Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Cung chứa góc

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 44 (SGK trang 86)

Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.

Hướng dẫn giải

Theo tính chất của góc ngoài tam giác, ta có;

\(\widehat{I_2}=\widehat{A_1}+\widehat{B_1}\) (1)

\(\widehat{I_2}=\widehat{A_2}+\widehat{C_1}\) (2)

Cộng vế (1) và (2) vế với vế:

\(\widehat{I_1}+\widehat{I_2}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{B_1}+\widehat{C_1}\)

Hay \(\widehat{I}=90^o+45^o=135^o\)

Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới góc 135o không đổi, vậy quỹ tích của I là góc cung chứa góc 135o dựng trên đoạn thẳng BC

Bài 45 (SGK trang 86)

Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố đỉnh. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của các hình thoi đó.

Hướng dẫn giải

Ta đã biết rằng hai đường chéo hình thoi vuông góc với nhau, vậy điểm O nhìn AB cố định dưới góc 90o. Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB

Bài 46 (SGK trang 86)

Dựng một cung chứa góc 55o trên đoạn thẳng AB = 3 cm.

Hướng dẫn giải

Trình tự dựng như sau:

- Dựng đoạn thẳng AB = 3cm (dùng thước đo chia khoảng mm)

- Dựng góc = 55o (dùng thước đo góc và thước thẳng)

- Dựng tia Ay vuông góc với Ax (dùng êke)

- Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB (dùng thước có chi khoảng và êke). Gọi O là giao điểm của d và Ay.

- Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA (dùng compa)

Ta có: là cung chứa góc 55odựng trên đoạn thẳng AB = 3cm (một cung)



Bài 47 (SGK trang 86)

Gọi cung chứa góc 55 ở bài tập 46 là cung AmB. Lấy điểm M1 nằm bên trong và điểm M2 nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho M1, M2 và cung AmB nằm cùng một phía đối với đường thẳng AB. Chứng minh rằng:

a) \(\widehat{AM_1B}>55^o;\)                    b) \(\widehat{AM_2B}< 55^o.\)

Hướng dẫn giải

M1 là điểm bất kì nằm trong cung chứa góc 550 (hình a).

Gọi B’, A’ theo thứ tự là giao điểm của M1A, M1B với cung tròn. Vì góc AM1B là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên: góc AM1B = sđ cung(AB +A’B’)/2 = sđcung AB/2 + sđcung A’B’/2 = 550+ (một số dương) Vậy góc AM1B > 550

b)

M2 là điểm bất kì nằm ngoài đường tròn (h.b), M2A, M2B lần lượt cắt đường tròn tại A’, B’. Vì góc AM2B là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn nên: góc AM2B= sđcung(AB – A’B’)/2= sđAB/2 – sđA’B’/2 = 550 – (một số dương)

Vậy góc AM2B < 550



Bài 48 (SGK trang 87)

Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.

Hướng dẫn giải

- Trường hợp các đường tròn tâm B có bán kính BA. Tiếp tuyến BA vuông góc với bán kính BT tại tiếp điểm T.

Do AB cố định nên quỹ tích của T là đường tròn đường kính AB.

- Trường hợp các đường tròn tâm B có bán kính lớn hơn BA: quỹ tích là tập hợp rỗng.



Bài 49 (SGK trang 87)

Dựng tam giác ABC, biết BC = 6 cm, \(\widehat{A}=40^o\) và đường cao AH = 4 cm.

Hướng dẫn giải

Trình tự dựng gồm 3 bước:

- Dựng đoạn thẳng BC = 6cm

- Dựng cung chứa góc 40o trên đoạn thẳng BC.

- Dựng đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng là 4cm như sau:

Trên đường trung trực d của đoạn thẳng BC lấy đoạn HH' = 4cm (dùng thước có chia khoảng mm). Dựng đường thẳng xy vuông góc với HH' tại H

Gọi giao điểm xy và cung chứa góc là , . Khi đó tam giác ABC hoặc A'BC đều thỏa yêu cầu của đề toán



Bài 50 (SGK trang 87)

Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB.

a)  Chứng minh \(\widehat{AIB}\) không đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên.

Hướng dẫn giải

a) Vì = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra trong tam giác vuông MIB có tg = = => = 26o34’

Vậy không đổi.

b) Phần thuận:

Khi điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì điểm I cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới góc 26o34’, vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc 26o34’ dựng trên đoạn thẳng AB (hai cung )

Phần đảo:

Lấy điểm I' bất kì thuộc hoặc , I'A cắt đường tròn đường kính AB tại M'.

Tam giác vuông BMT, có tg = = tg26o34’

Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung



Bài 51 (SGK trang 87)

Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với \(\widehat{A}=60^o.\) Gọi H là giao điểm của các đường cao BB' và CC'. Chứng minh các điểm B, C, O, H,  I cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Ta có: = 2 = 2.60o = 120o (1)

(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)

= (đối đỉnh)

= 180o - = 180o - 60o = 120o

nên = 120o (2)

= +

= 60o + = 60o+ 60o

(sử dụng góc ngoài của tam giác)

Do đó = 120o

Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm O, H, I cùng nằm trên các cung chứa góc 120o dựng trên đoạn thẳng BC. Nói cách khác, năm điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn



Bài 52 (SGK trang 87)

"Góc sút" của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32 m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đến 11 m.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải:

Gọi vị trí đặt bóng để sút phạt đền là M, và bề ngang cầu môn là PQ thì M nằm trên đường trung trực của PQ. Gọi H là trung điểm PQ, = α.

Theo các giả thiết đã cho thì trong tam giác vuông MHP, ta có:

tgα = ≈ 0,333 => α = 18o36’.

Vậy góc sút phạt đền là 2α ≈ 37o12’