Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Công thức nghiệm thu gọn

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 17 (SGK trang 49)

Xác định a', b', c' rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

a) \(4x^2+4x+1=0;\)                    b) \(13852x^2-14x+1=0;\)

c) \(5x^2-6x+1=0;\)                    d) \(-3x^2+4\sqrt{6}x+4=0.\)

Hướng dẫn giải

a) 4x2 + 4x + 1 = 0 có a = 4, b = 4, b' = 2, c = 1

∆' = 22 – 4 . 1 = 0: Phương trình có nghiệm kép

x1 = x2 = =

b) 13852x2 – 14x + 1 = 0 có a = 13852, b = -14, b’ = -7, c = 1

∆’ = (-7)2 – 13852 . 1 = 49 – 13852 < 0

Phương trình vô nghiệm.

c) 5x2 – 6x + 1 = 0 có a = 5, b = -6, b’ = -3, c = 1

∆’ = (-3)2 – 5 . 1 = 4, √∆’ = 2

x1 = = 1; x2 = =

d) -3x2 + 4√6x + 4 = 0 có a = -3, b = 4√6, b’ = 2√6, c = 4.

∆’ = (2√6)2 – (-3) . 4 = 24 + 12 = 36, √∆’ = 6

X1 = = ;, x2 = =



Bài 18 (SGK trang 49)

Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + 2b'x + c = 0 và giải chúng. Sau đó, dùng bảng số hoặc máy tính để viết gần đúng nghiệm tìm được (làm tròn kết quả tới chữ số thập phân thứ hai):

a)   \(3x^2-2x=x^2+3;\)          b) \(\left(2x-\sqrt{2}\right)^2-1=\left(x+1\right)\left(x-1\right);\)

c)  \(3x^2+3=2\left(x+1\right);\)        d) \(0,5x\left(x+1\right)=\left(x-1\right)^2.\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

a) 3x2 – 2x = x2 + 3 ⇔ 2x2 – 2x - 3 = 0.

b’ = -1, ∆’ = (-1)2 – 2 . (-3) = 7

x1 = 1, 82; x2 = ≈ -0,82

b) (2x - √2)2 – 1 = (x + 1)(x – 1) ⇔ 3x2 - 4√2 . x + 2 = 0 . b’ = -2√2

∆’ = (-2√2)2 – 3 . 2 = 2

x1 = = √2 ≈ 1,41; x2 = = ≈ 0,47.

c) 3x2 + 3 = 2(x + 1) ⇔ 3x2 – 2x + 1 = 0.

b’ = -1; ∆’ = (-1)2 – 3 . 1 = -2 < 0

Phương trình vô nghiệm.

d) 0,5x(x + 1) = (x – 1)2 ⇔ 0,5x2 – 2,5x + 1 = 0

⇔ x2 – 5x + 2 = 0, b’ = -2,5; ∆’ = (-2,5)2 – 1 . 2 = 4,25

x1 = 2,5 + √4,25 ≈ 4,56, x2 = 2,5 - √4,25 ≈ 0,44

(Rõ ràng trong trường hợp này dung công thức nghiệm thu gọn cũng không đơn giản hơn)



Bài 19 (SGK trang 49)

Đố: Đố em biết vì sao khi a > 0 và phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì ax2 + bx + c > 0 với mọi giá trị của x?

Hướng dẫn giải

Khi a > 0 và phương trình vô nghiệm thì b2 – 4ac < 0.

Do đó: > 0

Suy ra: ax2 + bx + c = a > 0, với mọi x.


