Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Bài 5: Ôn tập chương Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân.

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 1 (SGK trang 107)

Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm ?

Hướng dẫn giải

Xét cấp số cộng (un) với un+1 = un+ d, ta có: un+1 – un = d

+ un+1 > un nếu d > 0

+ un+1 < un nếu d < 0

Vậy cấp số cộng (un)

+ Tăng nếu d > 0

+ Giảm nếu d < 0

Bài 2 (SGK trang 107)

Cho cấp số nhân có \(u_1< 0\) và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau :

a) \(q>0\)

b) \(q< 0\)

Hướng dẫn giải

Ta có: un= u1.qn-1

a) Nếu

\(\left\{{}\begin{matrix}q>0\\u_1< 0\end{matrix}\right.\Rightarrow u_n< 0\forall n\)

b) Nếu

\(\left\{{}\begin{matrix}q< 0\\u_1< 0\end{matrix}\right.\)

Thì un < 0 khi n – 1 chẵn và un > 0 khi n – 1 lẻ.

Bài 3 (SGK trang 107)

Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số cộng không ? Vì sao ? Cho một ví dụ minh họa ?

Hướng dẫn giải

Gọi (un) và (an) là hai cấp số cộng có công sai lần lượt là \(d_1\) và d2 và có cùng n số hạng.

Ta có:

un = u1 + (n -1) d1

an = a1 + (n – 1)d2

⇒ un + an = u1 + a1 + (n – 1).(d1 + d2)

Vậy un + an là cấp số cộng có số hạng đầu là u1 + a1 và công sai là d1 + d2

Ví dụ:

1, 3, 5, 7 ,.... là cấp số cộng có công sai d1 = 2

0, 5, 10, 15,.... là cấp số cộng có công sai d2 = 5

⇒ 1, 8, 15, 22 ,... là cấp số cộng có công sai là d = d1 + d2 = 2 + 5 = 7


 

Bài 4 (SGK trang 107)

Cho hai cấp số nhân có cùng số các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không ? Vì sao ? Cho một ví dụ minh họa ?

Hướng dẫn giải

an= a1. q1n-1, q1 là hằng số

bn= \(b_1q_2^{n-1}\), q2 là hằng số

Khi đó: an.bn = = a1. q1n-1. b1. q1n-1 = (a1b1)(q1q2)n-1

Vậy dãy số anbn là một cấp số nhân có công bội : q = q1q2

Ví dụ:

1, 2, 4 ,... là cấp số nhân có công bội q1 = 2

3, 9, 27, .... là cấp số nhân có công bội q2 = 3

⇒ Suy ra: 3, 8, 108.. là cấp số nhân có công bội: q = q1q2 = 2.3 = 6

 

Bài 5 (SGK trang 107)

Chứng minh rằng với mọi \(n\in N^{\circledast}\), ta có :

a) \(13^n-1\) chia hết cho 6 

b) \(3n^3+15n\) chia hết cho 9

Hướng dẫn giải

a) Với n = 1, ta có:

13n – 1 = 131 – 1 = 12 ⋮ 6

Giả sử: 13k - 1 ⋮ 6 với mọi k ≥ 1

Ta chứng minh: 13k+1 – 1 chia hết cho 6

Thật vậy:

13k+1 – 1 = 13k+1 – 13k+ 13k -1 = 12.13k +13k – 1

Vì : 12.13k ⋮ 6 và 13k – 1 ⋮ 6

Nên : 13k+1 – 1 ⋮ 6

Vậy 13n -1 chia hết cho 6

b) Với n = 1, ta có: 3n3 + 15n = 18 ⋮ 9

Giả sử: 3(k + 1)3 + 15(k + 1) Ta chứng minh: 3(k + 1)3 + 15(k + 1) ⋮ 9

Thật vậy:

3(k + 1)3 + 15(k + 1) = 3. (k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15(k + 1)

= 3k3 + 9k2 + 9k + 15k + 18

= 3k3 + 15k + 9(k2 + k + 2)

Vì 3(k + 1)3 + 15(k + 1) (giả thiết quy nạp) và 9(k2 + k + 2) ⋮ 9

Nên: 3(k + 1)3 + 15(k + 1) ⋮ 9

Vậy: 3n3 + 15n chia hết cho 9 với mọi n ∈ N*


Bài 6 (SGK trang 107)

