Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Các dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 22 (Sgk tâp 1 - trang 111)

Cho đường thẳng d, điểm A nằm trên đường d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Hãy dựng đường tròn (O) đi qua điểm B và tiếp xúc với đường thẳng d tại A

Hướng dẫn giải

Phân tích:

Giả sử đã dựng được đường tròn thỏa mãn đề bài.

Tâm O thỏa mãn hai điều kện:

- O nằm trên đường trung trực của AB (vì đường tròn đi qua A và B).

- O nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại A (vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d tại A).

Vậy O là giao điểm của hai đường thẳng nói trên.

Cách dựng:

- Dựng đường trung trực m của AB.

- Từ A dựng một đường thẳng vuông góc với d cắt đường thẳng m tại O.

- Dựng đường tròn (O;OA). Đó là đường tròn phải dựng.

Chứng minh:

Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA=OB, do đó đường tròn (O;OA) đi qua A và B.

Đường thẳng d⊥OAd⊥OA tại A nên đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A.

Biện luận: Bài toán luôn có nghiệm hình.



Luyện tập - Bài 24 (Sgk tâp 1 - trang 111)

Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C

a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn

b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, B = 24cm. Tính độ dài OC ?

Hướng dẫn giải


bai-24

a) Gọi H là giao điểm của OC và AB.

Vì OH ⊥ AB nên HA=HB, suy ra OC là đường trung trực của AB, do đó CB=CA.

Δ CBO = Δ CAO (c.c.c)

⇒ ∠CBO = ∠CAO.

Vì AC là tiếp tuyến của đường trong (O) nên AC ⊥ OA ⇒ ∠CAO = 900.

Do đó ∠CBO= 900.

Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Xét tam giác HOA vuông tại H, có

OH2= OA2 – AH2 = 152 – 122 = 81 ⇒ OH = 9(cm),

Xét tam giác BOC vuông tại B, có

OB2 = OC.OH ⇒ OC = OB2/OH = 225/9 = 25(cm)

Nhận xét. Ở câu a) ta đã dùng dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến để chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn (O). Ta cũng có thể dựa vào tính chất đối xứng của đường kính để chứng minh CB là tiếp tuyến. Thực vậy B và A đối xứng qua đường thẳng chứa đường kính CO, mà CA là tiếp tuyến nên CB phải là tiếp tuyến.

Bài 23 (Sgk tâp 1 - trang 111)

Đố :

Dây cu - roa trên hình 76 có những phần là tiếp tuyến của các đường tròn tâm A, B, C. Chiều quay của đường tròn tâm B ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tìm chiều quay của đường tròn tâm A và đường tròn tâm C (cùng chiều quay hay ngược chiều quay của kim đồng hồ)

 

 

Hướng dẫn giải

dabai-23

Chiều quay đường tròn tâm A và tâm C cùng chiều kim đồng hồ.

Đường tròn (B) quay ngược chiều với hai đường tròn (A) và (C).

Luyện tập - Bài 25 (Sgk tâp 1 - trang 112)

Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA

a) Tứ giác OCAB là hình gì ? Vì sao ?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R

Hướng dẫn giải

O A B C E M

a) Ta có bán kính OA vuông góc với dây BC tại M nên MB = MC,
Xét tứ giác OCAB ta có
MO = MA(gt); MB = MC (tính chất đường kính vuông góc với dây)
Vậy tứ giá OCAB là hình bình hành. Hơn nữa, hình bình hành OCAB có OA ⊥ BC nên tứ giác OCAB là hình thoi (Hình bình hành này có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi, hoặc hình bình hành có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau OB = OC)

b) Vì tứ giác OCAB là hình thoi nên OB = BA; mà BO=OA (bán kính) nên tam giác ABO là tam giác đều.

Vậy ΔOAB là tam giác đều. Suy ra \(\widehat{AOB}=60^o\)

– Trong ΔOBE vuông tại E ta có:

\(BE=OB.\tan\widehat{AOB}=OB.\tan60^o=R\sqrt{3}\)

Bài 21 (Sgk tâp 1 - trang 111)

Cho tam giác ABC có AB = 3. AC = 4, BC = 5. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn ?

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông tại A (theo định lý Py-ta-go đảo)

⇒AC⊥AB,⇒AC⊥AB, do đó AC là tiếp tuyến.