Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Luyện tập - Bài 32 (Sgk tập 2 - trang 23)

Giải các phương trình :

a) \(\dfrac{1}{x}+2=\left(\dfrac{1}{x}+2\right)\left(x^2+1\right)\)

b) \(\left(x+1+\dfrac{1}{x}\right)^2=\left(x-1-\dfrac{1}{x}\right)^2\)

Hướng dẫn giải

Giải bài 32 trang 23 SGK Toán 8 Tập 2 | Giải toán lớp 8Giải bài 32 trang 23 SGK Toán 8 Tập 2 | Giải toán lớp 8

Luyện tập - Bài 31 (Sgk tập 2 - trang 23)

Giải các phương trình :

a) \(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{3x^2}{x^3-1}=\dfrac{2x}{x^2+x+1}\)

b) \(\dfrac{3}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\dfrac{2}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{1}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\)

c) \(1+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{12}{8+x^3}\)

d) \(\dfrac{13}{\left(x-3\right)\left(2x+7\right)}+\dfrac{1}{2x+7}=\dfrac{6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

Hướng dẫn giải

a) 1x13x2x31=2xx2+x+1

Ta có: x31=(x1)(x2+x+1)

=(x1)[(x+12)2+34] cho nên x3 – 1 ≠ 0 khi x – 1 ≠ 0⇔ x ≠ 1

Vậy ĐKXĐ: x ≠ 1

Khử mẫu ta được:

x2+x+13x2=2x(x1)2x2+x+1=2x22x

4x23x1=0

Luyện tập - Bài 29 (Sgk tập 2 - trang 22)

Bạn Sơn giải phương trình : 

                                       \(\dfrac{x^2-5x}{x-5}=5\left(1\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-5x=5\left(x-5\right)\)

      \(\Leftrightarrow x^2-5x=5x-25\)

      \(\Leftrightarrow x^2-10x+25=0\)

      \(\Leftrightarrow\left(x-5\right)^2=0\)

      \(\Leftrightarrow x=5\)

Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức \(x-5\) có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trai như sau :

                 \(\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{x\left(x-5\right)}{x-5}=5\Leftrightarrow x=5\)

Hãy cho biết ý kiến của em về hai lời giải trên ?

 

Hướng dẫn giải

+ Trong cách giải của bạn Sơn có ghi

\(\left(1\right)x^2-5x=5\left(x-5\right)\)⇔ là sai vì x = 5 không là nghiệm của (1) hay (1) có ĐKXĐ: x ≠ 5.

+ Trong cách giải của Hà có ghi:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{x\left(x-5\right)}{x-5}=5\Leftrightarrow x=5\)

Sai ở chỗ không tìm ĐKXĐ của phương trình mà lại rút gọn x – 5.

Tóm lại cả hai cách giải đều sai ở chỗ không tìm ĐKXĐ khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Bài 27 (Sgk tập 2 - trang 22)

Giải các phương trình 

a) \(\dfrac{2x-5}{x+5}=3\)

b) \(\dfrac{x^2-6}{x}=x+\dfrac{3}{2}\)

c) \(\dfrac{\left(x^2+2x\right)-\left(3x+6\right)}{x-3}=0\)

d) \(\dfrac{5}{3x+2}=2x-1\)

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: x # -5

\(\dfrac{2x-5}{x+5}=3\)\(\dfrac{2x-5}{x+5}=\dfrac{3\left(x+5\right)}{x+5}\)

⇔ 2x - 5 = 3x + 15

⇔ 2x - 3x = 5 + 20

⇔ x = -20 thoả ĐKXĐ

Vậy tập hợp nghiệm S = {-20}

b) ĐKXĐ: x # 0

\(\dfrac{x^2-6}{x}=x+\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x^2+6\right)}{2x}=\dfrac{2x^2+3x}{2x}\)

Suy ra: 2x2 – 12 = 2x2 + 3x ⇔ 3x = -12 ⇔ x = -4 thoả x # 0

Vậy tập hợp nghiệm S = {-4}.

c) ĐKXĐ: x # 3

\(\dfrac{\left(x^2+2x\right)-\left(3x+6\right)}{x-3}=0\) ⇔ x(x + 2) - 3(x + 2) = 0

