Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Định lý đảo và hệ quả của định lý Talet

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 6 (Sgk tập 2 - trang 62)

Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình 13 và giải thích vì sao chúng song song ?

Hướng dẫn giải

Trên hình 13a ta có:

APPB = 38; AMMC= 515 = 133813 nên APPBAMMC => PM và MC không song song.

Ta có CNNB=217=3CMMA=155=3}=>CMMA=CNNB => MN//AB

Trong hình 13b

Ta có: OAAA = 23; OBBB = 34,5 = 23

=>

Bài 7 (Sgk tập 2 - trang 62)

Tính các độ dài \(x,y\) trong hình 14

Hướng dẫn giải

* Trong hình 14a

2016-01-15_205217

mà DE = MD + ME = 9.5 + 28 = 37.5

2016-01-15_205257

* Trong hình 14b

Ta có A’B’ ⊥ AA'(gt) và AB ⊥ AA'(gt)

=> A’B’ // AB =>

2016-01-15_205338

2016-01-15_205347

∆ABO vuông tại A

=> OB2 = y2 = OA2 + AB2

=> y2 = 62+ 8,42

=> y2 = 106,56

=> y ≈ 10,3

Bài 8 (Sgk tập 2 - trang 63)

a) Để chia đoạn thẳng AB thành 3 đoạn bằng nhau, người ta đã làm như hình 15

Hãy mô tả cách làm trên và giải thích vì sao các đoạn thẳng AC, CD, DB bằng nhau ?

b) Bằng cách làm tương tự, hãy chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau. Hỏi có cách nào khác với với cách làm như thế mà vẫn có thể chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn thẳng bằng nhau ?

Hướng dẫn giải

a) Mô tả cách làm:

Vẽ đoạn PQ song song với AB. PQ có độ dài bằng 3 đơn vị

– Xác định giao điểm O của hai đoạn thẳng PB và QA.

– Vẽ các đường thẳng EO, FO cắt AB tại C và D.

Chứng minh AC=CD=DB

∆OPE và ∆OBD có PE//DB nên

2016-01-15_205717

∆OEF và ∆ODC có PE // CD nên

2016-01-15_205727

Từ 1 và 2 suy ra:

2016-01-15_205825

mà PE = EF nên DB = CD.

Chứng minh tương tự:

Vây: DB = CD = AC.

b) Tương tự chia đoạn thẳng AB thành 5 đoạn bằng nhau thực hiện như hình vẽ sau:

Ta có thể chia đoạn thẳng AB thành 5 đoạn thẳng bằng nhau như cách sau:

Vẽ 6 đường thẳng song song cách đều nhau( có thể dùng thước kẻ để vẽ liên tiếp). Đặt đầu mút A và B ở hai đường thẳng ngoài cùng thì các đường thẳng song song cắt AB chia thành 5 phần bằng nhau.

Bài 9 (Sgk tập 2 - trang 63)

Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh AB sao cho AD = 13,5cm, DB = 4,5cm. Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC ?

Hướng dẫn giải

2016-01-15_210440

Gọi DE và BF lần lượt là khoảng cách từ B và D đến cạnh AC.

Ta có DE // BF (cùng vuông góc với AC)

Áp dụng hệ quả của định lí ta – lét đối với ΔABF ta có:

Có AB = AD + DB

=> AB = 13,5 + 4,5 = 18 (cm)

2016-01-15_211155

2016-01-15_211308

Vậy tỉ số khoảng cách từ điểm D và B đến AC bằng 0,75.

Luyện tập - Bài 10 (Sgk tập 2 - trang 63)

Tam giác ABC có đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC, cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B', C' và H' (h.16)

a) Chứng minh rằng :

                          \(\dfrac{AH'}{AH}=\dfrac{B'C'}{BC}\)

b) Áp dụng : Cho biết \(AH'=\dfrac{1}{3}AH\) và diện tích tam giác ABC là \(67,5cm^2\). Tính diện tích tam giác AB'C' ?

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh AH′AHAH′AH = B′C′BCB′C′BC

Vì B'C' // với BC => B′C′BCB′C′BC = AB′ABAB′AB (1)

Trong ∆ABH có BH' // BH => AH′AHAH′AH = AB′BCAB′BC (2)

Từ 1 và 2 => B′C′BCB′C′BC = AH′AHAH′AH

b) B'C' // BC mà AH ⊥ BC nên AH' ⊥ B'C' hay AH' là đường cao của tam giác AB'C'.

Áp dụng kết quả câu a) ta có: AH' = 1313 AH

B′C′BCB′C′BC = AH′AHAH′AH = 1313 => B'C' = 1313 BC

=> SAB’C’= 1212 AH'.B'C' = 1212.1313AH.1313BC

=>SAB’C’= (1212AH.BC)1919

mà SABC= 1212AH.BC = 67,5 cm2

Vậy SAB’C’= 1919.67,5= 7,5 cm2


Luyện tập - Bài 11 (Sgk tập 2 - trang 63)

Tam giác ABC có BC = 15cm. Trên đường cao AH lấy điểm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường EF // BC, MN //BC (h.17)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF

b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là \(270cm^2\)

Hướng dẫn giải

a)

∆ABC có MN // BC.

