Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Góc nội tiếp

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 15 (SGK trang 75)

Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

b) Trong một đường trong, các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.

Hướng dẫn giải

a) Đúng (theo hệ quả a)

b) Sai, vì trong một đường tròn có thể có các góc nội tiếp bằng nhau nhưng không cùng chắn một cung.

Bài 16 (SGK trang 75)

Xem hình 19 (hai dường tròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đường tròn tâm C).

a) Biết \(\widehat{MAN}=30^o\), tính \(\widehat{PCQ}.\)

b) Nếu \(\widehat{PCQ}=136^o\) thì \(\widehat{MAN}\) có số đo là bao nhiêu?

C P Q M N B A

Hướng dẫn giải

Vận dụng định lí số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn, ta có:

a) \(\widehat{MAN}=30^O\Rightarrow\widehat{MBN}=60^O\Rightarrow\widehat{PCQ}=90^O\)

b) \(\widehat{PCQ}=136^O\Rightarrow\widehat{MBN}=68^O\Rightarrow\widehat{MAN}=34^O\)

Bài 17 (SGK trang 75)

Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng eke thì phải làm như thế nào?

Hướng dẫn giải

Vận dụng hệ quả b, ta dùng êke ở hình trên. Tâm đường tròn chính là giao điểm của hai cạnh huyền của hai tam giác vuông nội tiếp đường tròn.

Bài 18 (SGK trang 75)

Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn PQ. Bóng được đặt ở các vị trí A, B, C trên một cung trong như hình 20. Hãy so sánh các góc \(\widehat{PAQ},\widehat{PBQ},\widehat{PCQ}.\)

P Q A B C

Hướng dẫn giải

Với các vị trí A, B, C trên một cung tròn thì ta được các góc nội tiếp ,, cùng chắn
cung PQ \(\Rightarrow\) = = .

Bài 19 (SGK trang 75)

Cho đường tòn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tòn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.

Hướng dẫn giải

BM ⊥ SA ( = vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Tương tự, có: AN ⊥ SB

Như vậy BM và AN là hai đường cao của tam giác SAB và H là trực tâm.

Suy ra SH ⊥ AB.

(Trong một tam giác ba đường cao đồng quy)



Bài 20 (SGK trang 76)

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Nối B với 3 điểm A, C, D ta có:

=

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=

( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vậy + =

Suy ra ba điểm A, C, D thẳng hàng.



Bài 21 (SGK trang 76)

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O') tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì? Tại sao?

Hướng dẫn giải

Do hai đường tròn bằng nhau nên hai cung nhỏ AB bằng nhau. Vì cùng căng dây AB.

Suy ra = (cùng chắn hai cung bằng nhau) nên tam giác BMN là tam giác cân đỉnh B



Bài 22 (SGK trang 76)

Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng mính rằng ta luôn có: MA2 = MB.MC.

Hướng dẫn giải

Ta có: ∆MAB~ ∆MCA ( = ; = )

nên =

Suy ra MA2 = MB. MC


Bài 23 (SGK trang 76)

Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh MA. MB = MC.MD.

Hướng dẫn giải

a) M ở bên trong đường tròn (hình a)

Xét hai tam giác MAB' và MA'B chúng có:

= ( đối đỉnh)

= (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Do đó ∆MAB' ~ ∆MA'B, suy ra:

= , do đó MA. MB = MB'. MA'

b) M ở bên ngoài đường tròn (hình b)

∆MAB' ~ ∆MA'B

M chung = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Suy ra: =

hay MA. MB = MB'. MA'



Bài 24 (SGK trang 76)

Một chiếc cầu được thiết kế như trên hình 21 có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB.

 

Hướng dẫn giải

Góc nội tiếp

Gọi MN = 2R là đường kính của đường tròn có cung tròn là

Theo bài tập 23, ta có:

KA. KB = KM. KN

hay KA. KB = KM. (2R - KM)

Thay số, ta có:

20. 20 = 3(2R - 3)

do đó 6R = 400 + 9 = 4099.

Vậy R = ≈688,2(mét)



Bài 25 (SGK trang 76)

Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4cm và một cạnh góc vuông dài 2,5 cm.

Hướng dẫn giải

Cách vẽ như sau:

- Vẽ đoạn thẳng BC dài 4cm

- Vẽ nửa đưởng tròn đường kính BC

- Vẽ dây AB (hoặc dây CA) dài 2,5cm

Bài 26 (SGK trang 76)

Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh SM = SC và SN = SA.

Hướng dẫn giải

Ta có:

= (theo gt).

= ( vì MN // BC)

Suy ra = , do đó =

Vậy ∆SMC là tam giác cân, suy ra SM = SC

Chứng minh tương tự ta cũng có ∆SAN cân , SN = SA.