Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Ôn tập chương III

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 1 (SGK trang 70)

Khi nào hai phương trình được gọi là tương đương ? Cho ví dụ ?

Hướng dẫn giải

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Hai phương trình \(2x-5=0\)\(3x-\dfrac{15}{2}=0\) tương đương với nhau vì cùng có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{5}{2}\)

Bài 2 (SGK trang 70)

Thế nào là phương trình hệ quả ? Cho ví dụ ?

Hướng dẫn giải

Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) thì phương trình

f1(x) = g1(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x).

Ta viết f(x) = g(x) f1(x) = g1(x).

Ví dụ: Giải phương trình:

(4)

Giải

Điều kiện của phương trình (4) là x ≠ 0 và x ≠ 1.

Nhân hai vế của phương trình (4) với x(x - 1) ta được phương trình hệ quả:

(4) x + 3 + 3(x - 1) = x(2 - x)

x2 + 2x = 0

x(x + 2) = 0.

Phương trình cuối cùng có hai nghiệm là x = 0 và x = -2.

Ta thấy x = 0 không thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), đó là nghiệm ngoại lai, nên bị loại. Còn lại x = -2 thỏa mãn điều kiện và thỏa mãn phương trình (4).

Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất là x = -2.

Bài 3 (SGK trang 70)

Giải phương trình :

a. \(\sqrt{x-5}+x=\sqrt{x-5}+6\)  \(\)

b. \(\sqrt{1-x}+x=\sqrt{x-1}+2\)

c. \(\dfrac{x^2}{\sqrt{x-2}}=\dfrac{8}{\sqrt{x-2}}\)

d. \(3+\sqrt{2-x}=4x^2-x+\sqrt{x-3}\)

Hướng dẫn giải

a, ĐK x\(\ge5\) Đặt \(\sqrt{x-5}=y\Rightarrow x=y^2+5\)

Phương tình đã cho trở thành:\(y^2+5+y=y+6\)

\(\Leftrightarrow y^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow y=-1;y=1\)

y=-1 loại vì \(\sqrt{x=5}\ge0\)

Ta có \(y=1\Rightarrow\sqrt{x-5}=1\Leftrightarrow x=6\)

b,làm tương tự câu a

c,ĐK:\(x\ge2\) Phương trình đã cho tương đương:\(\dfrac{x^2-8}{\sqrt{x-2}}=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=2\sqrt{2}\\x_2=-2\sqrt{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x=2\sqrt{2}\).

Bài 4 (SGK trang 70)

Giải phương trình :

a. \(\dfrac{3x+4}{x-2}-\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{4}{x^2-4}+3\)

b. \(\dfrac{3x^2-2x+3}{2x-1}=\dfrac{3x-5}{2}\)

c. \(\sqrt{x^2-4}=x-1\)

Hướng dẫn giải

\(a,\Leftrightarrow\dfrac{\left(3x+4\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\dfrac{x-2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\dfrac{4+3x^2-12}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

ĐKXĐ:\(x\ne2;x\ne-2\)

\(\Rightarrow3x^2+10x+8-x+2-4-3x^2+12=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(9x+18=0\)

\(\Leftrightarrow x=-2\)(loại).
Vậy phương trình vô nghiệm.

b,ĐKXĐ:\(x\ne\dfrac{1}{2}\)

PT đã cho \(\Rightarrow6x^2-4x+6-6x^2+13x-5=0\)

\(\Leftrightarrow9x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{9}\left(tmđk\right)\)

c,\(ĐKXĐ:x\ge2\)

Bình phương 2 vế ta được:

\(x^2-4-x^2+2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow2x-5=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\left(tmđk\right)\)

Bài 5 (SGK trang 70)

Giải hệ phương trình :

a. \(\left\{{}\begin{matrix}-2x+5y=9\\4x+2y=11\end{matrix}\right.\)

b. \(\left\{{}\begin{matrix}3x+4y=12\\5x-2y=7\end{matrix}\right.\)

c. \(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y=5\\3x+2y=8\end{matrix}\right.\)

d. \(\left\{{}\begin{matrix}5x+3y=15\\4x-5y=6\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

mấy bài này là ở lớp 9 học kì 2 dùng cộng đại số là nhanh nhất hoặc bấm máy tính

Bài 6 (SGK trang 70)

Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường. Sau khi người thứ nhất làm được 7 giờ và người thứu hai làm được 4 giờ thì họ sơn được \(\dfrac{5}{9}\) bức tường. Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ nữa thì còn lại \(\dfrac{1}{18}\) bức tường chưa sơn. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sau bao nhiêu giờ mỗi người mới sơn xong bức tường ?

Hướng dẫn giải

Gọi x (giờ), y(giờ) là thời gian để công nhân thứ nhất, thứ hai làm riêng để sơn xong bức tường.

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{7}{x}+\dfrac{4}{y}=\dfrac{5}{9}\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}=1-\dfrac{5}{9}-\dfrac{1}{18}=\dfrac{7}{18}\end{matrix}\right.\)

Giải hệ phương trình trên ta được: \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{18};\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{24}\)

Suy ra x = 18, y = 24.

Vậy mỗi người làm riêng, theo thứ tự, thời gian sơn xong bức tường là 18 giờ và 24 giờ.

Bài 7 (SGK trang 70)

Giải hệ phương trình :

a. \(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y+z=-7\\-4x+5y+3z=6\\x+2y-2z=5\end{matrix}\right.\)

b. \(\left\{{}\begin{matrix}x+4y-2z=1\\-2x+3y+z=-6\\3x+8y-z=12\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Hỏi đáp Toán

Hỏi đáp Toán

Bài 8 (SGK trang 71)

Ba phân số đều có tử số là 1 và tổng của 3 phân số đó bằng 1. Hiệu cuẩ phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ 3, còn tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng 5 lần phân số thứ 3. Tìm các phân số đó ?

Hướng dẫn giải

Gọi p/s thứ nhất là \(\dfrac{1}{x}\), p/s thứ 2 là \(\dfrac{1}{y}\), p/s thứ 3 là \(\dfrac{1}{z}\)

Theo đề bài ta có : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\) (1)

\(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}\); \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5\cdot\left(\dfrac{1}{z}\right)\).

Thay biểu thức \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5\cdot\left(\dfrac{1}{z}\right)\) trên vào (1) ta được :

\(5\cdot\left(\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{z}=1\Rightarrow z=6\) Vậy phân số thứ ba là \(\dfrac{1}{6}\).

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5\cdot\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\left(Đề-bài\right)\)

Bài toán tổng hiệu \(\dfrac{1}{x}\) là số lớn, \(\dfrac{1}{y}\) là số bé (do \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\) ra số dương).

Vậy \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{\left(\dfrac{1}{6}+5\cdot\dfrac{1}{6}\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\); \(\dfrac{1}{y}=5\cdot\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\)

Vậy phân số thứ nhất là \(\dfrac{1}{2}\), phân số thứ hai là \(\dfrac{1}{3}\), phân số thứ ba là \(\dfrac{1}{6}\).

Bài 9 (SGK trang 71)

Một phân xưởng được giao sản xuất 360 sản phẩm trong một số ngày nhất định. Vì phân xưởng tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được 9 sản phẩm so với định mức, nên trước khi hết hạn một ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là 5%. Hỏi nếu tiếp tục làm việc với năng suất đó thì khi đến hạn phân xưởng làm được tất cả bao nhiêu sản phẩm ?

Hướng dẫn giải

Gọi x là số sản phẩm sản xuất trong một ngày theo định mức.

Điều kiện x nguyên dương. Theo đề ta có chương trình:

\(\dfrac{360}{x}=\dfrac{360+\dfrac{360.5}{100}}{x+9}+1\)

⇔ x2 + 27x – 3240 = 0

⇒ x1= -72 (loại), x2 = 45.

Thời gian giao hoàn thành kế hoạch là = 8 ngày

Nếu sản xuất theo thời gian đã định với năng suất mới thì số sản phẩm làm được là (45+9).8=432 sản phẩm.

