Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Ôn tập: Phân thức đại số

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Câu 1 (Sgk tập 1 - trang 61)

Định nghĩa phân thức đại số. Một đa thức có phải là phân thức đại số không ? Một số thực bất kì có phải là một phân thức đại số không ?

Hướng dẫn giải

-Định nghĩa:Một phân thức đại số(hay nói gọn là phân thức)là một biểu thức có dạng\(\dfrac{A}{B}\),trong đó A,B là những đa thức và B khác đa thức 0.A được gọi là tử thức (hay tử) , B gọi là mẫu thức (hay mẫu).

-Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.

-Chỉ có số 0, số 1 là những phân thức đại số.

Câu 2 (Sgk tập 1 - trang 61)

Định nghĩa hai phân thức đại số bằng nhau ?

Hướng dẫn giải

Hai phân thức bằng nhau: \(\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\) nếu A.D = B.C

Câu 3 (Sgk tập 1 - trang 61)

Phát biểu tính chất cơ bản của phân thức đại số ?

Hướng dẫn giải

Tính chất cơ bản của phân thức: Nếu \(M\ne0\) thì \(\dfrac{A}{B}=\dfrac{A.M}{B.M}\)

Câu 4 (Sgk tập 1 - trang 61)

Nêu quy tắc rút gọn một phân thức đại số.

Hãy rút gọn phân thức : 

                  \(\dfrac{8x-4}{8x^3-1}\)

Hướng dẫn giải

Muốn rút gọn phân thức đại số ta có thể :

+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ( nếu cần ) để tìm nhân tử chung.

+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Rút gọn phân thức :

\(\dfrac{8x-4}{8x^3-1}\)\(=\dfrac{4\left(2x-1\right)}{2x^3-1}\)\(=\dfrac{4\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x^2+2x+1\right)}\)\(=\dfrac{4}{4x^2+2x+1}\)

Câu 5 (Sgk tập 1 - trang 61)

Muốn quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức có mẫu thức khác nhau, ta làm thế nào ?

Hãy quy đồng mẫu thức của hai phân thức : 

                           \(\dfrac{x}{x^2+2x+1}\)    và           \(\dfrac{3}{5x^2-5}\)

           

Hướng dẫn giải

*Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau:

-Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm ẫu tức chung.

-Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

-Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

*Bài tập:

\(\dfrac{x}{x^2+2x+1}và\)\(\dfrac{3}{5x^2-5}\)

-Ta có:

x2+2x+1=(x+1)2=(x+1)(x+1)

5x2-5=5(x2-1)=5(x-1)(x+1)

\(\Rightarrow\)MTC:5(x-1)(x+1)(x+1)

-NTP:5(x-1)(x+1)(x+1):(x+1)(x+1)=5(x-1)

5(x-1)(x+1)(x+1):5(x-1)(x+1)=x+1

-Quy đồng mẫu thức:

\(\dfrac{x}{\left(x+1\right)\left(x+1\right)}\)=\(\dfrac{5x\left(x-1\right)}{5\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(\dfrac{3}{5\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{3\left(x+1\right)}{5\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+1\right)}\)

Câu 6 (Sgk tập 1 - trang 61)

Phát biểu quy tắc : cộng hai phân thức cùng mẫu thức, cộng hai phân thức khác mẫu thức. 

Làm tính cộng :

              \(\dfrac{3x}{x^3-1}+\dfrac{x-1}{x^2+x+1}\)

Hướng dẫn giải

- Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu, ta cộng các tử với nhau và giữ nguyên mẫu.

- Muốn cộng hai phân thức khác mẫu, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức cùng mẫu vừa tìm được.

\(\dfrac{3x}{x^3-1}+\dfrac{x-1}{x^2+x+1}\)

\(=\dfrac{3x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\dfrac{\left(x-1\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(=\dfrac{3x+x^2-2x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)


\(=\dfrac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{x-1}\)

Câu 7 (Sgk tập 1 - trang 61)

Hai phân thức như thế nào được gọi là hai phân thức đối nhau ? 

