Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 38 trang 53 SGK Toán 8 tập 2

Cho \(m > n\), chứng minh:

a) \(m + 2 > n +2\);

b) \(-2m < -2n\);

c) \(2m -5 > 2n -5\);

d) \(4 – 3m < 4 – 3n\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(m > n\)

Cộng hai vế bất đẳng thức \(m > n\) với \(2\) ta được:

\( m + 2 > n + 2\) (điều phải chứng minh).

b) Ta có \(m > n\)

Nhân hai vế bất đẳng thức \(m > n\) với \((-2)\) ta được:

\(- 2m < - 2n\) (điều phải chứng minh)

c) Ta có: \(m > n\)

Nhân hai vế bất đẳng thức \(m > n\) với \(2\) ta được:

\(2m > 2n\)

Cộng hai vế bất đẳng thức \(2m > 2n\) với \((-5)\) ta được:

\(2m - 5 > 2n - 5\) (điều phải chứng minh) 

d) Ta có: \(m > n\)

Nhân hai vế bất đẳng thức \(m > n\) với \((-3)\) ta được:

\( -3m < -3n\)

Cộng hai vế bất đẳng thức \( -3m < -3n\) với \(4\) ta được:

\(4 - 3m < 4 - 3n \) (điều phải chứng minh).

Bài 39 trang 53 SGK Toán 8 tập 2 Bình chọn:

Kiểm tra xem \(-2\) là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau:

a) \(-3x + 2 > -5\);

b) \(10 - 2x < 2\);

c) \({x^2} - 5 < 1\);

d) \(|x| < 3\);

e) \(|x| > 2\);

f) \(x + 1 > 7 – 2x\).

Hướng dẫn giải

a) Thay \(x = -2\) vào bất phương trình: \(-3x + 2 > -5\)

\(-3 .(-2) + 2 > -5   ⇔ 6 +2 > -5\)\(\,  ⇔ 8 > -5\) (khẳng định đúng).

Vậy \(x = -2\) là nghiệm của bất phương trình: \(-3x + 2 > -5\).

b) Thay \(x = -2\) vào bất phương trình: \(10 - 2x < 2\) ta được:

\(10 - 2.(-2) < 2  ⇔ 10 + 4 < 2\)\(\,  ⇔ 14 < 2\) (sai)

Vậy \(x = -2\) không là nghiệm của bất phương trình: \(10 - 2x < 2 \).

c) Thay \(x = -2\) vào bất phương trình \({x^2} - 5 < 1\) ta được:

\({\left( { - 2} \right)^2} - 5 < 1 \Leftrightarrow 4 - 5 < 1 \Leftrightarrow  - 1 < 1\) (đúng)

Vậy \(x = -2\) là nghiệm của bất phương trình: \({x^2} - 5 < 1\)

d) Thay \(x = -2\) vào bất phương trình \(|x | < 3\) ta được:

\(|-2| < 3  ⇔ 2 < 3\) (đúng)

Vậy \(x = -2\) là nghiệm của bất phương trình: \(|x| < 3\).

e) Thay \(x = -2\) vào bất phương trình \(|x|  > 2\) ta được:

\(|-2| > 2  ⇔ 2 > 2\) (sai)

Vậy \(x = -2\) không là nghiệm của bất phương trình \(|x| > 2\).

f) Thay \(x = -2\) vào bất phương trình \(x + 1 > 7 - 2x\) ta được:

\((-2) + 1 > 7 – 2.(-2) ⇔ -1 > 11\) (sai)

Vậy \(x = -2\) không là nghiệm của bất phương trình: \(x + 1 > 7 - 2x\).

Bài 40 trang 53 SGK Toán 8 tập 2

Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) \(x - 1 < 3\);

b) \(x + 2  > 1\);

c) \(0,2x < 0,6\);

d) \(4 + 2x < 5\).