Bài 10 (SGK trang 71)

Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi :

a. \(5x^2-3x-7=0\)

b. \(3x^2+4x+1=0\)

c. \(0,2x^2+1,2x-1=0\)

d. \(\sqrt{2}x^2+5x+\sqrt{8}=0\)

Hướng dẫn giải

Bấm MODE nhập 5 nhập 3

a, bấm 5 = -3 = -7 = ta được \(x_1=\dfrac{3+\sqrt{149}}{10};x_2=\dfrac{3-\sqrt{149}}{10}\)

Tương tự cho các câu còn lại

Bài 11 (SGK trang 71)

Giải các phương trình :

a. \(\left|4x-9\right|=3-2x\)

b. \(\left|2x+1\right|=\left|3x+5\right|\)

Hướng dẫn giải

a) \(\left|4x-9\right|=3-2x\)

+) Xét \(x\ge\dfrac{9}{4}\) có:

\(4x-9=3-2x\)

\(\Rightarrow-9=3-2x-4x\)

\(\Rightarrow-9-3=-6x\)

\(\Rightarrow-6x=-12\)

\(\Rightarrow x=2\) ( không t/m )

+) Xét \(x< \dfrac{9}{4}\) ta có:

\(9-4x=3-2x\)

\(\Rightarrow6=2x\)

\(\Rightarrow x=3\) ( không t/m )

Vậy không có giá trị x thỏa mãn đề bài

b) \(\left|2x+1\right|=\left|3x+5\right|\)

+) \(2x+1=3x+5\)

\(\Rightarrow x=-4\)

+) \(2x+1=-5-3x\)

\(\Rightarrow5x=-6\)

\(\Rightarrow x=-1,2\)

Vậy \(x\in\left\{-4;-1,2\right\}\)

Bài 12 (SGK trang 71)

Tìm hai cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật trong hai trường hợp :

a. Chu vi là \(94,4m\) và diện tích là \(494,55m^2\)

b. Hiệu của hai cạnh là \(12,1m\) và diện tích là \(1089m^2\)

Hướng dẫn giải

a) Gọi chiều dài là a, chiều rộng là b.

Nửa chu vi hình chữ nhật là : \(\dfrac{94,4}{2}=47,2\left(m\right)\)

Ta có hệ pt : \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=47,2\\a\cdot b=494,55\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=47,2-b\\\left(47,2-b\right)\cdot b=494,55\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a=47,2-b\\47,2b-b^2=494,55\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=47,2-15,7=31,5\\b=15,7\left(giải-HPT-bậc-2\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy chiều dài là 31,5 mét, chiều rộng 15,7 mét.

b) Vẫn gọi chiều dài là a, chiều rộng là b.

Có hpt : \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=12,1\\a\cdot b=1089\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=12,1+b\\\left(12,1+b\right)\cdot b=1089\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=12,1+b\\12,1b+b^2=1089\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=12,1+27,5=39,6\\b=27,5\left(Giải-HPT-Bậc-2\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy chiều dài là 39,6 mét, chiều rộng là 27,5 mét.

Bài 13 (SGK trang 71)

Hai người quét sân. Cả hai người cùng quét sân hết 1 giờ 20 phút, trong khi nếu chỉ quét 1 mình thì người thứ nhất quét hết nhiều hơn 2 giờ so với người thứ hai. Hỏi mỗi người quét sân một mình hết mấy giờ ?

Hướng dẫn giải

Giống bài hpt lớp 8 :

Gọi thời gian người 1 quét sân một mình là a (a>2).

=> Thời gian ngưởi 2 quét sân một mình là a-2.

Trong một giờ người 1 quét được \(\dfrac{1}{a}\)(sân), người 2 quét được \(\dfrac{1}{a-2}\) (sân).

Tổng thời gian nếu hai người quét chung là \(\dfrac{4}{3}\left(h\right)\) nên trong một giờ thì 2 người sẽ làm đc \(\dfrac{3}{4}\) sân.