Tìm phân thức đối của phân thức :  \(\dfrac{x-1}{5-2x}\)

Hướng dẫn giải

Hai phân thức đối nhau là 2 phân thức có tích bằng 1.

Phân thức đối của phân thức \(\dfrac{x-1}{5-2x}\) là: \(\dfrac{5-2x}{x-1}\)

Câu 8 (Sgk tập 1 - trang 61)

Phát biểu quy tắc trừ hai phân thức đại số ?

Hướng dẫn giải

a) Phân thức đối của \(\dfrac{A}{B}\) kí hiệu bởi \(-\dfrac{A}{B}\)

tru-2-phan-thuc

Câu 9 (Sgk tập 1 - trang 61)

Phát biểu quy tắc nhân hai phân thức đại số ?

Hướng dẫn giải

Quy tắc :

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau :

\frac{A}{B} . \frac{C}{D}= \frac{A.C}{B.D}

Câu 10 (Sgk tập 1 - trang 61)

Cho phân thức \(\dfrac{A}{B}\) khác 0, viết phân thức nghịch đảo của nó ?

Hướng dẫn giải

Với \(\dfrac{A}{B}\ne0\)

\(\Rightarrow\) Phân thức nghịch đảo là: \(\dfrac{B}{A}\)

Câu 11 (Sgk tập 1 - trang 61)

Phát biểu quy tắc chia hai phân thức đại số ?

Hướng dẫn giải

Muốn chia phân thức \(\dfrac{A}{B}\) cho phân thức \(\dfrac{C}{D}\) khác 0, ta nhân \(\dfrac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo \(\dfrac{C}{D}\).

\(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}\) với \(\dfrac{C}{D}\) ≠ 0

Câu 12 (Sgk tập 1 - trang 61)

Giả sử \(\dfrac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}\) là một phân thức của biến \(x\). Hãy nêu điều kiện của biến để giá trị của phân thức được xác định ?

Hướng dẫn giải

Để \(\dfrac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}\)\(\Rightarrow\) \(B\left(x\right)\ne0\)

Bài 57 (Sgk tập 1 - trang 61)

Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau :

a) \(\dfrac{3}{2x-3}\) và \(\dfrac{3x+6}{2x^2+x-6}\)

b) \(\dfrac{2}{x+4}\) và \(\dfrac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}\)

Hướng dẫn giải

a) 32x33x+62x2+x6

Cách 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau.

32x3= 3x+62x2+x6

Vì : 3(2x2+x6)=6x2+3x18

=6x2+12x9x18

=2x(3x+6)3(3x+6)

=(2x3)(3x+6)

Cách 2: Rút gọn phân thức

Bài 58 (Sgk tập 1 - trang 62)

Thực hiện các phép tính sau :

a) \(\left(\dfrac{2x+1}{2x-1}-\dfrac{2x-1}{2x+1}\right):\dfrac{4x}{10x-5}\)

b) \(\left(\dfrac{1}{x^2+x}-\dfrac{2-x}{x+1}\right):\left(\dfrac{1}{x}+x-2\right)\)

c) \(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x^3-x}{x^2+1}.\left(\dfrac{1}{x^2-2x+1}+\dfrac{1}{1-x^2}\right)\)

Hướng dẫn giải

a) (2x+12x−1−2x−12x+1):4x10x−5=(2x+1)2−(2x−1)2(2x−1)(2x+1).10x+54x(2x+12x12x12x+1):4x10x5=(2x+1)2(2x1)2(2x1)(2x+1).10x+54x

=4x2+4x+1−4x2+4x−1(2x−1)(2x+1).5(2x+1)4x4x2+4x+14x2+4x1(2x1)(2x+1).5(2x+1)4x

=8x.5(2x+1)(2x−1)(2

Bài 59 (Sgk tập 1 - trang 62)

a) Cho biểu thức :

                     \(\dfrac{xP}{x+P}-\dfrac{yP}{y-P}\)

