Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 6 (SGK trang 133)

Tính :

a) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^4-x^2+x-1\right)\)

b) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(-2x^3+3x^2-5\right)\)

c) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\sqrt{x^2-2x+5}\)

d) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{5-2x}\)

Hướng dẫn giải

a) (x4 – x2 + x - 1) = x4(1 - ) = +∞.

b) (-2x3 + 3x2 -5 ) = x3(-2 + ) = +∞.

c) = = +∞.

d) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{5-2x}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\left|x\right|\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}+x}{5-2x}\)
 \(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}+x}{5-2x}\)\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}+1}{\dfrac{5}{x}-2}=-1\).

 

Bài 1 (SGK trang 132)

Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn sau :

a) \(\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{x+1}{3x-2}\)

b) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2-5x^2}{x^2+3}\)

Hướng dẫn giải

a) Hàm số f(x) = xác định trên R\{} và ta có x = 4 ∈ (;+∞).

Giả sử (xn) là dãy số bất kì và xn ∈ (;+∞); xn ≠ 4 và xn → 4 khi n → +∞.

Ta có lim f(xn) = lim = = .

Vậy = .

b) Hàm số f(x) = xác định trên R.

Giả sử (xn) là dãy số bất kì và xn → +∞ khi n → +∞.

Ta có lim f(xn) = lim = lim = -5.

Vậy = -5.



Bài 2 (SGK trang 132)

Cho hàm số :

                        \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+1;x\ge0\\2x;x< 0\end{matrix}\right.\)

và các dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(\left(u_n\right)=\dfrac{1}{n},\left(v_n\right)\) với \(v_n=-\dfrac{1}{n}\)

Tính \(\lim\limits u_n,\lim\limits v_n,\lim\limits f\left(u_n\right)\) và \(\lim\limits f\left(v_n\right)\) ?

Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi x -> 0 ?

Hướng dẫn giải

\(limu_n=lim\dfrac{1}{n}=0\); \(limv_n=lim\left(-\dfrac{1}{n}\right)=0\).
\(limf\left(u_n\right)=lim\left(\sqrt{\dfrac{1}{n}}+1\right)=1\).
\(limf\left(v_n\right)=lim\left(2.\dfrac{-1}{n}\right)=lim\dfrac{-2}{n}=0\).
Hai dãy số \(\left(u_n\right)\)\(\left(v_n\right)\) đều có giới hạn 0 khi n tiến ra dương vô cùng nhưng \(limf\left(u_n\right)\ne limf\left(v_n\right)\) nên f không có giới hạn tại \(x=0\).

Bài 4 (SGK trang 132)

Tìm các giới hạn sau :

a) \(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{3x-5}{\left(x-2\right)^2}\)

b) \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{2x-7}{x-1}\)

c) \(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{2x-7}{x-1}\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có (x - 2)2 = 0 và (x - 2)2 > 0 với ∀x ≠ 2 và (3x - 5) = 3.2 - 5 = 1 > 0.

Do đó = +∞.

b) Ta có (x - 1) và x - 1 < 0 với ∀x < 1 và (2x - 7) = 2.1 - 7 = -5 <0.

Do đó = +∞.

c) Ta có (x - 1) = 0 và x - 1 > 0 với ∀x > 1 và (2x - 7) = 2.1 - 7 = -5 < 0.

Do đó = -∞.



Bài 3 (SGK trang 132)

Tính các giới hạn sau :

a) \(\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{x^2-1}{x+1}\)

b) \(\lim\limits_{x\rightarrow-2}\dfrac{4-x^2}{x+2}\)

c) \(\lim\limits_{x\rightarrow6}\dfrac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}\)

d) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x-6}{4-x}\)

e) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{17}{x^2+1}\)

f) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-2x^2+x-1}{3+x}\)

 

Hướng dẫn giải

a) = = -4.

b) = = (2-x) = 4.

c) =
= = = .

d) = = -2.

e) = 0 vì (x2 + 1) = x2( 1 + ) = +∞.

f) = = -∞, vì > 0 với ∀x>0.


Bài 5 (SGK trang 133)

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{x^2-9}\) có đồ thị như hình trên (Hình 53)

a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x\rightarrow-\infty\)\(x\rightarrow3^-,x\rightarrow-3^+\)

b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau :

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)\) được xét trên khoảng \(\left(-\infty;-3\right)\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow3^-}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)\) được xét trên khoảng \(\left(-3;3\right)\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-3^+}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)\) được xét trên khoảng \(\left(-3;3\right)\)
 

Hướng dẫn giải

Quan sát đồ thị ta thấy x → -∞ thì f(x) → 0; khi x → 3- thì f(x) → -∞;

khi x → -3+ thì f(x) x → +∞.

b) f(x) = = = 0.

f(x) = = = -∞ vì = > 0 và = -∞.

f(x) = = . = +∞
= = > 0 và = +∞.



Bài 7 (SGK trang 133)

Một thấu kinh hội tụ có tiêu cự là \(f\). Gọi d và d' lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB từ ảnh A'B' của nó tới quang tâm O của thấu kính (h.54). Công thức thấu kính là : \(\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{d'}=\dfrac{1}{f}\)

a) Tìm biểu thức xác định hàm số \(d'=\varphi\left(d\right)\)

b) Tìm \(\lim\limits_{d\rightarrow f^+}\varphi\left(d\right);\lim\limits_{d\rightarrow f^-}\varphi\left(d\right)\) và \(\lim\limits_{d\rightarrow+\infty}\varphi\left(d\right)\)

     Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được ?

Hướng dẫn giải

a) Từ hệ thức suy ra d' = φ(d) = .

b) +) φ(d) = = +∞ .

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới dương vô cực.

+) φ(d) = = -∞.

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn nhỏ hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô sực.

+) φ(d) = = = f.

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F' và vuông góc với trục chính).