Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Hệ thức Vi-et và ứng dụng

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 29 (SGK trang 54)

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

a) 4x2 + 2x - 5 = 0;                  b) 9x2 - 12x + 4 = 0;

c) 5x2 + x + 2 = 0;                   d) 159x2 - 2x - 1 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình 4x2 + 2x – 5 = 0 có nghiệm vì a = 4, c = -5 trái dấu nhau nên

x1 + x2 = \(-\dfrac{1}{2}\), x1x2 = \(-\dfrac{5}{4}\)

b) Phương trình 9x2 – 12x + 4 = 0 có ∆' = 36 - 36 = 0

x1 + x2 = \(\dfrac{12}{9}\) = \(\dfrac{4}{3}\), x1x2 = \(\dfrac{4}{9}\)

c) Phương trình 5x2+ x + 2 = 0 có ∆ = 12 - 4 . 5 . 2 = -39 < 0

Phương trình vô nghiệm, nên không tính được tổng và tích các nghiệm.

d) Phương trình 159x2 – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt vì a và c trái dấu

x1 + x2 = \(\dfrac{2}{159}\), x1x2 = \(-\dfrac{1}{159}\)

Bài 33 (SGK trang 54)

Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x1 và x2 thì tam thức ax2 + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau: ax2 + bx +c = a(x - x1)(x - x2).

Áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 2x2 - 5x + 3;                     b) 3x2 + 8x + 2.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0 có a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0 nên có hai nghiệm là x1 = 1, x2 = \(\dfrac{3}{2}\) nên:

2x2 – 5x + 3 = 2(x – 1)(x2 - \(\dfrac{3}{2}\)) = (x – 1)(2x – 3)

b) Phương trình 3x2 + 8x + 2 có a = 3, b = 8, b’ = 4, c = 2.

Nên ∆’ = 42 – 3 . 2 = 10, có hai nghiệm là:

x1 = \(\dfrac{-4-\sqrt{10}}{3}\), x2 = \(\dfrac{-4+\sqrt{10}}{3}\)

nên: 3x2 + 8x + 2 = 3(x - \(\dfrac{-4-\sqrt{10}}{3}\))(x - \(\dfrac{-4+\sqrt{10}}{3}\))

= 3(x + \(\dfrac{4+\sqrt{10}}{3}\))(x + \(\dfrac{4-\sqrt{10}}{3}\))

Bài 28 (SGK trang 53)

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v =32; uv = 231;                     b) u + v = -8; uv = -105;

c) u + v = 2; uv = 9.

Hướng dẫn giải

a) u và v là nghiệm của phương trình: x2 – 32x + 231 = 0

∆’ = 162 – 231 = 256 – 231 = 25, \(\sqrt{\text{∆}'}\) = 5 . x1 = 21, x2 = 11

Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11, v = 21

b) u, v là nghiệm của phương trình:

x2 + 8x – 105 = 0, ∆’ = 16 + 105 = 121, \(\sqrt{\text{∆}'}\) = 11 . x = -4 + 11 = 7

x2 = -4 – 11 = -15

Vậy u = 7, v = -15 hoặc u = -15, v = 7

c) Vì 22 – 4 . 9 < 0 nên không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện đã cho.

Bài 26 (SGK trang 53)

Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a - b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 35x2 - 37x + 2 = 0;           b) 7x2 + 500x - 507 = 0;

c) x2 - 49x - 50 = 0;              d) 4321x2 + 21x - 4300 = 0.

Hướng dẫn giải

a) 35x2– 37x + 2 = 0 có a = 0, b = -37, c = 2

Do đó: a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0

nên x1 = 1; x2 = \(\dfrac{2}{35}\)

b) 7x2 + 500x - 507 = 0 có a = 7, b = 500, c = -507

Do đó: a + b + c = 7 + 500 - 507

nên x1 = 1; x2 = \(-\dfrac{507}{7}\)

c) x2- 49x - 50 = 0 có a = 1, b = -49, c = -50

Do đó a - b + c = 1 - (-49) - 50 = 0

nên x1 = -1; x2 = \(-\dfrac{-50}{1}\) = 50

d) 4321x2 + 21x - 4300 = 0 có a = 4321, b = 21, c = -4300

Do đó a - b + c = 4321 - 21 + (-4300) = 0

nên x1 = -1; x2 = \(\dfrac{-4300}{4321}\) = \(\dfrac{4300}{4321}\).