Bài 20 (SGK trang 49)

Giải các phương trình:

a) \(25x^2-16=0;\)                        b) \(2x^2+3=0;\)

c) \(4,2x^2+5,46x=0;\)                d) \(4x^2-2\sqrt{3}x=1-\sqrt{3}.\)

Hướng dẫn giải

a) 25x2 – 16 = 0 ⇔ 25x2 = 16 ⇔ x2 =

⇔ x = ± = ±

b) 2x2 + 3 = 0: Phương trình vô nghiệm vì vế trái là 2x2 + 3 ≥ 3 còn vế phải bằng 0.

c) 4,2x2 + 5,46x = 0 ⇔ 2x(2,1x + 2,73) = 0

=> x = 0

Hoặc 2,1x + 2,73 = 0 => x = -1,3

d) 4x2 - 2√3x = 1 - √3 ⇔ 4x2 - 2√3x – 1 + √3 = 0

Có a = 4, b = -2√3, b’ = -√3, c = -1 + √3

∆’ = (-√3)2 – 4 . (-1 + √3) = 3 + 4 - 4√3 = (2 - √3)2, √∆’ = 2 - √3

x1 = = , x2 = =



Bài 21 (SGK trang 49)

Giải vài phương trình của An Khô-va-ri-zmi:

a) \(x^2=12x+288;\)               b) \(\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{7}{12}x=19.\)

Hướng dẫn giải

a) x2 = 12x + 288 ⇔ x2 - 12x + 288 = 0

∆’ = (-6)2 – 1 . (-288) = 36 + 288 = 324

√∆’ = 18

x1 = 6 + 18 = 24, x2 = 6 – 18 = -12

b) x2 + x = 19

⇔ x2 + 7x – 228 = 0, ∆ = 49 – 4 . (-228) = 49 + 912 = 961 = 312

x1 = = 12, x2 = = -19


Bài 22 (SGK trang 49)

Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?

a) 15x2 + 4x - 2005 = 0;                  b) \(-\dfrac{19}{5}x^2-\sqrt{7}x+1890=0.\)

Hướng dẫn giải

Khi phương trình ax2 + bx + c = 0 có a và c trái dấu thì ac < 0, suy ra –ac > 0; hơn nữa b2 ≥ 0. Do đó ∆ = b2 – 4ac > 0. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng:

a) Phương trình 15x2 + 4x – 2005 = 0 có a = 15, c = -2005 trái dấu nhau nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình x2 - √7x + 1890 = 0 có a = và c = 1890 trái dấu nhau nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.


Bài 23 (SGK trang 50)

Rada của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một oto trong 10 phút, phát hiện rằng vẫn tốc v của oto thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức : \(x=3t^2-30t+135,\)

(t tính bằng phút, v tính bằng km/h).

a) Tính vận tốc của oto khi t = 5 phút.

b) Tính giá trị của t khi vận tốc oto bằng 120km/h (làm tròn kết quả tới chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

a) Khi t = 5 (phút) thì v = 3 . 52 – 30 . 5 + 135 = 60 (km/h)

b) Khi v = 120 (km/h), để tìm t ta giải phương trình 120 = 3t2 – 30t + 135

Hay t2 – 10t + 5 = 0. Có a = 1, b = -10, b’ = -5, c = 5.

∆’ = 52 – 5 = 25 – 5 = 20, √∆’ = 2√5

t1 = 5 + 2√5 ≈ 9,47, t2 = 5 - 2√5 ≈ 0,53

Vì rađa chỉ theo dõi trong 10 phút nên 0 < t < 10 nên cả hai giá trị của t đều thích hợp. Vậy t1 ≈ 9,47 (phút), t2 ≈ 0,53 (phút).

Bài 24 (SGK trang 50)

Cho phương trình (ẩn x) : x2 - 2(m-1)x + m2 = 0.

a) Tính \(\Delta'.\)

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô nghiệm?

Hướng dẫn giải

a) x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0 có a = 1, b = -2(m - 1), b' = -(m - 1), c = m2

∆' = [-(m - 1)]2 – m2 = m2 – 2m + 1 – m2 = 1 – 2m

b) Ta có ∆’ = 1 – 2m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 1 – 2m > 0 hay khi m < \(\dfrac{1}{2}\)

Phương trình vô nghiệm khi m > \(\dfrac{1}{2}\)

Phương trình có nghiệm kép khi m = \(\dfrac{1}{2}\).