Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Tính chất đường phân giác của một góc

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 31 (SGK - tập 2 trang 70)

Hình 31 cho biết cách vẽ tia phân giác của góc xOy bằng thước hai lề :

- Áp dụng một của thước và cạnh Ox, kẻ đường thẳng a theo lề kia

- Làm tương tự với đường thẳng b

- Gọi M là giao điểm của a và b, ta cso OM là tia phân giác của góc xOy

Hãy chứng minh tia OM được vẽ như vậy đúng là tia phân giác của góc xOy

(Gợi ý : Dựa vào bài tập 12 chứng minh các khoảng cách từ M đề Ox và đến Oy bằng nhau (do cùng bằng khoảng cách hai lề của chiếc thước) rồi áp dụng định lí 2)

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn :

Theo cách vẽ thì M cách đều hai cạnh Ox, Oy (cùng bằng khoảng cách 2 lề của chiếc thước

Vì M cách đều Ox, Oy nên theo định lí đảo M thuộc phân giác của ˆxOyxOy^ hay OM là phân giác của ˆ

Bài 32 (SGK - tập 2 trang 70)

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác hai góc ngoài \(B_1;C_1\) (H.32) nằm trên tia phân giác của góc A ?

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn :

Gọi M là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài B và C của ∆ABC

Kẻ MH ⊥ AB; MI ⊥ BC; MK ⊥ AC

( H ∈ AB, I ∈ BC, K ∈ AC)

Ta có: MH = MI (Vì M thuộc phân giác của góc B ngoài)

MI = MK (Vì M thuộc phân giác của góc C ngoài)

Suy ra : MH = MK

=> M thuộc phân giác của góc ˆBACBAC^

Luyện tập - Bài 33 (SGK - tập 2 trang 70)

Cho hai đường thẳng \(xx';yy'\) cắt nhau tại O (h.33)

a) Chứng minh hai tia phân giác Ot, Ot' của một cặp góc kề bù tạo thành một góc vuông

b) Chứng minh rằng : Nếu M thuộc đường thẳng Ot hoặc thuộc đường thẳng Ot' thì M cách đều hai đường thẳng \(xx';yy'\)

c) Chứng minh rằng : Nếu điểm M cách đều hai đường thẳng \(xx';yy'\) thì M thuộc đường thẳng Ot hoạc thuộc đường thẳng Ot'

d) Khi \(M\equiv O\) thì các khoảng cách từ M đến \(xx';yy'\)bằng bao nhiêu ?

e) Em có nhận xét gì về tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau \(xx';yy'\)

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn:

a) Vì Ot là phân giác của ˆxOyxOy^

nên ˆyOtyOt^ = ˆxOtxOt^ = 1212ˆxOyxOy^

Ot' là phân giác của ˆxOy′xOy′^

nên ˆxOt′xOt′^ = ˆy′Ot′y′Ot′^ = 1212ˆxOy′xOy′^

=> ˆxOtxOt^ + ˆxOt′xOt′^ = 1212ˆxOyxOy^ + 1212ˆxOy′xOy′^ = 1212(ˆxOyxOy^ + ˆxOy′xOy′^)

mà (ˆxOyxOy^ + ˆxOy′xOy′^) = 1800 (2 góc kề bù)

=> ˆxOtxOt^ + ˆxOt′xOt′^ = 12121800 = 900

Vậy hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông

b) Nếu M thuộc Ot hoặc Ot' thì M cách đều hai đường thẳng xx' và yy'

Thật vậy: M ε Ot do Ot là phân giác của ˆxOyxOy^ nên M cách đều Ox, Oy

=> M cách đều xx',yy'

M ε Ot'do Ot' là phân giác của ˆxOy′xOy′^ nên M cách đều xx', yy'

=> M cách đều xx',yy'

c) M cách đều hai đường thẳng xx', yy'

Nếu M nằm trong một góc trong bốn góc ˆxOyxOy^, ˆxOy′xOy′^, ˆx′Oy′x′Oy′^, ˆx′Oyx′Oy^ thì M phải thuộc phân giác của góc ây tức M phải thuộc Ot hoặc Ot'

d) Khi M ≡ O thì khoảng cách từ M đến xx', yy' bằng 0

e) Từ các câu trên ta có nhận xét: Tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx', yy' thuộc hai đường thẳng vuông góc nhau lần lượt là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó.

Luyện tập - Bài 34 (SGK - tập 2 trang 71)

Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B, trên tia Oy lấy hai điểm C và D sao cho OA = OC, OB = OD. Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng AD và BC. Chứng minh rằng 

a) BC = AD

b) IA = IC; IB = ID

Hướng dẫn giải

a) ∆AOD và ∆COB có:

OC =OA (gt)

OB = OD (gt)

xOy^ là góc chung

=> ∆AOD = ∆COB (cgc)

=> AD = BC

b) ∆AOD = ∆COB => AOD^=OCB^

=> BAI^=DCI^ (kề bù với hai góc bằng nhau)

Vì vậy ∆DIC = ∆BIA do:

CD = AB ( OD = OB; OC = OA)

DCI^=ABI^ ( ∆AOD = ∆COB)

BAI^=DCI^ (chứng minh trên)

=> IC = IA và ID = IB

c) Ta có ∆OAI = ∆OIC (c.c.c)=> COI^=AOI^

=> OI là phân giác của

Luyện tập - Bài 35 (SGK - tập 2 trang 71)

Có mảnh sắt phẳng hình dạng một góc (h.34) và một chiếc thước thẳng có chia khoảng. Làm thế nào để vẽ được tia phân giác của góc này ?

Gợi ý : Áp dụng bài tập 34

Hướng dẫn giải

Giả sử góc xOy, Ox là tia trên, Oy là tia dưới.
Dùng thước chia khoảng đo rồi lấy A trên Ox, C trên Oy sao cho OA = OC
Dùng thước chia khoảng đo rồi lấy B trên Ox, D trên Oy sao cho OB = OD
Tìm giao điểm của BC và AD là I
Vẽ OI là phân giác góc xOy