Lập phương trình : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow\dfrac{2x-2}{x\left(x-2\right)}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow3x^2-14x+8=0\)

Phân tích \(3x^2-14x+8\) được hai nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x=4\left(TMĐK\right)\\x=\dfrac{2}{3}\left(KTMĐK\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy người 1 quét sân một mình hết 4h, người hai quét sân một mình hết \(4-2=2\left(h\right)\).

Bài 19 (SBT trang 77)

Hãy viết điều kiện của mỗi phương trình :

a) \(\sqrt{-3x+2}=\dfrac{2}{x+1}\)

b) \(\sqrt{x-2}+x=3x^2+1-\sqrt{-x-4}\)

c) \(\dfrac{3x+5}{\sqrt{3x^2+6x+11}}=\sqrt{2x+1}\)

d) \(\dfrac{\sqrt{x+4}}{x^2-9}=x+2\)

Hướng dẫn giải

a)
Đkxđ: \(\left\{{}\begin{matrix}-3x+2\ge0\\x+1\ne0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{-2}{3}\\x\ne-1\end{matrix}\right.\)
b)
Đkxđ: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\-x-4\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow2\le x\le4\).
c)
Đkxđ: \(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+6x+11>0\\2x+1\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow2x+1\ge0\)\(\Leftrightarrow x\ge-\dfrac{1}{2}\).
d)
Đkxđ: \(\left\{{}\begin{matrix}x+4\ge0\\x^2-9\ne0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-4\\x\ne3\\x\ne-3\end{matrix}\right.\).

Bài 20 (SBT trang 77)

Xác định m để mỗi cặp phương trình sau tương đương :

a) \(3x-1=0\) và \(\dfrac{3mx+1}{x-2}+2m-1=0\)

b) \(x^2+3x-4=0\) và \(mx^2-4x-m+4=0\)

Hướng dẫn giải

- Điều kiện cần:
Phương trình \(3x-1\) có nghiệm là \(x=\dfrac{1}{3}\).
Điều kiện xác định của \(\dfrac{3mx+1}{x-2}+2m-1=0\)\(x\ne2\).
Để cặp phương trình tương đương thì phương trình \(\dfrac{3mx+1}{x-2}+2m-1=0\) có nghiệm duy nhất là \(x=\dfrac{1}{3}\).
Từ đó suy ra: \(\dfrac{3m.\dfrac{1}{3}+1}{\dfrac{1}{3}-2}+2m-1=0\)\(\Leftrightarrow-\dfrac{3}{5}\left(m+1\right)+2m-1=0\)\(\Leftrightarrow\dfrac{7}{5}m-\dfrac{8}{5}=0\)\(\Leftrightarrow m=\dfrac{8}{7}\).
- Điều kiện đủ
Thay \(m=\dfrac{8}{7}\) vào phương trình \(\dfrac{3mx+1}{x-2}+2m-1=0\) ta được:
\(\dfrac{3.\dfrac{8}{7}x+1}{x-2}+2.\dfrac{8}{7}-1=0\)\(\Leftrightarrow\dfrac{24}{7}x+1+\dfrac{9}{7}\left(x-2\right)=0\)\(\dfrac{33}{7}x-\dfrac{11}{7}\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\).
Vậy \(m=\dfrac{8}{7}\) thì cặp phương trình tương đương.

Bài 21 (SBT trang 77)

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :

a) \(2m\left(x-2\right)+4=\left(3-m^2\right)x\)

b) \(\dfrac{\left(m+3\right)x}{2x-1}=3m+2\)

c) \(\dfrac{8mx}{x+3}=\left(4m+1\right)x+1\)

d) \(\dfrac{\left(2-m\right)x}{x-2}=\left(m-1\right)x-1\)