⇔ (x - 3)(x + 2) = 0 mà x # 3

⇔ x + 2 = 0

⇔ x = -2

Vậy tập hợp nghiệm S = {-2}

d) ĐKXĐ: x # \(-\dfrac{2}{3}\)

\(\dfrac{5}{3x+2}=2x-1\Leftrightarrow\dfrac{5}{3x+2}=\dfrac{\left(2x-1\right)\left(3x+2\right)}{3x+2}\)

⇔ 5 = (2x - 1)(3x + 2)

⇔ 6x2 – 3x + 4x – 2 – 5 = 0

⇔ 6x2 + x - 7 = 0

⇔ 6x2 - 6x + 7x - 7 = 0

⇔ 6x(x - 1) + 7(x - 1) = 0

⇔ (6x + 7)(x - 1) = 0

⇔ x = \(-\dfrac{7}{6}\) hoặc x = 1 thoả x # \(-\dfrac{2}{3}\)

Vậy tập nghiệm S = {1;\(-\dfrac{7}{6}\)}.

Luyện tập - Bài 33 (Sgk tập 2 - trang 23)

Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2 :

a) \(\dfrac{3a-1}{3a+1}+\dfrac{a-3}{a+3}\)

b) \(\dfrac{10}{3}-\dfrac{3a-1}{4a+12}-\dfrac{7a+2}{6a+18}\)

Hướng dẫn giải

Biểu thức có giá trị bằng 2 thì:

Giải bài 33 trang 23 SGK Toán 8 Tập 2 | Giải toán lớp 8

Giải bài 33 trang 23 SGK Toán 8 Tập 2 | Giải toán lớp 8

Bài 28 (Sgk tập 2 - trang 22)

Giải các phương trình :

a) \(\dfrac{2x-1}{x-1}+1=\dfrac{1}{x-1}\)

b) \(\dfrac{5x}{2x+2}+1=-\dfrac{6}{x+1}\)

c) \(x+\dfrac{1}{x}=x^2+\dfrac{1}{x^2}\)

d) \(\dfrac{x+3}{x+1}+\dfrac{x-2}{x}=2\)

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: x # 1

Khử mẫu ta được: 2x - 1 + x - 1 = 1 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 không thoả mãn ĐKXĐ

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) ĐKXĐ: x # -1

Khử mẫu ta được: 5x + 2x + 2 = -12

⇔ 7x = -14

⇔ x = -2

Vậy phương trình có nghiệm x = -2.

c) ĐKXĐ: x # 0.

Khử mẫu ta được: x3 + x = x4 + 1

⇔ x4 - x3 -x + 1 = 0

⇔ x3(x – 1) –(x – 1) = 0

⇔ (x3 -1)(x - 1) = 0

⇔ x3 -1 = 0 hoặc x - 1 = 0

1) x - 1 = 0 ⇔ x = 1

2) x3 -1 = 0 ⇔ (x - 1)(x2 + x + 1) = 0

⇔ x = 1 hoặc x2 + x + 1 = 0 ⇔ \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=-\dfrac{3}{4}\) (vô lí)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

d) ĐKXĐ: x # 0 -1.

Khử mẫu ta được x(x + 3) + (x + 1)(x - 2) = 2x(x + 1)

⇔ x2 + 3x + x2 – 2x + x – 2 = 2x2 + 2x

⇔ 2x2 + 2x - 2 = 2x2 + 2x

⇔ 0x = 2

Phương trình 0x = 2 vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Luyện tập - Bài 30 (Sgk tập 2 - trang 23)

Giải các phương trình :

a) \(\dfrac{1}{x-2}+3=\dfrac{x-3}{2-x}\)

b) \(2x-\dfrac{2x^2}{x+3}=\dfrac{4x}{x+3}+\dfrac{2}{7}\)

c) \(\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{4}{x^2-1}\)

d) \(\dfrac{3x-2}{x+7}=\dfrac{6x+1}{2x-3}\)

Hướng dẫn giải

a) 1x3+3=x32x ĐKXĐ: x2

Khử mẫu ta được: 1+3(x2)=(x3)1+3x6=x+3

3x+x=3+61

⇔4x = 8

⇔x = 2.

x = 2 không thỏa ĐKXĐ.

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) 2x2x2x+3=4xx+3+27 ĐKXĐ:x3

Khử mẫu ta được:

14(x+3)14x2= 28x+2(x+3)

14x2+42x14x2=28x+2x+6