Cho dãy số \(\left(u_n\right)\), biết \(u_1=2;u_{n+1}=2u_n-1\) (với \(n\ge1\))

a) Viết năm số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh \(u_n=2^n+1\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

u1 = 2, u2 = 2u1 – 1 = 3, u3 = 2u2 – 1= 5

u4 = 2u3 -1 = 9, u5 = 2u4 – 1= 10

b) Với n = 1, ta có: u1 = 21-1 + 1 = 2 : đúng

Giả sử công thức đúng với n = k. Nghĩa là: uk = 2k-1 + 1

Ta chứng minh công thức cũng đúng với n = k + 1,

Nghĩa là chứng minh:

Uk+1 = 2(k+1)-1 + 1 = 2k + 1

Ta có: uk+ 1 = 2uk – 1 = 2(2k -1+ 1) -1 = 2.2k -1 + 2 – 1 = 2k + 1 (đpcm)

Vậy un = 2n-1 + 1 với mọi n ∈ N*



Bài 7 (SGK trang 107)

Xét tính năng, giảm và bị chặn của các dãy số :

a) \(u_n=n+\dfrac{1}{n}\)

b) \(u_n=\left(-1\right)^{n-1}\sin\dfrac{1}{n}\)

c) \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Hướng dẫn giải

Xét hiệu:

un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)>0,∀n∈N∗un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)>0,∀n∈N∗

Suy ra: un là dãy số tăng (1)

Mặt khác: un=n+1n≥2√n.1n=2∀n∈N∗un=n+1n≥2n.1n=2∀n∈N∗

Nên un là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta thấy khi n càng lớn thì un càng lớn nên un là dãy số không bị chặn (3)

Từ (1), (2), (3) ta có un là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b) Ta có:

u1 = (-1)0.sin1 = sin 1 > 0

u2=(−1)1.sin12=−sin12<0u3=(−1)2.sin13=sin13>0u2=(−1)1.sin⁡12=−sin⁡12<0u3=(−1)2.sin⁡13=sin⁡13>0

⇒ u1 > u2 và u2 < u3

Vậy un là dãy số tăng không đơn điệu.

Ta lại có:

|un|=|(−1)n−1.sin1n|=|sin1n|≤1⇔−1≤un≤1|un|=|(−1)n−1.sin⁡1n|=|sin⁡1n|≤1⇔−1≤un≤1

Vậy un là dãy số bị chặn và không đơn điệu.

c) Ta có:

un=√n+1−√n=n+1−n√n+1+√n=1√n+1+√nun=n+1−n=n+1−nn+1+n=1n+1+n

Xét hiệu:

un+1−un=1√(n+1)+1+√n+1−1√n+1+√n=1√n+2+√n+1−1√n+1+√nun+1−un=1(n+1)+1+n+1−1n+1+n=1n+2+n+1−1n+1+n

Ta có:

{√n+2>√n+1√n+1>√n⇒√n+2+√n+1>√n+1+√n{n+2>n+1n+1>n⇒n+2+n+1>n+1+n

⇒1√n+2+√n+1<1√n+1+√n⇒un+1−un<0⇒1n+2+n+1<1n+1+n⇒un+1−un<0

⇒ un là dãy số giảm (1)

Mặt khác:

un=1√n+1+√n>0,∀n∈N∗un=1n+1+n>0,∀n∈N∗

Suy ra: un là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta lại có: với n ≥ 1 thì √n+1+√n≥√2+1n+1+n≥2+1

Nên un=1√n+1+√n≤1√2+1un=1n+1+n≤12+1

Suy ra: un là dãy số bị chặn trên (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: un là dãy số giảm và bị chặn



Bài 8 (SGK trang 107)

Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai d của các cấp số cộng \(\left(u_n\right)\), biết :

a) \(\left\{{}\begin{matrix}5u_1+10u_5=0\\S_4=14\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_7+u_{15}=60\\u_4^2+u_{12}^2=1170\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

{5u1+10u=0S4=14{5u1+10u=0S4=14

⇔{5u1+10(u1+4d)=04(2u1+3d)2=14⇔{3u1+8d=02u1+3d=7⇔{u1=8d=−3⇔{5u1+10(u1+4d)=04(2u1+3d)2=14⇔{3u1+8d=02u1+3d=7⇔{u1=8d=−3

Vậy số hạng đầu u1 = 8, công sai d = -3

b) Ta có:

{u7+u15=60u24+u212=1170⇔{(u1+6d)+(u1+14d)=60(1)(u1+3d)2+(u1+11d)2=1170(2){u7+u15=60u42+u122=1170⇔{(u1+6d)+(u1+14d)=60(1)(u1+3d)2+(u1+11d)2=1170(2)

(1) ⇔ 2u1 + 20d = 60 ⇔ u1 = 30 – 10d thế vào (2)

(2) ⇔[(30 – 10D) + 3d]2 + [(30 – 10d) + 11d]2 = 1170

⇔ (30 – 7d)2 + (30 + d)2 = 1170

⇔900 – 420d + 49d2 + 900 + 60d + d2 = 1170

⇔ 50d2 – 360d + 630 = 0

⇔[d=3⇒u1=0d=215⇒u1=−12⇔[d=3⇒u1=0d=215⇒u1=−12

Vậy

{u1=0d=3{u1=0d=3

hay

{u1=−12d=215



Bài 9 (SGK trang 107)

Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công bội q của các cấp số nhân \(\left(u_n\right)\), biết :

a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_6=192\\u_7=384\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_4-u_2=72\\u_5-u_3=144\end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{{}\begin{matrix}u_2+u_5-u_4=10\\u_3+u_6-u_5=20\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

a)

{u6=192u7=384⇔{u1.q5=192(1)u1.q6=384(2){u6=192u7=384⇔{u1.q5=192(1)u1.q6=384(2)

Lấy (2) chia (1): q = 2 thế vào (1):

(1) ⇔ u1.25 = 192 ⇔ u1 = 6

Vậy u1 = 6 và q = 2

b) Ta có:

{u4−u2=72u5−u3=144⇔{u1.q3−u1.q=72u1.q4−u1.q2=144⇔{u1.q(q2−1)=72(1)u1.q2(q2−1)=144(2){u4−u2=72u5−u3=144⇔{u1.q3−u1.q=72u1.q4−u1.q2=144⇔{u1.q(q2−1)=72(1)u1.q2(q2−1)=144(2)

Lấy 2 chia 1: q = 2 thế vào (1)

(1) ⇔2u1(4 – 1) = 72 ⇔ u1 = 12

Vậy u1 = 12 và q = 2

c) Ta có:

{u2+u5−u4=10u3+u6−u5=20⇔{u1.q+u1.q4−u1.q3=10u1.q2(q2−1)=144(2)⇔{u1q(1+q3−q2)=10(1)u1q(1+q3−q2)=20(2){u2+u5−u4=10u3+u6−u5=20⇔{u1.q+u1.q4−u1.q3=10u1.q2(q2−1)=144(2)⇔{u1q(1+q3−q2)=10(1)u1q(1+q3−q2)=20(2)

Lấy (2) chia (1): q = 2 thế vào (1)

(1) ⇔ 2u1 (1 + 8 – 4) = 10 ⇔ u1 = 1

Vậy u1 = 1 và q = 2


Bài 10 (SGK trang 108)

Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp năm lần góc A. Tính các góc của tứ giác ?

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có: A, B, C, D là một cấp số nhân và C = 4A

Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

B2 = AC = A.(4A) = 4A2 ⇒ B = 2A

C2 = BD ⇒ (4A)2 = (2A).D ⇒ D = 8A

Mặt khác: A + B + C + D = 3600

⇒ A + 2A + 4A + 8A = 3600

⇒ A = 240 ⇒ B = 480, C = 960, D = 1920.



Bài 11 (SGK trang 108)

Biết rằng 3 số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân ?

Hướng dẫn giải

Ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân nên:

y = x.q và z = y.q = x.q2 ( q là công bội)

Ba số x, 2y, 3z lậo thành một cấp số cộng nên:

x + 3z = 4y ⇔ x + 3.(xq2) = 4.(x.q)

⇔ x. (1 + 3q2 – 4q) = 0 ⇔ x = 0 hay 3q2 – 4q + 1 = 0

Nếu x = 0 thì x = y= z= 0, q là một số tùy ý

Nếu x ≠ 0 thì 3q2– 4q + 1 = 0 ⇔\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}q=1\\q=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\).
Công bội của cấp số nhân là \(q=1\) hoặc \(q=\dfrac{1}{3}\).

 


 

Bài 12 (SGK trang 108)

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là \(12288m^2\). Tính diện tích mặt trên cùng ?

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu:

u1 = 12288m2 và công bội \(q=\dfrac{1}{2}\).

Vậy diện tích mặt trên cùng là: \(u_{11}=u_1.q^{10}=12288.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}=12\left(m^2\right)\).


 

Bài 13 (SGK trang 108)

Chứng minh rằng nếu các số \(a^2,b^2,c^2\) lập thành một cấp số công (\(abc\ne0\)) thì các số \(\dfrac{1}{b+c},\dfrac{1}{c+a},\dfrac{1}{a+b}\) cũng lập thành một cấp số cộng ?

Hướng dẫn giải

TenAnh1 TenAnh1 A = (-4.36, -6.06) A = (-4.36, -6.06) A = (-4.36, -6.06) B = (11, -6.06) B = (11, -6.06) B = (11, -6.06)