Hướng dẫn giải

a) \(2m\left(x-2\right)+4=\left(3-m^2\right)x\)
\(\Leftrightarrow x\left(m^2+2m-3\right)=4m-4\)
​Xét \(m^2+2m-3=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-3\end{matrix}\right.\).
​Với \(m=1\) thay vào phương trình ta được:
\(0x=0\) luôn nghiệm đúng \(\forall x\in R\).
​Với \(m=-3\) thay vào phương trình ta được:
\(0x=4.\left(-3\right)-4\)\(\Leftrightarrow0x=-16\) phương trình vô nghiệm.
​Xét \(m^2+2m-3\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne-3\end{matrix}\right.\).
Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất: \(x=\dfrac{4}{m+3}\).
​Biện luận:
​Với m = 1 phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc R.
​Với m = -3 hệ vô nghiệm.
​Với \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne-3\end{matrix}\right.\) phương trình có nghiệm duy nhất là: \(x=\dfrac{4}{m+3}\).

Bài 22 (SBT trang 77)

Cho phương trình :

                             \(3x^2+2\left(3m-1\right)x+3m^2-m-1=0\)

a) Với giá trị nào của m thì phương trình vô nghiệm ?

b) Giải phương trình khi \(m=-1\) ?

Hướng dẫn giải

a)​ Phương trình vô nghiệm:

\(\Leftrightarrow\Delta'< 0\)\(\Leftrightarrow\left(3m-1\right)^2-3\left(3m^2-m-1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow3m+4< 0\)\(\Leftrightarrow m< \dfrac{-4}{3}\).

Bài 23 (SBT trang 77)

Cho phương trình :

                \(\left(m+1\right)x^2+\left(3m-1\right)x+2m-2=0\)

Xác định m để phương trình có hai nghiệm \(x_1;x_2\) mà \(x_1+x_2=3\). Tính các nghiệm trong trường hợp đó ?

Hướng dẫn giải

Để phương trình có hai nghiệm \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\a\ne0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3m-1\right)^2-4.\left(m+1\right)\left(2m-2\right)\ge0\\\Delta\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-6m+9\ge0\\m\ne-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-3\right)^2\ge0\\m\ne1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m\ne1\).
​Áp dụng định ly Viet:

\(x_1+x_2=-\dfrac{3m-1}{m+1}=3\)\(\Leftrightarrow3m-1=-3m-3\)\(\Leftrightarrow6m=-2\)\(\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{3}\).
​Vậy \(m=-\dfrac{1}{3}\) là giá trị cần tìm.

Bài 24 (SBT trang 77)

Giải các phương trình :

a) \(\sqrt{5x+3}=3x-7\)

b) \(\sqrt{3x^2-2x-1}=3x+1\)

c) \(\dfrac{\sqrt{4x^2+7x-2}}{x+2}=\sqrt{2}\)

d) \(\sqrt{2x^2+3x-4}=\sqrt{7x+2}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt{5x+3}=3x-7\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x+3=\left(3x-7\right)^2\\3x-7\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x+3=9x^2-42x+49\\x\ge\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9x^2-47x+46=0\\x\ge\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{47+\sqrt{553}}{18}\\x=\dfrac{47-\sqrt{553}}{18}\end{matrix}\right.\\x\ge\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\dfrac{47+\sqrt{553}}{18}\).

Bài 25 (SBT trang 78)

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :

a) \(\left|2x-5m\right|=2x-3m\)

b) \(\left|3x+4m\right|=\left|4x-7m\right|\)

c) \(\left(m+1\right)x^2+\left(2m-3\right)x+m+2=0\)

d) \(\dfrac{x^2-\left(m+1\right)x-\dfrac{21}{4}}{x-3}=2x+m\)