Hướng dẫn giải

a) \(x - 1 < 3  ⇔ x < 1 + 3  ⇔ x < 4\)

Vậy tập nghiệm \(S = \left\{ {x \,|\,x < 4} \right\}\)

Biểu diễn trên trục số:

b) \(x +2 > 1  ⇔ x > 1 – 2  ⇔ x > -1\)

Vậy tập nghiệm  \(S = \left\{ {x \,|\,x > -1} \right\}\)

Biểu diễn trên trục số:

c) \(0,2x < 0,6  ⇔ 5.0,2.x < 5.0,6\)\(\,  ⇔ x < 3\)

Vậy tập nghiệm  \(S = \left\{ {x \,|\,x < 3} \right\}\)

Biểu diễn trên trục số:

d) \(4 +2x < 5 \)\(\, ⇔ 2x < 5 -4 \)\(\, \Leftrightarrow 2x < 1\)\(\, ⇔ x < \dfrac{1}{2}\)

Vậy tập nghiệm \(S = \left\{ {x \,|\,x < \dfrac{1}{2}} \right\}\)

Biểu diễn trên trục số:

Bài 41 trang 53 SGK Toán 8 tập 2

Giải các bất phương trình:

a) \(\dfrac{{2 - x}}{4} < 5\)

b) \(3 \leqslant \dfrac{{2x + 3}}{5}\)

c) \(\dfrac{{4x - 5}}{3} > \dfrac{{7 - x}}{5}\)

d) \(\dfrac{{2x + 3}}{{ - 4}} \geqslant \dfrac{{4 - x}}{{ - 3}}\) .

Hướng dẫn giải

a) \(\dfrac{{2 - x}}{4} < 5\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2 - x < 20\\
\Leftrightarrow - x < 20 - 2\\
\Leftrightarrow - x < 18\\
\Leftrightarrow x > - 18
\end{array}\)  

Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x > -18\)                            

b) \(3 \leqslant \dfrac{{2x + 3}}{5}\)

\(\Leftrightarrow 15 \le 2x + 3\)

\(⇔15 - 3 \le 2x \)

\(\Leftrightarrow 12 \le 2x\)

\(\Leftrightarrow 6 \le x\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x \ge 6\)

c) \(\dfrac{{4x - 5}}{3} > \dfrac{{7 - x}}{5}\)

\(\Leftrightarrow 5\left( {4x - 5} \right) > 3\left( {7 - x} \right)\)

\(⇔20x – 25 > 21 – 3x\)

\(⇔20x + 3x > 21 + 25\)

\(⇔23x > 46\)

\(⇔x > 46 : 23\)            

\(⇔x > 2\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x > 2\)              

d) \(\dfrac{{2x + 3}}{{ - 4}} \geqslant \dfrac{{4 - x}}{{ - 3}}\)

\(\Leftrightarrow \left( { - 12} \right)\left( {\dfrac{{2x + 3}}{{ - 4}}} \right) \leqslant \left( { - 12} \right)\left( {\dfrac{{4 - x}}{{ - 3}}} \right)\)

\(⇔3(2x + 3) ≤ 4(4 – x)\)

\(⇔ 6x + 9 ≤ 16 – 4x\)

\(⇔6x + 4x ≤ 16 – 9\)

\(⇔  10x ≤ 7\)

\(⇔x \le \dfrac{7}{{10}}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le \dfrac{7}{{10}}\)

Bài 42 trang 53 SGK Toán 8 tập 2

Giải các bất phương trình:

a) \(3 - 2x > 4\);

b) \(3x + 4 < 2\);

c) \({\left( {x - 3} \right)^2} < {x^2} - 3\);

d) \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) < {\left( {x + 2} \right)^2} + 3\).

