Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 52 (SGK - tập 2 trang 79)

Chứng minh định lí : Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là một tam giác cân

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn:

Xét tam giác ABC với AH là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực nên

AH ⊥ BC và HB = HC

Xét hai tam giác vuông HAB và HAC có:

HB = HC

ˆH1=ˆH2H1^=H2^ = 900

AH: cạnh chung

Nên ∆HAB = ∆HAC => AB = AC

Vậy ∆ABC cân tại A

Bài 53 (SGK - tập 2 trang 80)

Ba gia đình quyết định đào chung một cái giếng (h.50). Phải chọn vị trí của giếng ở đây để các khoảng cách từ giếng đến các nhà bằng nhau ?

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn:

Vì điểm đào giếng cách ba ngôi nhà (ba ngôi nhà không cùng nằm trên một đường thẳng) nên điểm đó chính là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh trong tam giác có đỉnh là ba ngôi nhà.

Bài 54 (SGK - tập 2 trang 80)

Vẽ đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC trong các trường hợp sau 

a) \(\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C}\) đều nhọn

b) \(\widehat{A}=90^0\)

c) \(\widehat{A}>90^0\)

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn:

Đường tròn đi qua ba dỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Đẻ vẽ đường tròn ngoại tiếp ta cần xác định tâm của đường tròn đó. Muốn xác định tâm ta vẽ hai đường trung trực và giao điểm hai đường trung trực ( cũng là giao điểm của ba trung trực cần tìm)

Nhận xét:

- Nếu tam giác có ba góc đều nhọn thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trong tam giác.

- Nếu tam giác có góc vuông thì tâm đường tròn nằm trên cạnh huyền ( tâm là trung điểm của cạnh huyền)

- Nếu tam giác có góc tù thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ngoài tam giác

Bài 55 (SGK - tập 2 trang 80)

Cho hình 51 :

Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng

Gợi ý : Chứng minh \(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^0\)

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn:

Từ hình vẽ ta có:

DK là trung trực của Ac, DI là đường trung trực của AB. Do đó ∆ADK = ∆CDK (c.c.c)

=> ˆADK=ˆCDKADK^=CDK^

hay DK là phân giác ˆADCADC^

=> ˆADKADK^ = 1212ˆADCADC^

∆ADI = ∆BDI (c.c.c)

=> ˆADI=ˆBDIADI^=BDI^

=> DI là phân giác ˆADBADB^

=> ˆADIADI^ = 1212 ˆADBADB^

Vì AC // DI ( cùng vuông góc với AB) mà DK ⊥ AC

=> DK ⊥ DI

hay ˆADKADK^ + ˆADIADI^ = 900

Do đó 1212ˆADCADC^ + 1212 ˆADBADB^ = 900

=> ˆADCADC^ + ˆADBADB^ = 1800

Bài 56 (SGK - tập 2 trang 80)

Sử dụng bài 55 để chứng minh rằng : Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền của tam giác đó 

Từ đó hãy tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông theo độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông ?

Hướng dẫn giải

a) Giả sử ∆ABC vuông góc tại A. Vẽ hai đường trung trực của hai cạnh góc vuông AB, AC cắt nhau tại M. Ta chứng minh M là trung điểm của BC.

Vì M là giao điểm hai đường trung trực d1, d2

của AB, AC mà AB ⊥ AC nên B, M, C thẳng hàng (bài tập 55)

Vì MA = MB (M thuộc đường trung trực của AB)

MA = MC (M thuộc đường trung trực của AC)

=> MB = MC

Do B, M, C thẳng hàng và M cách đều BC nên M là trung điểm của BC

b) M là trung điểm Bc => MB = 1212 BC

mà AM = MB nên MA =1212 BC

Vậy độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng một nửa độ dài cạnh huyền.

Bài 57 (SGK - tập 2 trang 80)

Có một chi tiết máy (mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy (h.52)

Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này ?

Hướng dẫn giải

Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài, suy ra ∆ABC có đường tròn ngoại tiếp chính là đường viền ngoài. Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp chính là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC nên ban kính là độ dài đoạn thẳng từ giao điểm O đến A