Hướng dẫn giải

a​) \(\left|2x-5m\right|=2x-3m\)
​Điều kiện có nghiệm của phương trình là: \(2x-3m\ge0\)\(\Leftrightarrow x\ge\dfrac{3m}{2}\). (1)
pt\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-5m=2x-3m\\2x-5m=-\left(2x-3m\right)\end{matrix}\right.\).
Th1. \(2x-5m=2x-3m\Leftrightarrow-5m=-3m\)\(\Leftrightarrow m=0\).
Thay \(m=0\) vào phương trình ta có: \(\left|2x\right|=2x\) (*)
​Dễ thấy (*) có tập nghiệm là: \(\left[0;+\infty\right]\) (Thỏa mãn (1)).
Th2. \(2x-5m=-\left(2x-3m\right)\)\(\Leftrightarrow2x-5m=-2x+3m\)
\(\Leftrightarrow4x=8m\)\(\Leftrightarrow x=2m\).
Để \(x=2m\) là nghiệm của phương trình thì:
\(2m\ge\dfrac{3}{2}m\)\(\Leftrightarrow m\ge0\).
​Biện luận:
​Với m = 0 phương trình có tập nghiệm là: \(\left[0;+\infty\right]\).
​Với \(m>0\) phương trình có nghiệm duy nhất \(x=2m\).
​Với m < 0 phương trình vô nghiệm.

Bài 26 (SBT trang 78)

Giải phương trình :

                          \(\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}x}+\sqrt{\dfrac{1}{2}-x}=1\)

Hướng dẫn giải

Đkxđ: \(\dfrac{1}{2}-x\le0\) \(\Leftrightarrow x\le\dfrac{1}{2}\).
Đặt: \(a=\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}x};b=\sqrt{\dfrac{1}{2}-x}\) \(\left(a,b\in R;b>0\right)\).
Khi đó ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\2a^3+b=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1-a\\4a^3+2\left(1-a\right)=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4a^3+2\left(1-a\right)=1\)\(\Leftrightarrow4a^3+2a^2-4a+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4a^3-a\right)+\left(2a^2-3a+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow a\left(2a-1\right)\left(2a+1\right)+\left(2a-1\right)\left(a-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)\left[a\left(2a+1\right)+a-1\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)\left(2a^2+2a-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2a-1=0\\2a^2+2a-1=0\end{matrix}\right.\)\(\left[{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\a=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\\a=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\).
Với \(a=\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}x}=\dfrac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3:\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\) (tm)
Với \(a=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\)\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}x}=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\)\(\Leftrightarrow x=\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)^3:\dfrac{1}{2}=\dfrac{\left(-1+\sqrt{3}\right)^3}{4}\) (tm).
Với \(a=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\left(-1-\sqrt{3}\right)^3}{4}\) (tm).
Vậy phương trình có ba nghiệm là:\(\dfrac{1}{4};\dfrac{\left(-1+\sqrt{3}\right)^3}{4};\dfrac{\left(-1-\sqrt{3}\right)^3}{4}\).

Bài 27 (SBT trang 78)

Giải các hệ phương trình :

a) \(\left\{{}\begin{matrix}-7x+3y=-5\\5x-2y=4\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}4x-2y=6\\-2x+y=-3\end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{{}\begin{matrix}-0,5x+0,4y=0,7\\0,3x-0,2y=0,4\end{matrix}\right.\)

d) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{5}x-\dfrac{4}{3}y=\dfrac{2}{5}\\-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{9}y=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

a,\(\left\{{}\begin{matrix}-7x+3y=-5\\5x-2y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-14x+6y=-10\\15x+6y=12\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\5x-2y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2x-y=3\)

b,\(\left\{{}\begin{matrix}4x-2y=6\\-2x+y=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=3\\2x-y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2x-y=3\)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm (x;y)= (a;2a-3), a tùy ý

c, \(\left\{{}\begin{matrix}-0,5x+0,4y=0,7\\0,3x-0,2y=0,4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-0,5x+0,4y=0,7\\0,6x-0,4y=0,8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=15\\0,3x-0,2y=0,4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=15\\y=20,5\end{matrix}\right.\)

d, \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{5}x-\dfrac{4}{3}y=\dfrac{2}{5}\\-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{9}y=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{5}x-\dfrac{4}{3}y=\dfrac{2}{5}\\-\dfrac{3}{5}x-\dfrac{1}{2}y=\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{11}{6}y=\dfrac{8}{5}\\\dfrac{3}{5}x-\dfrac{4}{3}y=\dfrac{2}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{14}{11}\\y=-\dfrac{48}{55}\end{matrix}\right.\)