Thay \(P=\dfrac{xy}{x-y}\) vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức

b) Cho biểu thức :

                      \(\dfrac{P^2Q^2}{x+P}\)

Thay \(P=\dfrac{2xy}{x^2-y^2}\) và \(Q=\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\) vào biểu thức đã cho rồi rút gọn

Hướng dẫn giải

Lời giải:

Giải bài 59 trang 62 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

Bài 60 (Sgk tập 1 - trang 62)

Cho biểu thức :

                  \(\left(\dfrac{x+1}{2x-2}+\dfrac{3}{x^2-1}-\dfrac{x+3}{2x+2}\right).\dfrac{4x^2-4}{5}\)

a) Hãy tìm điểu kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định 

b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biểu thức x

Hướng dẫn giải

a) 2x2=2(x1)0 khi x10 hay x1

x21=(x1)(x+1)0 khi x10x+10

hay x1x1

2x+2=2(x+1)0 khi x+10 hay x1

Do đó điều kiện để giá trị của biểu thức được xác định là x1,x1

b) Để chứng minh biểu thức không phục thuộc vào biến x ta phải chứng tỏ rằng có thể biến đổi biểu thức này thành một hằng số.

Thật vậy:

Bài 61 (Sgk tập 1 - trang 62)

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức :

          \(\left(\dfrac{5x+2}{x^2-10x}+\dfrac{5x-2}{x^2+10x}\right).\dfrac{x^2-100}{x^2+4}\)

được xác định. Tính giá trị của biểu thức tại \(x=20040\)

Hướng dẫn giải

x210x=x(x10)0 khi x0;x100

Hay x0;x10

x2+10x=x(x+10)0 khi x0;x+100

Hay x0;x10

x2+44

Vậy điều kiện của biến x để biểu thức đã cho được xác định là

x10,x0,x10

Để việc tính giá trị của biểu thức được đơn giản hơn ta rút gọn biểu thức trước :

(5x+2x210x+5x2x2+10x).x2100x2+4

=

Bài 62 (Sgk tập 1 - trang 62)

Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức \(\dfrac{x^2-10x+20}{x^2-5x}\) bằng 0

Hướng dẫn giải

Điều kiện cuả biến:

x25x=x(x5)0;x50 hay x0;x5

Do đó điều kiện của biến là x0;x5

Rút gọn phân thức:

x210x+25x25x=(x5)2x(x5)=x5x

Phân thức có giá trị bằng 0 khi x5x=0

Hay x5=0vàx0 hay x = 5

Nhưng x = 5 không thỏa mãn điều kiện của biến. Vậy không có giá trị nào của x để giá trị của phân thức thức 0.

Bài 63 (Sgk tập 1 - trang 62)

Viết mỗi phân thức sau dưới dạng tổng quát của một đa thức và một phân thức với tử thức là một hằng số, rồi tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức cũng là số nguyên :

a) \(\dfrac{3x^2-4x-17}{x+2}\)

b) \(\dfrac{x^2-x+2}{x-3}\)

Hướng dẫn giải

a)Ta có:

3x24x17x+2=3x10+3x+2

Để phân thức là số nguyên thì 3x+2 phải là số nguyên (với giá trị nguyên của x).

3x+2 nguyên thì x +2 phải là ước của 3.

Các ước của 3 là ±1,±3 . Do đó

x+2=±1=>x=1,x=3

x+2=±3=>x=1,x=5

Vậy x=5;3;1;1.

Cách khác:

3x24x17x+2=(3x2+6x)(10x+20)+3x+2

=

Bài 64 (Sgk tập 1 - trang 62)

Tính giá trị của phân thức trong bài tập 62 tại \(x=1,12\) và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba ?

\(\dfrac{x^2-10x+20}{x^2-5x}\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện của biếnx0,x5 .

Ta có x210x+25x25x=x5x

x=1,12 thỏa mãn điều kiện của biến nên khi đó giá trị của phân thức đã cho bằng :

1,1251,12=3,881,123,464285

Kết quả chính xác đến 0,001 là