) Lấy một điểm C bất kì trên (O). Nối C với hai đầu mút của cung AmB. Ta được góc nội tiếp ˆACBACB^

Khi đó: ˆACB=12sđcungAmB=12600=30ACB^=12sđcungAmB=12600=30

c) Vẽ bán kính OB. Qua B vẽ Bt ⊥ OB. Ta được góc Abt là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt với dây cung BA.

Ta có: ˆABt=12sđcungAmB=300ABt^=12sđcungAmB=300

d) Lấy điểm D bất kì ở bên trong đường tròn (O). Nối D với A và D với B. ta được góc là góc ở bên trong đường tròn (O)

Ta có:

ˆACB=12sđcungAmBˆADB=12(sđcungAmB+sđcungCK)ACB^=12sđcungAmBADB^=12(sđcungAmB+sđcungCK)

Mà sđcung AmB + sđcung CK > sđcung AmB (do sđcung CK > 0) nên ˆADB>ˆACBADB^>ACB^

e) Lấy điểm E bất kì ở bên ngoài đường tròn, nối E với A và E với B, chúng cắt đường tròn lần lượt tại J và I.

Ta có góc AEB là góc ở bên ngoài đường tròn (O)

Có:

ˆACB=12sđcungAmBˆAEB=12(sđcungAmB−sđcungIJ)ACB^=12sđcungAmBAEB^=12(sđcungAmB−sđcungIJ)

Mà sđcung AmB – sđ cung IJ < sđcung AmB (do sđcung IJ > 0)

Nên ˆAEB<ˆACBAEB^<ACB^

Bài 90 (SGK trang 104)

a) Vẽ hình vuông cạnh 4 cm.

b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kinh R của đường tròn này.

c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính r của đường tròn này.

Hướng dẫn giải

a) Vẽ hình vuông cạnh 4cm.

b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính R của đường tròn này.

c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính r của đường tròn này.

Hướng dẫn trả lời:

a) Dùng êke ta vẽ hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm như sau:

- Vẽ AB = 4cm.

- Vẽ BC ⊥ AB và BC = 4cm

- Vẽ DC ⊥ BC và DC = 4cm

- Nối D với A, ta có AD ⊥ DC và AD = 4cm

b) Tam giác ABC là tam giác vuông cân nên AB = BC.

Áp dụng định lí Py – ta – go trong tam giác vuông ABC, ta có:

AC2=AB2+BC2=2AB2⇔AC2=2.42=32⇒AC=√32=4√2AC2=AB2+BC2=2AB2⇔AC2=2.42=32⇒AC=32=42

Vậy AO=R=AC2=4√22=2√2AO=R=AC2=422=22

Vậy R = 2√2 cm

c) Vẽ OH ⊥ Dc. Vẽ đường tròn tâm O, bán kính OH. Đó là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD

Ta có: OH=AD2=2(cm)OH=AD2=2(cm)

Vậy r = OH = 2cm


\

Bài 91 (SGK trang 104)

Trong hình 68, đường tròn tâm O có bán kính R = 2 cm, \(\widehat{AOB}=75^o.\)

a) Tính số đo cung ApB.

b) Tính độ dài hai cung AqB và ApB.

c) Tính diện tích hình quạt tròn OAqB.

2 cm p q A B 75 O

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có ˆAOBAOB^ là góc nội tiếp chắn cung AqB nên:

ˆAOBAOB^ = sđcung AqB hay sđcung AqB = 75°

Vậy sđ cungApB = 360°- sđcung AqB = 360° - 75° = 285°

b) lcungAqBlcungAqB là độ dài cung AqB, ta có:

lcungAqB=πRn180=π.2.75180=56π(cm)lcungAqB=πRn180=π.2.75180=56π(cm)

Gọi lcungApBlcungApB là độ dài cung ApB ta có:

lcungApB=πRn180=π.2.285180=19π6(cm)lcungApB=πRn180=π.2.285180=19π6(cm)

c) Diện tích hình quạt tròn OaqB là: SOAqB=πR2n360=π2275350=5π6(cm2)

Bài 92 (SGK trang 104)

Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 69, 70, 71 (đơn vị độ dài cm).

r = 1 R = 1,5 R = 1,5 r = 1 80 o 1,5 cm 1,5 cm 1,5 cm 1,5 cm

Hướng dẫn giải

Đối với hình tròn bán kính R = 1,5: S1 = πR2 = π. 1,52 = 2,25π

Đối với hình tròn bán kính r = 1: S2 = πr2 = π. 12 = π

Vậy diện tích miền gạch sọc là:

S = S1 – S­2 = 2,25 π – π = 1,25 π (đvdt)

b) Hình 70

Diện tích hình quạt có bán kính R = 1,5; n° = 80°

S1=πR2n360=π1,52.80360=π2S1=πR2n360=π1,52.80360=π2

Diện tích hình quạt có bán kính r = 1; n° = 80°

S2=πr2n360=π.12.80360=2π9S2=πr2n360=π.12.80360=2π9

Vậy diện tích miền gạch sọc là: S=S1−S2=π2−2π9=9π−4π18=5π18S=S1−S2=π2−2π9=9π−4π18=5π18

c) Hình 71

Diện tích hình vuông cạnh a = 3 là:

S1 = a2 = 32 =9

Diện tích hình tròn có R = 1,5 là:

S2 = πR2 = π.1,5 2 = 2,25π = 7,06

Vậy diện tích miền gạch sọc là:

S = S1 – S2 = 9 – 7,06 = 1,94 (đvdt).


