Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 18 (Sgk tập 1 - trang 11)

Hãy tìm cách giúp bạn A khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ 

a) \(x^2+6xy+.....=\left(......+3y\right)^2\)

b) \(.....-10xy+25y^2=\left(.....-.....\right)^2\)

Hãy nêu một đề bài tương tự ?

Hướng dẫn giải

a) x2 + 2 . x . 3y + … = (…+3y)2

x2 + 2 . x . 3y + (3y)2 = (x + 3y)2

Vậy: x2 + 6xy +9y2 = (x + 3y)2

b) …-2 . x . 5y + (5y)2 = (… - …)2;

x2 – 2 . x . 5y + (5y)2 = (x – 5y)2

Vậy: x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2

Bài 16 (Sgk tập 1 - trang 11)

Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu

a) \(x^2+2x+1\)

b) \(9x^2+y^2+6xy\)

c) \(25a^2+4b^2-20ab\)

d) \(x^2-x+\dfrac{1}{4}\)

Hướng dẫn giải

a) x2 + 2x + 1 = x2 + 2.x.1+ 12 = ( x + 1)2

b) 9x2 + y2 + 6xy = (3x)2 + 2.3.x.y + y2 = (3x + y)2

c) 25a2 + 4b2 – 20ab = (5a)2 – 2.5.a.2b. + (2b)2 = (5a – 2b)2

Hoặc 25a2 + 4b2 – 20ab = (2b)2 – 2.2b.5a. + (5a)2 = (2b – 5a)2

d) x2 – x + \(\dfrac{1}{4}\) = x2 – 2.x. \(\dfrac{1}{2}\) + ( \(\dfrac{1}{2}\))22 = ( x - \(\dfrac{1}{2}\) )2

Hoặc x2 – x + \(\dfrac{1}{4}\) = \(\dfrac{1}{4}\) - x + x2 = (\(\dfrac{1}{2}\))2 – 2. \(\dfrac{1}{2}\).x + x2 = (\(\dfrac{1}{2}\) - x)2

Bài 17 (Sgk tập 1 - trang 11)

Chứng minh rằng :

                 \(\left(10a-5\right)^2=100a.\left(a+1\right)+25\)

Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5

Áp dụng để tính : \(25^2;35^2;65^2;75^2\)

Hướng dẫn giải

Ta có: (10a + 5)2 = (10a)2 + 2 .10a . 5 + 52

= 100a2 + 100a + 25

= 100a(a + 1) + 25.

Cách tính nhẩm bình thường của một số tận cùng bằng chữ số 5;

Ta gọi a là số chục của số tự nhiên có tận cùng bằng 5 => số đã cho có dạng 10a + 5 và ta được

(10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25

Vậy để tính bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bởi chữ số 5 ta tính tích a(a + 1) rồi viết 25 vào bên phải.

Áp dụng;

- Để tính 252 ta tính 2(2 + 1) = 6 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 625.

- Để tính 352 ta tính 3(3 + 1) = 12 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 1225.

- 652 = 4225

- 752 = 5625.


Luyện tập - Bài 22 (Sgk tập 1 - trang 12)

Tính nhanh :

a) \(101^2\)

b) \(199^2\)

c) \(47.53\)

Hướng dẫn giải

rất đơn giản chưa thấy ai đúng

\(101^2=\left(100+1\right)^2=100^2+2.100+1=10201\)

Luyện tập - Bài 25 (Sgk tập 1 - trang 12)

Tính :

a) \(\left(a+b+c\right)^2\)

b) \(\left(a+b-c\right)^2\)

c) \(\left(a-b-c\right)^2\)

Hướng dẫn giải

a) \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)

b) \(\left(a+b-c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc\)

c) \(\left(a-b-c\right)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc\)

Bài 19 (Sgk tập 1 - trang 12)

Đố : Tính diện tích phần hình còn lại mà không cần đo

Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng a - b (cho a > b). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu ? Diện tích phần hình còn lại  có phụ thuộc vào vị trí cắt không ?

Hướng dẫn giải

Bài giải:
Diện tích của miếng tôn là (a + b)2

Diện tích của miếng tôn phải cắt là (a – b)2.

Phần diện tích còn lại là (a + b)2 - (a – b)2.

Ta có: (a + b)2 - (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 – (a2 – 2ab + b2)

= a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2

= 4ab

Vậy phần diện tích hình còn lại là 4ab và không phụ thuộc vào vị trí cắt.

Luyện tập - Bài 23 (Sgk tập 1 - trang 12)

Chứng minh rằng :

\(\left(a+b\right)^2=\left(a-b\right)^2+4ab\)

\(\left(a-b\right)^2=\left(a+b\right)^2-4ab\)

Áp dụng :

a) Tính \(\left(a-b\right)^2\), biết \(a+b=7\) và \(a.b=12\)

b)  Tính \(\left(a+b\right)^2\), biết \(a-b=7\) và \(a.b=3\)

 

Hướng dẫn giải

Bài giải:

a) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

- Biến đổi vế trái:

(a + b)2 = a2 +2ab + b2 = a2 – 2ab + b2 + 4ab

= (a – b)2 + 4ab

Vậy (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

- Hoặc biến đổi vế phải:

(a – b)2 + 4ab = a2 – 2ab + b2 + 4ab = a2 + 2ab + b2

= (a + b)2

Vậy (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

b) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab

Biến đổi vế phải:

(a + b)2 – 4ab = a2 +2ab + b2 – 4ab

= a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Vậy (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab

Áp dụng: Tính:

a) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab = 72 – 4 . 12 = 49 – 48 = 1

b) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab = 202 + 4 . 3 = 400 + 12 = 412

Luyện tập - Bài 24 (Sgk tập 1 - trang 12)

Tính giá trị của biểu thức \(49x^2-70x+25\) trong mỗi trường hợp sau :

a) \(x=5\)

b) \(x=\dfrac{1}{7}\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

49x2 – 70x + 25 = (7x)2 – 2 . 7x . 5 + 52 = (7x – 5)2

a) Với x = 5: (7 . 5 – 5)2 = (35 – 5)2 = 302 = 900

b) Với x = 17: (7 . 17 – 5)2 = (1 – 5)2 = (-4)2 = 16

Luyện tập - Bài 20 (Sgk tập 1 - trang 12)

Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau :

        \(x^2+2xy+4y^2=\left(x+2y\right)^2\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

Nhận xét sự đúng, sai:

Ta có: (x + 2y)2 = x2 + 2 . x . 2y + 4y2

= x2 + 4xy + 4y2

Nên kết quả x2 + 2xy + 4y2 = (x + 2y)2 sai.

Luyện tập - Bài 21 (Sgk tập 1 - trang 12)

Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu :

a) \(9x^2-6x+1\)

b) \(\left(2x+3y\right)^2+2\left(2x+3y\right)+1\)

Hãy nêu một đề tài tương tự.

Hướng dẫn giải

a) 9x2 – 6x + 1 = (3x)2 – 2 . 3x . 1 + 12 = (3x – 1)2

Hoặc 9x2 – 6x + 1 = 1 – 6x + 9x2 = (1 – 3x)2

b) (2x + 3y) = (2x + 3y)2 + 2 . (2x + 3y) . 1 + 12

= [(2x + 3y) + 1]2

= (2x + 3y + 1)2

Đề bài tương tự. Chẳng hạn:

1 + 2(x + 2y) + (x + 2y)2

4x2 – 12x + 9…