Bài 28 (SBT trang 78)

Giải các hệ phương trình :

a) \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-3z=2\\2x+7y+z=5\\-3x+3y-2z=-7\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}-x-3y+4z=3\\3x+4y-2z=5\\2x+y+2z=4\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-3z=2\\2x+7y+z=5\\-3x+3y-2z=-7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y-3z=2\\3y+7z=1\\-32z=-4\end{matrix}\right.\)

Đáp số : \(\left(x,y,z\right)=\left(\dfrac{55}{24},\dfrac{1}{24},\dfrac{1}{8}\right)\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}-x-3y+4z=3\\3x+4y-2z=5\\2x+y+2z=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x-3y+4z=3\\-5y+10z=14\\-5y+10z=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x-3y+4z=3\\-5y+10z=14\\0y+0z=-4\end{matrix}\right.\)

Phương trình cuối vô nghiệm, suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 29 (SBT trang 78)

Tìm các giá trị của a và b để các hệ phương trình sau có vô số nghiệm ?

a) \(\left\{{}\begin{matrix}3x+ay=5\\2x+y=b\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}ax+2y=a\\3x-4y=b+1\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(a=0\) . Thay vào hệ phương trình ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}3x=5\\2x+y=b\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\y=b-2x\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\y=b-\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\).
Vậy khi \(a=0\) và mỗi giá trị \(b\in R\) hệ có duy nhất nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\y=b-\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\).
Vậy \(a\ne0\). Khi đó hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi:
\(\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{a}=\dfrac{b}{5}\).
\(\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{a}\)\(\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}\); \(\dfrac{2}{3}=\dfrac{b}{5}\)\(\Leftrightarrow b=\dfrac{10}{3}\).
Vậy \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{10}{3}\right)\) thì hệ có vô số nghiệm.

Bài 30 (SBT trang 78)

Một gia đình có 4 người lớn và ba trẻ em mua vé xem xiếc hết 370 000 đồng. Một gia đình khác có hai người lớn và hai trẻ em cũng mua vé xem xiếc rạp đó hest 200 000 đồng. Hỏi giá vé người lớn và giá vé trẻ em là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải

Gọi giá vé người lớn là x, giá vé trẻ em là: y \(\left(x,y\in R;x,y>0\right)\).
Vé của 4 người lớn và 3 trẻ em là: \(4x+3y\).
Theo giả thiết: \(4x+3y=370000\).
Vé của hai người lớn và hai trẻ em là: \(2x+2y=200000\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}4x+3y=370000\\2x+2y=200000\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=70000\\y=30000\end{matrix}\right.\).
Vậy giá vé người lớn là: 70000 đồng; giá vé trẻ em là: 30000.

Bài 31 (SBT trang 79)

Nếu lấy một số có hai chữ số chia cho tích hai chữ số của nó thì được thương là 2 và dư là 18. Nếu lấy tổng bình phương các chữ số của số đó cộng với 9 thì được số đã cho. Hãy tìm số đó ?

Hướng dẫn giải

Gọi số cần tìm có dạng: \(\overline{ab}\) \(\left(a,b\in N;a,b>0\right)\)
Thương của số cần tìm với tích hai chữ số của nó có dạng:\(\overline{ab}:\left(ab\right)\).
Theo giả thiết ta có: \(\overline{ab}=2ab+18\).
Tổng bình phương các chữ số của số cần tìm là: \(a^2+b^2+9=\overline{ab}\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}2ab+18=\overline{ab}\\a^2+b^2+9=\overline{ab}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a^2+b^2+9=2ab+18\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=9\)\(\Leftrightarrow\left|a-b\right|=3\).
Th 1. \(a-b=3\)\(\Leftrightarrow a=b+3\). Khi đó:
\(2ab+18=\overline{ab}\)\(\Leftrightarrow2ab+18=10a+b\)\(\Leftrightarrow2\left(b+3\right)b+18=10\left(b+3\right)+b\)\(\Leftrightarrow2b^2-5b-12=0\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4\left(tm\right)\\b=\dfrac{-3}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\).
Với \(b=4\) ta có \(a=3+b=3+4=7\). Vậy số đó là 73.
Th2: \(a-b=-3\)\(\Leftrightarrow a=b-3\). Khi đó:
\(2ab+18=10a+b\)\(\Leftrightarrow2\left(b-3\right)b+18=10\left(b-3\right)+b\)
\(\Leftrightarrow2b^2-17b+48=0\) (Vô nghiệm).
Vậy số cần tìm là: 73.

