Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 44 (SGK - tập 2 trang 76)

Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Cho đoạn thẳng MA có độ dài 5cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn:

Điểm M thuộc đường trung trực của AB

=> MA = MB (định lí thuận)

Vì MA = 5cm nên MB = 5cm

Bài 45 (SGK - tập 2 trang 76)

Chứng minh đường thẳng PQ được vẽ như trong hình 43 đúng là đường trung trực của đoạn thẳng MN ?

Gợi ý : Sử dụng định lí 2

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn:

Ta có: Hai cung tròn tâm M và N có bán kính bằng nhau

Nên MP = NP và MQ = NQ => P; Q cách đều hai mút M, N của đoạn thẳng MN nên P; Q thuộc đường trung trực của MN hay đường thẳng qua P, Q là đường trung trực của MN

Bài 46 (SGK - tập 2 trang 76)

Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh 3 điểm A, D, E thẳng hàng ?

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn:

Vì ∆ABC cân tại A => AB = AC

=> A thuộc trung trực của BC

Vì ∆DBC cân tại D => DB = DC

=> D thuộc trung trực của BC

Vì ∆EBC cân tại E => EB = EC

=> E thuộc trung trực của BC

Do đó A, D, E thuộc đường trung trực của BC nên A, D, E thẳng hàng

Luyện tập - Bài 47 (SGK - tập 2 trang 76)

Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB

Chứng minh \(\Delta AMN=\Delta BMN\)

Hướng dẫn giải

Vì M thuộc đường trung trực của AB

=> MA = MB

N thuộc đường trung trực của AB

=> NA = NB

Do đó ∆AMN = ∆BMN (c.c.c)


Luyện tập - Bài 48 (SGK - tập 2 trang 77)

Hai điểm M và N cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy. Lấy điểm L đối xứng với M qua xy. Gọi I là một điểm của xy. Hãy so sánh IM + IN với LN ?

Hướng dẫn giải

ướng dẫn:

Vì L và M đối xứng qua đường thẳng xy. Nên đường thẳng xy là trung trực của ML

I ∈ xt => IM = IL

Nên IM + IN = IL + IN

+ Nếu I là giao điểm của NL và xy thì IL + IN = LN

+ Nếu I không là giao điểm của NL và xy thì ba điểm I, N, L không thẳng hàng

=> IL + IN > LN

Vậy với mọi vị trí của I trên xy thì IL + IN ≥ LN

Luyện tập - Bài 49 (SGK - tập 2 trang 77)

Hai nhà máy được xây dựng bên cùng một bờ sông tại hai điểm A và B (h.44). Hãy tìm trên bờ sông đó một điểm C để xây dựng trạm bơm đưa nước về cho hai nhà máy, sao cho độ dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất ?

Hướng dẫn giải

Áp dụng bài 48

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua đường thẳng xy chứa một bờ sông gần nhất

Ta có: CA + CB = CA' + CB ≥ A'B

Nên CA + CB ngắn nhất khi C là giao điểm của A'B với xy

Vậy điểm đặt trạm bơm là giao điểm của đường thẳng xy với đường thẳng qua điểm B và điểm A' đói xứng với A qua xy.

Luyện tập - Bài 50 (SGK - tập 2 trang 77)

Một con đường quốc lộ cách không xa hai điểm dân cư (h.45). Hãy tìm bên đường đó một địa điểm để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế này cách đều hai điểm dân cư ?

Hướng dẫn giải

Gọi A và B là hai điểm dân cư, C là điểm đặt trạm y tế.

Vì C cách đều AB nên C thuộc đường trung trực của AB mà C ∈ xy nên C là giao điểm của xy và đường trung trực của AB

Luyện tập - Bài 51 (SGK - tập 2 trang 77)

Cho đường thẳng d và điểm P không nằm trên d. Hình 46 minh họa cho cách dựng đường thẳng đi qua điểm P và vuông góc với đường thẳng d bằng thước và compa như sau :

(1) Vẽ đường tròn tâm P với bán kính thích hợp sao cho nó cắt d tại hai điểm A và B

(2) Vẽ hai đường tròn với bán kính bằng nhau có tâm tại A và B sao cho chúng cắt nhau. Gọi một giao điểm của chúng là C ( \(C\ne P\))

(3) Vẽ đường thẳng PC

Em hãy chứng minh đường thẳng PC vuông góc với d

Đố :

Tìm thêm một cách dựng nữa (bằng thước và compa)

Hướng dẫn giải

a) Ta có PA = PB (A, B nằm trên cung tròn có tâm P) CA = CB (hai cung tròn AB có tâm A và B có bán kính bằng nhau; C la giao điểm của 2 cung)

Vậy P; C cách đều A và B nên đường thẳng CP là đường trung trực của AB nên

PC ⊥ d

b) Một cách vẽ khác

- Lấy điểm A bất kì trên d

- Vẽ cung tròn tâm A bán kính AP cắt đường thẳng d tại M

- Vẽ cung tròn tâm M bán kính MP cắt cung tròn tâm A tại C

- Vẽ đường thẳng PC, đường thẳng PC chính là đường vuông góc với d.

=> PC ⊥ d (đpcm)