Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Bài 6: Bất phương trình mũ và logarit

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Câu hỏi 1 trang 86 SGK Giải tích 12

Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình: \({a^x} \ge {\rm{ }}b,{\rm{ }}{a^x} < {\rm{ }}b,{\rm{ }}{a^x} \le {\rm{ }}b\)

Hướng dẫn giải

Câu hỏi 2 trang 87 SGK Giải tích 12

Giải bất phương trình: \({2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}-{\rm{ }}3{\rm{ }} < {\rm{ }}0\)

Hướng dẫn giải

Đặt \({2^x} = t\). ĐK: t > 0. Ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình:

\(\eqalign{
& t + {1 \over t} - 3 < 0 \cr 
& \Leftrightarrow {{{t^2} - 3t + 1} \over t} < 0 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 1 < 0\,\,(t > 0) \cr 
& \Leftrightarrow {{3 - \sqrt 5 } \over 2} < t < {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \cr 
& \Leftrightarrow \log {{3 - \sqrt 5 } \over 2} < x < \log {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \cr} \)

Câu hỏi 3 trang 88 SGK Giải tích 12

Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình:

\({\log _a}x \ge b;\,{\log _a}x < b;\,{\log _a}x \le b\)

Hướng dẫn giải

Câu hỏi 4 trang 89 SGK Giải tích 12

Giải bất phương trình:

\({\log _{{1 \over 2}}}(2x + 3) > {\log _{{1 \over 2}}}(3x + 1)\,\,\,(1)\) 

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3 > 0\\3x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - \dfrac{3}{2}\\x >  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x >  - \dfrac{1}{3}\)

\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x + 3} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + 1} \right)\) \( \Leftrightarrow 2x + 3 < 3x + 1\) \( \Leftrightarrow 2x - 3x < 1 - 3\) \( \Leftrightarrow  - x <  - 2 \Leftrightarrow x > 2\).

Kết hợp điều kiện ta được \(x > 2\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {2; + \infty } \right)\). 

Bài 1 trang 89 SGK Giải tích 12

Giải các bất phương trình mũ:

a) \(2^{-x^{2}+3x}< 4\);

b) \(\left ( \frac{7}{9} \right )^{2x^{2}-3x} ≥ \frac{9}{7}\);

c) \({3^{x + 2}} +{3^{x - 1}} \le 28\);

d) \({4^x}-{\rm{ }}{3.2^x} + {\rm{ }}2{\rm{ }} > {\rm{ }}0\).

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}a)\,\,\,{2^{ - {x^2} + 3x}} < 4\\\Leftrightarrow {2^{ - {x^2} + 3x}} < {2^2}\\\Leftrightarrow - {x^2} + 3x < 2\\\Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 > 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 1\end{array} \right.\end{array}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l}b)\,\,\,{\left( {\frac{7}{9}} \right)^{2{x^2} - 3x}} \ge \frac{9}{7}\\\Leftrightarrow {\left( {\frac{7}{9}} \right)^{2{x^2} - 3x}} \ge {\left( {\frac{7}{9}} \right)^{ - 1}}\\\Leftrightarrow 2{x^2} - 3x \le - 1\\\Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 \le 0\\\Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 1\end{array}\).

Vậy tâp nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\).

\(\begin{array}{l}c)\,\,\,\,{3^{x + 2}} + {3^{x - 1}} \le 28\\\Leftrightarrow {3^{x - 1}}{.3^3} + {3^{x - 1}} \le 28\\\Leftrightarrow {3^{x - 1}}\left( {{3^3} + 1} \right) \le 28\\\Leftrightarrow {3^{x - 1}}.28 \le 28\\\Leftrightarrow {3^{x - 1}} \le 1\\\Leftrightarrow {3^{x - 1}} \le {3^0}\\\Leftrightarrow x - 1 \le 0\\\Leftrightarrow x \le 1\end{array}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( { - \infty ;1} \right]\).

d) \({4^x}-{\rm{ }}{3.2^x} + {\rm{ }}2{\rm{ }} > {\rm{ }}0\)

Đặt \(t = 2^x >0\), bất phương trình đã cho trở thành 

\(\begin{array}{l}{t^2} - 3t + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t > 2\\t < 1\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} > 2\\{2^x} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} > {2^1}\\{2^x} < {2^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < 0\end{array} \right.\end{array}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Bài 2 trang 90 SGK Giải tích 12

Giải các bất phương trình lôgarit:

a) \(lo{g_8}\left( {4 - {\rm{ }}2x} \right){\rm{ }} \ge {\rm{ }}2\);

b) \(log_{\frac{1}{5}}(3x - 5)\) > \(log_{\frac{1}{5}}(x +1)\);

c) \(lo{g_{0,2}}x{\rm{ }}-{\rm{ }}lo{g_5}\left( {x - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} < {\rm{ }}lo{g_{0,2}}3\); 

d) \(log_{3}^{2}x - 5log_3 x + 6 ≤ 0\).

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: \(4 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < 2\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _8}\left( {4 - 2x} \right) \ge 2\\\Leftrightarrow 4 - 2x \ge 8^2=64 \,\,(Do \,8>1)\\\Leftrightarrow 2x \le - 60\\\Leftrightarrow x \le - 30\end{array}\).

Kết hợp điều kiện \(x<2\) ta có \(x \le -30\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( { - \infty ;-30} \right]\)

b) ĐK: 

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5 > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{5}{3}\\x > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{5}{3}\)

\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{5}}}\left( {3x - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {x + 1} \right)\\\Leftrightarrow 3x - 5 < x + 1\,\, (Do\, {{1}\over{5}}<1)\\\Leftrightarrow 2x < 6\\\Leftrightarrow x < 3\end{array}\).

Kết hợp điều kiện ta có: \({{5} \over {3}} <x<3\).

c) Điều kiện: \(x > 2\). Chú ý rằng

\(log_5(x- 2) = log_{\left ( \frac{1}{5} \right )^{-1}}(x- 2) = -log_{0,2}(x- 2)\), nên bất phương trình đã cho tương đương với

      \(lo{g_{0,2}}x{\rm{ }} + lo{g_{0,2}}\left( {x - {\rm{ }}2} \right) < {\rm{ }}lo{g_{0,2}}3\)

\(⇔lo{g_{0,2}}x\left( {x - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} < {\rm{ }}lo{g_{0,2}}3 \)

\(\Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} > {\rm{ }}3\) 

\(⇔ x^2- 2x – 3 > 0 \)

\(⇔ (x - 3) (x+ 1) > 0\)

\(⇔ x - 3 > 0 ⇔ x > 3\) (do \(x > 2\)).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \( S = \left( 2; +\infty \right) \).

d) ĐK: \(x>0\).

Đặt \(t = log_3x\) ta được bất phương trình 

\(t^2– 5t + 6 ≤  0 ⇔ 2 ≤ t ≤ 3\).

\(⇔2 ≤ log_3x ≤3 ⇔3^2 ≤  x ≤ 3^3  ⇔ 9 ≤ x ≤ 27\).

Kết hợp điều kiện ta có \(9 ≤ x ≤ 27\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \( S = \left[9;27 \right] \).