Bài 32 (SBT trang 79)

Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện. Đoàn xe có 57 chiếc xe gồm 3 loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe chở 7,5 tấn. Nếu dùng tất cả xe chở 7,5 tấn chở 3 chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến và xe 3 tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại ?

Hướng dẫn giải

Gọi số xe chở 3 tấn, chở 5 tấn và xe chở 7,5 tấn lần lượt là:\(x,y,z\left(x,y,z\in N;x,y,z>0\right)\).
Do tổng số xe là 57 nên: \(x+y+z=57\).
Số tấn xi măng phải chở là 290 tấn nên: \(3x+5y+7,5z=290\).
Tất cả số xe chở 7,5 tấn chở 3 chuyến được: \(3.7,5.z\).
Tất cả số xe 5 tấn chở 3 chuyến và số xe 3 tấn chở 2 chuyến được: \(3.5.y+2.3x\).
Ta có phương trình: \(3.7,5z=3.5y+2.3x\Leftrightarrow22,5z=15y+6x\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=57\\3x+5y+7,5z=290\\22,5z=15y+6x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=20\\y=19\\z=18\end{matrix}\right.\)
Vậy số xe 3 tấn là 20 xe, số xe 5 tấn là 19 chiếc, số xe 7,5 tấn là 18 xe.

Bài 33 (SBT trang 79)

Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình :

                            \(\left\{{}\begin{matrix}2x+\left(3m+1\right)y=m-1\\\left(m+2\right)x+\left(4m+3\right)y=m\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+\left(3m+1\right)y=m-1\\\left(m+2\right)x+\left(4m+3\right)y=m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(m+2\right)x+\left(m+2\right)\left(3m+1\right)y=\left(m-1\right)\left(m+2\right)\\2\left(m+2\right)x+2\left(4m+3\right)y=2m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(m+2\right)\left(3m+1\right)y-2.\left(4m+3\right)y\)\(=\left(m-1\right)\left(m+2\right)-2m\)
\(\Leftrightarrow\left(3m^2-m-4\right)y=m^2-m-2\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(3m-4\right)y=\left(m+1\right)\left(m-2\right)\) (*)
Th1: \(\left(m+1\right)\left(3m-4\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)
Với \(m=-1\) thay vào hệ phương trình ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-2y=-2\\x-y=-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y-1\).
Khi đó hệ phương trình có vô số nghiệm dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}x=y-1\\y\in R\end{matrix}\right.\).
Với \(m=\dfrac{4}{3}\) thay vào (*) ta được: \(0y=-\dfrac{2}{3}\) (Vô nghiệm)
Khi đó hệ phương trình vô nghiệm.
Th2: \(\left(m+1\right)\left(3m-4\right)\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\m\ne\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\).
Khi đó (*) có nghiệm: \(y=\dfrac{m-2}{3m-4}\).
Thay vào ta được: \(2x+\left(3m+1\right).\dfrac{m-2}{3m-4}=m-1\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3-m}{3m-4}\).
Thử lại: \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3-m}{3m-4};\dfrac{m-2}{3m-4}\right)\) thỏa mãn hệ phương trình.
Biện luận:
Với \(m=-1\) hệ phương trình có vô số nghiệm loại: \(\left\{{}\begin{matrix}x=y-1\\y\in R\end{matrix}\right.\).

Với \(m=\dfrac{4}{3}\) hệ phương trình vô nghiệm.
Với \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\m\ne\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\) hệ có nghiệm duy nhất là: \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3-m}{3m-4};\dfrac{m-2}{3m-4}\right)\).