Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 27 (SGK trang 79)

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh \(\widehat{APO}=\widehat{PBT}.\)

Hướng dẫn giải

Hỏi đáp Toán

là góc tạo bởi tiếp tuyến BT và dây cung BP.

= (1)

là góc nội tiếp chắn cung

= (2)

Lại có = (∆OAP cân) (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra =



Bài 28 (SGK trang 79)

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O') cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Tia PB cắt đường tròn (O') tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Nối AB. Ta có: = (1)

( cùng chắn cung và có số đo bằng )

= (2)

(cùng chắn cung nhỏ và có số đo bằng sđ)

TỪ (1) và (2) có = từ đó AQ // Px (có hai góc so le trong bằng nhau)

Bài 29 (SGK trang 79)

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn (O') cắt (O) tại C và đối với đường tròn (O) cắt (O') tại D. Chứng minh rằng \(\widehat{CBA}=\widehat{DBA}.\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \widehat {CAB} = {1 \over 2}\widehat {AmB} (1)

( vì là góc tạo bởi một tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm A của (O')).

\widehat {ADB} = {1 \over 2}\widehat {AmB} (2)

góc nội tiếp của đường tròn (O') chắn cung \dpi{100} \widehat {AmB}

Từ (1), (2) suy ra

\dpi{100} \widehat {CAB} = \widehat {ADB} (3)

Chứng minh tương tự với đường tròn (O), ta có:

\dpi{100} \widehat {ACB} = \widehat {DAB} (4)

Hai tam giác ABD và ABC thỏa (3), (4) suy ra cặp góc thứ 3 của chúng bằng nhau, vậy =

Bài 30 (SGK trang 79)

Chứng minh định lý đảo của định lý về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là:

Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn. một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.

O A B

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết,

Suy ra: =

Hai góc nhọn này đã có một cặp cạnh vuông góc với nhau ( OC ⊥ AB).

Vậy cặp cạnh kia cũng phải vuông góc, tức là OA ⊥ Ax.

Vậy Ax phải là tiếp tuyến của (O) tại A

Bài 31 (SGK trang 79)

Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC = R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau ở A. Tính \(\widehat{ABC};\widehat{BAC}.\) 

Hướng dẫn giải

là góc tạo bởi hai tiếp tuyến BA và dây cung BC của (O). Dây BC = R suy ra = = .

= - = - = (tổng các góc của một tứ giác bằng )

Bài 32 (SGK trang 80)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tạo P cắt đường thẳng AB tại T (điểm B nằm giữa O và T).

Chứng minh \(\widehat{BTP}+2.\widehat{TPB}=90^o.\)

Hướng dẫn giải

Ta có là góc tạo bởi tiếp tuyến PT và dây cung PB của đường tròn (O) nên = sđ cung BP (cung nhỏ BP) (1)

Lại có = sđ cung BP (2)

(góc ở tâm và cung bị chắn có cùng số đo)

Từ (1) và (2) suy ra = 2..

Trong tam giác vuông TPO ( OP ⊥ TP vì TP là tiếp tuyến) ta có =

hay + 2. =

Bài 33 (SGK trang 80)

Cho A, B, C là ba điểm trên một đường tròn. At là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N. Chứng minh rằng AB.AM = AC.AN.

Hướng dẫn giải

Ta có = (so le trong) (1)

= (2)

( là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, chắn cung AB, là góc nội tiếp chắn cung AB)

Từ (1) và (2) suy ra:

= (3)

Xét hai tam giác AMN và ACB. chúng có:

chung

=

Vậy ∆AMN ~ ∆ACB, từ đó = , suy ra AB. AM = AC . AN

Bài 34 (SGK trang 80)

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB.

Chứng minh MT2 = MA. MB.

Hướng dẫn giải

Xét hai tam giác BMT và TMA, chúng có:

chung

= (cùng chắn cung nhỏ )

nên ∆BMT ~ ∆TMA, suy ra =

hay MT2 = MA. MB

Bài 35 (SGK trang 80)

Trên bở biển có một ngọn hải đăng cao 40 m. Với khoảng cách bao nhiêu kkm thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mặt thường quan sát ở độ cao 10 m so với mực nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6 400 km.

Hướng dẫn giải

Áp dụng kết quả bài tập 34 ta có:

MT2 = MA. MB

MT2 = MA.(MA + 2R)

Thay số vào đẳng thức trên và lấy đơn vị là km, ta có:

MT2 = 0,04 (0,04 + 12.800)

MT ≈ 23 (km)

Cũng tương ta có;

MT2 = 0,01(0,01 +12.800)

MT ≈ 11 (km)

Từ đó: MM' = MT + M'T = 23+11= 34(km)

Vậy khi ngọn hải đăng khoảng 34 km thì người thủy thủ bắt đầu trông thấy ngọn hải đăng.