=> MNCB = AKAH(kết quả bài tập 10)

Mà AK = KI = IH

Nên AKAH = 13 => MNCB = 13 => MN = 13BC = 13.15 = 5 cm.

∆ABC có EF // BC => EFBC = AIAH = 23

=> EF = 23.15 =10 cm.

b) Áp dụng kết quả ở câu b của bài 10 ta có:

SAMN= 19.SABC= 30 cm2

SAEF= 49.SABC= 120 cm2

Do đó SMNEF = SAEF - SAMN = 90 cm2

Luyện tập - Bài 12 (Sgk tập 2 - trang 64)

Có thể đo được chiều rộng của một khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia hay không ?

Người ta tiến hành đo đạc các yếu tố hình học cần thiết để tính chiều rộng của khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia (h.18). Nhìn hình vẽ đã cho, hãy mô tả những công việc cần làm và tính khoảng cách AB = x theo BC = a, B'C' = a', BB' = h

Hướng dẫn giải

Ta có:

ABAB = BCBC mà AB' = x + h nên

xx+h = aa <=> a'x = ax + ah

<=> a'x - ax = ah

<=> x(a' - a) = ah

x= ahaa

Vậy khoảng cách AB bằng

Luyện tập - Bài 13 (Sgk tập 2 - trang 64)

Có thể đo gián tiếp chiều cao của một bức tường khá cao bằng dụng cụ đơn giản được không ?

Hình 19 thể hiện cách đo chiều cao AB của một bức tường bằng các dụng cụ đơn giản gồm :

Hai cọc thẳng đứng (cọc (1) cố định; cọc (2) có thể di động được) và sợi dây FC. Cọc (1) có chiều cao DK = h. Các khoảng cách BC = a, DC = b đo được bằng thước dây thông dụng.

a) Em hãy cho biết người ta tiến hành đo đạc như thế nào ?

b) Tính chiều cao AB theo h, a, b ?

Hướng dẫn giải

- Đặt hai cọc thẳng đứng, di chuyển cọc 2 sao cho 3 điểm A,F,K nằm trên đường thẳng.

- Dùng sợi dây căng thẳng qua 2 điểm F và K để xác định điểm C trên mặt đất( 3 điểm F,K,C thẳng hàng).

b) ∆BC có AB // EF nên EFAB = ECBC => AB = EF.BCEC = h.ab

Vậy chiều cao của bức tường là: AB = h.ab.

Luyện tập - Bài 14 (Sgk tập 2 - trang 64)

Cho ba đoạn thẳng có độ dài là m, n, p (cùng đơn vị đo)

Dự đoạn thẳng có độ dài x sao cho

a) \(\dfrac{x}{m}=2\)

b) \(\dfrac{x}{n}=\dfrac{2}{3}\)

c) \(\dfrac{m}{x}=\dfrac{n}{p}\)

Hướng dẫn :

Câu b) :

- Vẽ hai tia Ox, Oy

- Trên Ox đặt đoạn thẳng OA = 2 đơn vị, OB = 3 đơn vị

- Trên tia Oy đặt đoạn thẳng OB' = n và xác định điểm A' sao cho 

                \(\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OA'}{OB'}\)

- Từ đó ta có \(OA'=x\)

Hướng dẫn giải

a) Cách dựng:

- Vẽ hai tia Ox, Oy không đối nhau.

- Trên tia Oy đặt điểm B sao cho OB = 2 đơn vị.

- Lấy trung điểm của OB,

- Nối MA.

- Vẽ đường thẳng đi qua B và song song với MA cắt Ox tại C thì OCOA = OBOM; OB = 2 OM

=> xm = 2

b) Cách dựng:

- Vẽ hai tia Ox và Oy không đối nhau.

- Trên tia Ox đặt hai đoạn OA= 2 đơn vị, OB= 3 đơn vị.

- Trên tia Oy đặt đoạn OB' = n

- Nối BB'

- Vẽ đường thẳng qua A song song với BB' cắt Oy tại A' và OA' = x.

Ta có: AA' // BB' => OAOB = OAOB

hay xn = 23

c) Cách dựng:

- Vẽ tia Ox, Oy không đối nhau.

- Trên tia Ox đặt đoạn OA= m, OB= n.

- Trên tia Oy đặt đoạn OB' = p.

- Vẽ đường thẳng qua A và song song với BB' cắt Oy tại A' thì OA' = x.

Thật vậy: AA' // BB' => OAx = OBOB hay mx = np