Hướng dẫn giải

a) \(3 - 2x > 4 ⇔ 3 – 4 > 2x ⇔ -1 > 2x\)

\(⇔x < \dfrac{{ - 1}}{2}\)                  

Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x < \dfrac{{ - 1}}{2}\)                

b) \(3x + 4 < 2 ⇔3x < 2 – 4 ⇔ 3x < -2 \)\(\,⇔x < \dfrac{{ - 2}}{3}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x < \dfrac{{ - 2}}{3}\)

c) \({\left( {x - 3} \right)^2} < {x^2} - 3\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 9 < {x^2} - 3 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 6x - {x^2} < - 3 - 9 \cr 
& \Leftrightarrow - 6x < - 12 \cr 
& \Leftrightarrow x > \left( { - 12} \right):\left( { - 6} \right) \cr 
& \Leftrightarrow x > 2 \cr} \)

Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x > 2\).                              

d) \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) < {\left( {x + 2} \right)^2} + 3\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {x^2} - 9 < {x^2} + 4x + 4 + 3 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - {x^2} - 4x < 4 + 3 + 9 \cr 
& \Leftrightarrow - 4x < 16 \cr 
& \Leftrightarrow x > 16:\left( { - 4} \right) \cr 
& \Leftrightarrow x > - 4 \cr} \)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x > -4\).

Bài 43 trang 53 SGK Toán 8 tập 2

Tìm x sao cho:

a) Giá trị của biểu thức \(5 - 2x\) là số dương;

b) Giá trị của biểu thức \(x + 3\) nhỏ hơn giá trị của biểu thức \(4x - 5\);

c) Giá trị của biểu thức \(2x +1\) không nhỏ hơn giá trị của biểu thức \(x + 3\);

d) Giá trị của biểu thức \({x^2} + 1\) không lớn hơn giá trị của biểu thức \({\left( {x - 2} \right)^2}\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có bất phương trình \(5 – 2x > 0\).

\(⇔5 > 2x\)

\(⇔ x < \dfrac{5}{2}\)

Vậy để \(5 - 2x\) là số dương thì \(x < \dfrac{5}{2}\)

b) Ta có bất phương trình: \(x + 3 < 4x - 5\)

\(⇔x - 4x < -5 - 3\)

\(⇔-3x < -8\)

\(⇔x > \dfrac{8}{3}\)

Vậy để cho \(x + 3\) nhỏ hơn \(4x - 5\) thì \(x >\dfrac{8}{3}\) .

c) Ta có bất phương trình: \(2x +1 ≥ x + 3\)

\(⇔  2x - x ≥ 3 - 1\) 

\(⇔ x ≥ 2\) 

Vậy để cho \(2x +1\) không nhỏ hơn giá trị của biểu thức \(x + 3\) thì \(x ≥ 2\)

d) Ta có bất phương trình: \({x^2} + 1 \leqslant {\left( {x - 2} \right)^2}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {x^2} + 1 \le {x^2} - 4x + 4 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - {x^2} + 4x \le 4 - 1 \cr 
& \Leftrightarrow 4x \le 3 \cr 
& \Leftrightarrow x \le {3 \over 4} \cr} \)

Vậy giá trị của biểu thức \({x^2} + 1\) không lớn hơn giá trị của biểu thức \({\left( {x - 2} \right)^2}\) thì \(x \leqslant \dfrac{3}{4}\)

Bài 44 trang 54 SGK Toán 8 tập 2

Đố: Trong một cuộc thi đố vui. Ban tổ chức quy định mỗi người dự thi phải trả lời 10 câu hỏi ở vòng sơ tuyển. Mỗi câu hỏi này có sẵn 4 đáp án, nhưng trong đó chỉ có 1 đáp án đúng. Người dự thi chọn đáp án đúng sẽ được 5 điểm, chọn đáp án sai sẽ bị trừ đi 1 điểm. Ở vòng sơ tuyển, Ban tổ chức tặng cho mỗi người dự thi 10 điểm và quy định người nào có tổng số điểm từ 40 trở lên mới được dự thi ở vòng tiếp theo. Hỏi người dự thi phải trả lời chính xác bao nhiêu câu hỏi ở vòng sơ tuyển thì mới được dự thi tiếp ở vòng sau?

