Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 23 (SGK - tập 2 trang 66)

Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH (h.24)

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng ?

         \(\dfrac{DG}{DH}=\dfrac{1}{2};\dfrac{DG}{GH}=3\)

          \(\dfrac{GH}{DH}=\dfrac{1}{3};\dfrac{GH}{DG}=\dfrac{2}{3}\)

Hướng dẫn giải

G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH. Khẳng định đúng là:

GHDH=13GHDG=23

nên DHGHDH=323

Tức là: GHDH=13

Bài 24 (SGK - tập 2 trang 66)

Cho hình 25.

Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau

a) MG = .......MR; GR = ....MR; GR = .... MG

b) NS =........NG; NS = ........GS; NG = ......GS

Hướng dẫn giải

Từ hình vẽ ta thấy: S, R là hai trung điểm của hai đoạn thẳng trong tam giác nên NS và MR là hai đường trung tuyến.

G là giao của hai đường trung tuyến nên G là trọng tâm của ΔMNS, do đó ta có thể điền:

Giải bài 24 trang 66 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7

Bài 25 (SGK - tập 2 trang 67)

Biết rằng : Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Hãy giải bài toán sau:

Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC ?

Hướng dẫn giải

∆ABC vuông tại A => BC2 = AB2 + AC2

BC2 = 32 + 42

BC2 = 25

BC = 5

Gọi M là trung điểm của BC => AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên AM = 12 BC

Vì G là trọng tâm của ∆ ABC nên AG =23 AM => AG =23.12 BC

=> AG = 13 BC = 13 .5 = 1.7cm

Luyện tập - Bài 26 (SGK - tập 2 trang 67)

Chứng minh định lí : Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau ?

Hướng dẫn giải

Giả sử ∆ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta chứng minh BM = CN

Vì ∆ ABC cân tại A=> AB = AC mà M, N là trung điểm AC, AB nên CM = BN

Do đó ∆CMB ;∆BNC có:

BC chung

CM = BN (cm trên)

AB = AC (∆ABC cân)

=> BM = CN

Luyện tập - Bài 27 (SGK - tập 2 trang 67)

Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên : Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân ?

Hướng dẫn giải

Giả sử ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN gặp nhau ở G

=> G là trọng tâm của tam giác

=> GB = BM; GC = CN

mà BM = CN (giả thiết) nên GB = GC

=> ∆GBC cân tại G => GCB^=GBC^

do đó ∆BCN = ∆CBM vì:

BC là cạnh chung

CN = BM (gt)

GCB^=GBC^ (cmt)

=> NBC^=MCB^ => ∆ABC cân tại A

Luyện tập - Bài 28 (SGK - tập 2 trang 67)

Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI

a) Chứng minh \(\Delta DEI=\Delta DFI\)

b) Cho biết số đo của hai góc DIE và DIF

c) Biết DE = DF = 13 cm, EF = 10 cm. Hãy tính độ dài đường trung tuyến DI ?

 

Hướng dẫn giải

a) ∆DEI = ∆DFI có:

DI là cạnh chung

DE = DF ( ∆DEF cân)

IE = IF (DI là trung tuyến)

=> ∆DEI = ∆DFI (c.c.c)

b) Vì ∆DEI = ∆DFI => DIE^=DIF^

DIE^+DIF^ = 1800 ( kề bù)

nên DIE^=DIF^ = 900

c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm

∆DEI vuông tại I => DI2 = DE2 – EI2 (định lí pytago)

=> DI2 = 132 – 52 = 144

=> DI = 12

Luyện tập - Bài 29 (SGK - tập 2 trang 67)

Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng :

                         \(GA=GB=GC\)

Hướng dẫn : Áp dụng định lí ở bài tập 26 - Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau

Hướng dẫn giải

ướng dẫn:

Gọi M, N, E là giao điểm của AG, BG, CG với BC, CA, AB.

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên

GA = 2323AM; GB = 2323BN; GC = 2323CE (1)

Vì ∆ABC đều nên ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau

=> AM = BN = CE (2)

Từ (1), (2) => GA = GB = GC

Luyện tập - Bài 30 (SGK - tập 2 trang 67)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G' sao cho G là trung điểm của AG'

a) So sánh các cạnh của tam giác BGG' với các đường trung tuyến của tam giác ABC

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG' với các cạnh của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn làm bài:

a)So sánh các cạnh của ∆BGG’ với các đường trung tuyến của ∆ABC

BG cắt AC tại N

CG cắt AB tại E

G là trọng tâm của ∆ABC

=> GA=23AMGA=23AM

Mà GA = GG’ (G là trung điểm của AG’)

=> GG′=23AMGG′=23AM

Vì G là trọng tâm của ∆ABC => GB=23BNGB=23BN

Mặt khác :

M là trung điểm GM=12AG(TT)AG=GG′(Gt)}=>GM=12GG′GM=12AG(TT)AG=GG′(Gt)}=>GM=12GG′

Do đó ∆GMC=∆G’MB vì ⎧⎪⎨⎪⎩GM=MG′MB=MCˆGMC=ˆG′MB{GM=MG′MB=MCGMC^=G′MB^

=> BG′=CGCG=23CEBG′=CGCG=23CE (G là trọng tâm tam giác ABC)

=>BG′=23CE=>BG′=23CE

Vậy mỗi cạnh của ∆BGG’ bằng 2323 đường trung tuyến của ∆ABC

b)So sánh các đường trung tuyến của ∆BGG’ với cạnh ∆ABC.

-Ta có: BM là đường trung tuyến ∆BGG’

Mà M là trung điểm của BC nên BM=12BCBM=12BC

IG=12BGIG=12BG (Vì I là trung điểm BG)

GN=12BGGN=12BG (G là trọng tâm)

=> IG = GN

Do đó ∆IGG’=∆NGA (c.g.c) => IG′=AN=>IG′=AC2IG′=AN=>IG′=AC2

-Gọi K là trung điểm BG => GK là trung điểm ∆BGG’

GE=12GCGE=12GC (G là trọng tâm tam giác ABC)

BG' = GC (Chứng minh trên)

=>GE=12BG=>GE=12BG

Mà K là trung điểm BG’ =>KG’ = EG

Vì ∆GMC = ∆G’MB (chứng minh trên)

=> ˆGCM=ˆG′BMGCM^=G′BM^ (So le trong)

=>CE // BG’ => ˆAGE=ˆAG′BAGE^=AG′B^ (đồng vị)

Do đó ∆AGE = ∆GG’K (c.g.c) =>AE = GK

AE=12AB⇒GK=12AB