Bài 93 (SGK trang 104)

Có ba bánh xe răng cưa A, B, C cùng chuyển động ăn khớp với nhau. Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng. Biết bán kính bánh xe C là 1 cm. Hỏi:

a) Khi bánh xe C quay 60 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?

b) Khi bánh xe A quay 80 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?

b) Bán kính của các bánh xe A và B là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng nên suy ra chu vi của bánh xe B gấp đôi chu vi bánh xe C, chu vi bánh xe A gấp ba chu vi bánh xe C.

Chu vi bánh xe C là: 2. 3,14 . 1 = 6,28 (cm)

Chu vi bánh xe B là: 6,28 . 2 = 12,56 (cm)

Chu vi bánh xe A là: 6,28 . 3 = 18,84 (cm)

a) Khi bánh xe C quay được 60 vòng thì quãng đường đi được là:

60 . 6,28 = 376,8 (cm)

Khi đó số vòng quay của bánh xe B là:

376,8 : 12,56 = 30 (vòng)

b) Khi bánh xe A quay được 80 vòng thì quãng đường đi được là:

80 . 18,84 = 1507,2 (cm)

Khi đó số vòng quay của bánh xe B là:

1507,2 : 12,56 = 120 (vòng)

c) Bán kính bánh xe B là: 12,56 : (2π) = 12,56 : 6,28 = 2(cm)

Bán kính bánh xe A là: 12,56 : (3π) = 12,56 : 9,42 = 3(cm)

Bài 94 (SGK trang 105)

Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện ngoại trú, bán trụ, nội trú. Hãy trả lời các câu hỏi sau:

a) Có phải \(\dfrac{1}{2}\) số học sinh là học sinh ngoại trú không?

b) Có phải \(\dfrac{1}{3}\) số học sinh là học sinh bán trú không?

c) Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm?

d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là 1800 em.

bán trú ngoại trú nội trú 30 o

Hướng dẫn giải

Giải bài 94 trang 105 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Bài 95 (SGK trang 105)

Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác 90o) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) CD = CE.              b) \(\Delta BHD\) cân.                      c) CD = CH.

Hướng dẫn giải

Giải bài 95 trang 105 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Giải bài 95 trang 105 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Bài 96 (SGK trang 105)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) OM đi qua trung điểm của dây BC.

b) AM là tia phân giác của góc OAH.

Hướng dẫn giải

Giải bài 96 trang 105 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Giải bài 96 trang 105 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Bài 97 (SGK trang 105)

Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:

a) ABCD là một tứ giác nội tiếp;

b) \(\widehat{ABD}=\widehat{ACD};\)

c) CA là tia phân giác của góc SCB.

Hướng dẫn giải

a, ta có ^BAC=900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC)

^MDC=900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC)

=>^BAC=^MDC(=900)

=>tứ giác ABCD nội tiếp (hai đỉnh A và D kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới hai góc bằng nhau)

b. vì tứ giác ABCD nội tiếp (câu a) nên ^ABD=^ACD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

c, ta có bốn điểm D,S,C,M cùng thuộc đường tròn đường kính MC

=>tứ giác DSCM nội tiếp

=>^ADM=^SCM (cùng bù với ^MDS)

Mà ADCB nội tiếp nên ^ADM=^MCB( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Do đó ^SCM=^MCB

=>CA là tia phân giác ^SCB

Bài 98 (SGK trang 105)

Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Giải bài 98 trang 105 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Phần thuận: giả sử M là trung điểm của dây AB. Ta có OM ⊥ AB (định lí)

Khi B di động trên (O), điểm M luôn nhình OA cố định dưới góc vuông , vậy M thuộc đường tròn đường kính OA.

Phần đảo: lấy điểm M' bất kì trên đường tròn đường kính OA.

Nối M' với A, đường thẳng M'A cắt đường tròn (O) tại B'. Nối M' với O ta có

Giải bài 98 trang 105 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Bài 99 (SGK trang 105)

Dựng \(\Delta ABC\), biết BC = 6 cm, \(\widehat{BAC}=80^o,\) đường cao AH có độ dài là 2 cm.

Hướng dẫn giải

Giải bài 99 trang 105 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Trình tự dựng gồm các bước sau:

- Dựng đoạn thẳng BC = 6cm

- Dựng cung chứa góc 80 trên đoạn thẳng BC (cung BmC).

- Trên đường vuông góc với BC tại I(I là trung điểm BC), chọn điểm K sao cho IK = 2cm. Từ K dựng đường thẳng vuông góc với IK. Đường thẳng này cắt cung chứa góc BmC tại A và A'.

ΔABC (hoặc ΔA'BC) là tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài.