Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Bài 3: Cấp số cộng

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 4 (SGK trang 98)

Mặt sàn tầng 1 của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng 1 lên tầng 2 gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm

a) Viết công thức để tìm độ cao của mỗi bậc tùy ý so với mặt sân

b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt đất 

Hướng dẫn giải

a) Gọi chiều cao của bậc thứ n so với mặt sân là hn

Ta có: hn = 0,5 + n.0,18.

b) Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là

h21 = 0,5 + 21.0,18 = 4,28 (m)


Bài 3 (SGK trang 97)

Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1,d,n,u_n,S_n\)

a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại ?

b) Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống ?

Hướng dẫn giải

a) Cần biết ít nhật ba trong năm đại lượng u1, n, d, un, Sn thì có thể tính được hai đại lượng còn lại.

b) Thực chất đây là năm bài tập nhỏ, mỗi bài ứng với các dữ liệu ở một dòng. Học sinh phải giải từng bài nhỏ rồi mới điền kết quả.

b1) Biết u1 = -2, un = 55, n = 20. Tìm d, Sn

Áp dụng công thức d = , Sn =

Đáp số: d = 3, S20 = 530.

b2) Biết d = -4, n = 15, Sn = 120. Tìm u1, un

Áp dụng công thức un = u1 + (n - 1)d và Sn = ,

ta có:

Giải hệ trên, ta được u1 = 36, u15 = - 20.

Tuy nhiên, nếu sử dụng công thức

thì S15 = 120 = 15u1 + .

Từ đó ta có u1 = 36 và tìm được u15 = - 20.

b3) Áp dụng công thức un = u1 + (n - 1)d, từ đây ta tìm được n; tiếp theo áp dụng công thức . Đáp số: n = 28, Sn = 140.

b4) Áp dụng công thức , từ đây tìm được n, tiếp theo áp dụng công thức un = u1 + (n - 1)d. Đáp số: u1 = -5, d= 2.

b5) Áp dụng công thức , từ đây tìm được n, tiếp theo áp dụng công thức un = u1 + (n - 1)d. Đáp số: n = 10, un = -43

Bài 2 (SGK trang 97)

Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau biết :

a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_1-u_3+u_5=10\\u_1+u_6=17\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_7-u_3=8\\u_2.u_7=75\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

a) Từ hệ thức đã cho ta có:

hay

.Giải hệ này tìm u1 và d. Đáp số u1 = 16, d = -3.

b) Từ hệ đã cho ta có:

hay

Giải hệ này để tìm u1 và d. Đáp số u1 = 3 và d = 2 hoặc u1 = -17 và d = 2

u1 = 3 và d = 2 hoặc u1 = -17 và d = 2.

Bài 1 (SGK trang 97)

Trong các dãy số \(\left(u_n\right)\) sau đây, dãy số nào là cấp số công ? Tính số hạng đầu và công sai của nó ?

a) \(u_n=5-2n\)

b) \(u_n=\dfrac{n}{2}-1\)

c) \(u_n=3^n\)

d) \(u_n=\dfrac{7-3n}{2}\)

Hướng dẫn giải

a) Dãy số bị chặn dưới vì un = 2n2 -1 ≥ 1 với mọi n ε N* và không bị chặn trên vì với số M dương lớn bất kì, ta có 2n2 -1 > M <=> n > .
tức là luôn tồn tại n ≥ + 1 để 2 - 1 > M.
b) Dễ thấy un > 0 với mọi n ε N*
Mặt khác, vì n ≥ 1 nên n2 ≥ 1 và 2n ≥ 2.
Do đó n(n + 2) = n2 + 2n ≥ 3, suy ra .
Vậy dãy số bị chặn 0 < un với mọi n ε N*
c) Vì n ≥ 1 nên 2n2 - 1 > 0, suy ra > 0
Mặt khác n2 ≥ 1 nên 2n2 ≥ 2 hay 2n2 - 1≥ 1, suy ra ≤ 1.
Vậy 0 < un ≤ 1, với mọi n ε N* , tức dãy số bị chặn.
d) Ta có: sinn + cosn = √2sin(n + ), với mọi n. Do đó:
-√2 ≤ sinn + cosn ≤ √2 với mọi n ε N*
Vậy -√2 < un < √2, với mọi n ε N* .


Bài 5 (SGK trang 98)

Từ 0 đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ ?

Hướng dẫn giải

Đồng hồ đánh số tiếng chuông là: S = 1 + 2 + 3 +....+ 12. Đây là tổng của 12 số hạng của cấp số cộng có u1 = 1, u12 = 12. Do đó áp dụng công thức tính tổng,

ta có S = = 78.

Vậy đồng hồ đánh 78 tiếng chuông