Bài 25 (SGK trang 52)

Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1, x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điển vào những chỗ trống (...):

a) 2x2 - 17x + 1 = 0;  \(\Delta=...;x_1+x_2=...,x_1.x_2=...;\)

b) 5x2 - x - 35 = 0,     \(\Delta=...;x_1+x_2=...,x_1.x_2=...;\)

c) 8x2 - x + 1 = 0,       \(\Delta=...;x_1+x_2=...,x_1.x_2=...;\)

d) 25x2 + 10x + 1= 0, \(\Delta=...;x_1+x_2=...,x_1.x_2=...\)

Hướng dẫn giải

a) 2x2 – 17x + 1 = 0 có a = 2, b = -17, c = 1

∆ = (-17)2 – 4 . 2 . 1 = 289 – 8 = 281

x1 + x2 = = ; x1x2 =

b) 5x2 – x + 35 = 0 có a = 5, b = -1, c = -35

∆ = (-1)2 – 4 . 5 . (-35) = 1 + 700 = 701

x1 + x2 = = ; x1x2 = = -7

c) 8x2 – x + 1 = 0 có a = 8, b = -1, c = 1

∆ = (-1)2 – 4 . 8 . 1 = 1 - 32 = -31 < 0

Phương trình vô nghiệm nên không thể điền vào ô trống được.

d) 25x2 + 10x + 1 = 0 có a = 25, b = 10, c = 1

∆ = 102 – 4 . 25 . 1 = 100 - 100 = 0

x1 + x2 = = ; x1x2 =



Bài 30 (SGK trang 54)

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích của nghiệm theo m.

a) x2 - 2x + m = 0;                           b) x2 + 2(m-1)x + m2 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình x2– 2x + m = 0 có nghiệm khi ∆' = 1 - m ≥ 0 hay khi m ≤ 1

Khi đó x1 + x2 = 2, x1 . x2 = m

b) Phương trình x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0 có nghiệm khi

\(\text{∆}'=m^2-2m+1-m^2=1-2m\ge0\)' hay khi m \(\le\dfrac{1}{2}\)

Khi đó x1 + x2 = -2(m – 1), x1 . x2 = m2

Bài 32 (SGK trang 54)

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 42; uv = 441;           b) u + v = - 42; uv = - 400;

c) u - v = 5; uv = 24.

Hướng dẫn giải

a) u + v = 42, uv = 441 => u, v là nghiệm của phương trình:

x2 – 42x + 441 = 0

∆’ = 212 – 441 = 441 – 441 = 0, √∆’ = 0; x1 = x2 = 21

Vậy u = v = 21

b) u + v = -42, uv = -400, u, v là nghiệm của phương trình:

x2 + 42x – 400 = 0

∆’ = 441 + 400 = 841, √∆’ = 29; x1 = 8, x2 = -50. Do đó:

u = 8, v = -50 hoặc u = -50, v = 8

c) u – v = 5, uv = 24. Đặt –v = t, ta có u + t = 5, ut = -24, ta tìm được:

u = 8, t = -3 hoặc u = -3, t = 8. Do đó:

u = 8, v = 3 hoặc u = -3, t = 8.

Bài 31 (SGK trang 54)

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) \(1,5x^2-1,6x+0,1=0;\)   b) \(\sqrt{3}x^2-\left(1-\sqrt{3}\right)x-1=0;\)

c) \(\left(2-\sqrt{3}\right)x^2+2\sqrt{3}x-\left(2+\sqrt{3}\right)=0;\)

d) \(\left(m-1\right)x^2-\left(2m+3\right)x+m+4=0\) với \(m\ne1.\)

Hướng dẫn giải

a) Phương trình 1,5x2 – 1,6x + 0,1 = 0

Có a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0 nên x1 = 1; x2 = \(\dfrac{0,1}{15}\)

c) \(\left(2-\sqrt{3}\right)x^2+2\sqrt{3x}-\left(2+\sqrt{3}\right)=0\)

\(a+b+c=2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\left(2+\sqrt{3}\right)=0\)

Nên x1 = 1, x2 = \(\dfrac{-\left(2+\sqrt{3}\right)}{2-\sqrt{3}}\) = -(2 + \(\sqrt{3}\))2 = -7 - 4\(\sqrt{3}\)

d) (m – 1)x2 – (2m + 3)x + m + 4 = 0

Có a + b + c = m – 1 – (2m + 3) + m + 4 = 0

Nên x1 = 1, x2 = \(\dfrac{m+4}{m-1}\)

Bài 27 (SGK trang 53)

Dùng hệ thức Viet để tính nhẩm các nghiệm của phương trình:

a) x2 - 7x + 12 = 0;           b) x2 + 7x+ 12 = 0. 

Hướng dẫn giải

a) x2 – 7x + 12 = 0 có a = 1, b = -7, c = 12

nên x1 + x2 = \(-\dfrac{-7}{1}\) = 7 = 3 + 4

x1x2 = \(\dfrac{12}{1}\) = 12 = 3 . 4

Vậy x1 = 3, x2 = 4.

b) x2 + 7x + 12 = 0 có a = 1, b = 7, c = 12

nên x1 + x2 = \(\dfrac{-7}{1}\) = -7 = -3 + (-4)

x1x2 = \(\dfrac{12}{1}\) = 12 = (-3) . (-4)

Vậy x1 = -3, x2 = -4.