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là số câu trả lời đúng  (\(0 ≤ x ≤ 10, x\) nguyên).

Số câu trả lời sai là: \(10 - x\) (câu)

Sau khi trả lời \(10\) câu thì số điểm của người dự thi sẽ là: \(5x - (10 - x) + 10\) (điểm)

Để được dự thi tiếp vòng sau thì người dự thi phải có tổng số điểm từ \(40\) điểm trở lên nên ta có bất phương trình:

\(5x - (10 - x ) +10 ≥ 40\)

\(  ⇔ 5x  - 10  + x + 10 ≥ 40\)

\(⇔6x  ≥ 40\)

\(⇔ x ≥\dfrac{{20}}{3}\)

Vì \(x\) là số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng \(10\) nên \(\dfrac{{20}}{3} \le x \le 10\)

Vậy người dự thi phải trả lời chính xác ít nhất \(7\) câu hỏi thì mới được dự thi tiếp ở vòng sau.

Bài 45 trang 54 SGK Toán 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) \(|3x| = x + 8\);

b) \(|-2x| = 4x + 18\);

c) \(|x - 5| = 3x\);

d) \(|x + 2| = 2x - 10\).

Hướng dẫn giải

a) \(|3x| = x + 8\)

⇔\(\left[ {\matrix{{3x = x + 8\text{  nếu  }x \ge 0} \cr { - 3x = x + 8\text{  nếu  }x < 0} \cr} } \right.\)

⇔\(\left[ {\matrix{{2x = 8}\text{  nếu }x\ge 0 \cr { - 4x = 8} \text{  nếu } x<0\cr} } \right.\)

⇔\(\left[ {\matrix{{x = 4 }\text{  (thỏa mãn)} \cr {x = - 2 }\text{  (thỏa mãn)} \cr} } \right.\)

Vậy tập nghiệm \(S = \{4;-2\}\).

b) \(|-2x| = 4x + 18\) 

\(⇔ \left[ {\matrix{{2x = 4x + 18\text{  nếu  }x > 0} \cr { - 2x = 4x + 18\text{  nếu }x \le 0} \cr} } \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ - 2x = 18}\text{ nếu } x>0 \cr { - 6x = 18}\text{  nếu }x\le0 \cr} } \right.\)

\(⇔\left[ {\matrix{{x = - 9}\text{ (loại)} \cr {x = - 3} \text{ (thỏa mãn)}\cr} } \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \{-3\}\).

c) \(|x - 5| = 3x \)

\(⇔\left[ {\matrix{{x - 5 = 3x\text{  nếu  }x \ge 5} \cr { - x + 5 = 3x\text{  nếu  }x < 5} \cr} } \right.\)         

\(⇔\left[ {\matrix{{ - 5 = 2x} \text{  nếu }x\ge5\cr {5 = 4x} \text{  nếu }x<5\cr} } \right.\)

\(⇔\left[ {\matrix{{x = - \dfrac{5}{2}} \text{ (loại) }\cr {x = \dfrac{5}{4}}\text { (thỏa mãn) } \cr} } \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\dfrac{5}{4}} \right\}\)

d) \(|x + 2| = 2x – 10\)

\(⇔\left[ {\matrix{{x + 2 = 2x - 10\text{  nếu }x \ge - 2} \cr { - x - 2 = 2x - 10\text{  nếu }x < - 2} \cr} } \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x - 2x = - 10 - 2 \text{  nếu } x\ge- 2\hfill \cr 
- x - 2x = - 10 + 2 \text{  nếu }x<-2\hfill \cr}\right.\)

\(⇔\left[ {\matrix{{x = 12}\text{ (thỏa mãn)} \cr {x = \dfrac{8}{3}} \text{ (loại)}\cr} } \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S =\{12 \}\).