Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Ôn tập chương II Hình học

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 1 (SGK trang 62)

Hãy nhắc lại định nghĩa giá trị lượng giác của một góc \(\alpha\) với \(0^0\le\alpha\le180^0\). Tại sao khi \(\alpha\) là các góc nhọn thì giá trị lượng giác này lại chính là các tỉ số lượng giác đã được học ở lớp 9 ?

Hướng dẫn giải

Giải bài 1 trang 62 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Bài 2 (SGK trang 62)

Tại sao hai góc bù nhau lại có sin bằng nhau và côsin đối nhau ?

Hướng dẫn giải

Gọi M(x0;y0) là điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc xOM = α. Khi đó M’ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ∠xOM’ = 180° – a (tức là góc xOM’ là bù với góc xOM = a) có toạ độ M’ (-x0;y0)

Do đó: sina = y0 = sin(180° – a) cosa = x0 = -(-x0) = -sin(180° – a)

Bài 3 (SGK trang 62)

Nhắc lại định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Tích vô hướng này với \(\left|\overrightarrow{a}\right|\) và \(\left|\overrightarrow{b}\right|\) không đổi đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khi nào ?

Hướng dẫn giải

Giải bài 3 trang 62 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Bài 4 (SGK trang 62)

Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(-3;1\right)\) và vectơ \(\overrightarrow{b}=\left(2;2\right)\). Hãy tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) ?

 

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow{a}\) . \(\overrightarrow{b}\) = ( -3) . 2 + 1.2 = -4

Bài 5 (SGK trang 62)

Hãy nhắc lại định lí côsin trong tam giác. Từ các hệ thức này hãy tính cosA, cosB và cosC theo các cạnh của tam giác ?

Hướng dẫn giải

Định lí:

Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

Ta có các hệ thức sau: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA (1)

b2 = a2 + c2 - 2bc.cosB (2)

c2 = a2 + b2 - 2bc.cosC (3)

Hệ quả: Từ định lí cosin suy ra:

cosA = cosB =

cosC =

Bài 6 (SGK trang 62)

Từ hệ thức \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\) trong tam giác, hãy suy ra định lý Pi-ta-go ?

Hướng dẫn giải

góc A =90o => cosA = 0

nên a2 = b2 +c2

Bài 7 (SGK trang 62)

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có \(a=2R\sin A\)\(b=2R\sin B;c=2R\sin C\), trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ?

Hướng dẫn giải

Giải bài 7 trang 62 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Bài 8 (SGK trang 62)

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng :

a) Góc A nhọn khi và chỉ khi \(a^2< b^2+c^2\)

b) Góc A tù khi và chỉ khi \(a^2>b^2+c^2\)

c) Góc A vuông khi và chỉ khi \(a^2=b^2+c^2\)
 

Hướng dẫn giải

Giải bài 8 trang 62 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Bài 9 (SGK trang 62)

Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=60^0;BC=6\). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó ?

Hướng dẫn giải

Giải bài 9 trang 62 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Bài 10 (SGK trang 62)

Cho tam giác ABC có \(a=12,b=16,c=20\). Tính diện tích S của tam giác, chiều cao \(h_a\), các bán kính R, r của các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và đường trung tuyến \(m_a\) của tam giác ?

Hướng dẫn giải

Giải bài 10 trang 62 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Bài 11 (SGK trang 62)

Trong tập hợp các tam giác có hai cạnh là a và b, tìm tam giác có diện tích lớn nhất ?

Hướng dẫn giải

Giải bài 11 trang 62 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Bài 2.45 (SBT trang 103)

Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|\)

Vậy tam giác ABC là tam giác gì ?

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Gọi M là trung điểm của cạnh BC ta có :

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}\)

Mặt khác :

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\)

Theo giả thiết ta có :

\(\left|2\overrightarrow{AM}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|\) hay \(AM=\dfrac{BC}{2}\)

Ta suy ra ABC là tam giác vuông tại A

Bài 2.46 (SBT trang 103)

Ba điểm A, B, C phân biệt tạo nên vectơ \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\). Vậy tam giác ABC là tam giác gì ?

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có :

\(\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}^2-\overrightarrow{AC}^2=0\)

Ta suy ra ABC là tam giác có \(AB=AC\) (Tam giác cân tại A)

Bài 2.47 (SBT trang 104)

Tính các cạnh còn lại của tam giác ABC trong mỗi trường hợp sau :

a) \(a=7;b=10;\widehat{C}=56^029'\)

b) \(a=2;c=3;\widehat{B}=123^017'\)

c) \(b=0,4;c=12;\widehat{A}=23^028'\)

Hướng dẫn giải

a) \(c^2=a^2+b^2-2abcosC\)

\(=7^2+10^2-2\times7\times10\times cos56^o29\)

\(\approx71,69\Rightarrow c\approx8,5\)

b) \(b^2=a^2+c^2-2accosB\)

\(=2^2+3^2-2\times2\times3\times cos123^o17\)

\(\approx17,4\Rightarrow b\approx4,2\)

c) \(a^2=b^2+c^2-2bccosA\)

= \(0^2+12^2-2\times0\times12\times cos23^o28\)

\(=144\Rightarrow a\approx12\)

Bài 2.48 (SBT trang 104)

Tam giác ABC có \(\widehat{B}=60^0;\widehat{C}=45^0;BC=a\). Tính độ dài hai cạnh AB và AC ?

Hướng dẫn giải

Ta có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\Rightarrow\widehat{A}=75^o\)

* \(\dfrac{BC}{sinA}=\dfrac{AB}{sinC}\Rightarrow AB=\dfrac{BCsinC}{sinA}=a\left(1+\sqrt{3}\right)\)

* \(\dfrac{BC}{sinA}=\dfrac{AC}{sinB}\Rightarrow AC=\dfrac{BCsinB}{sinA}=a\left(\dfrac{-6+3\sqrt{2}}{2}\right)\)

Bài 2.49 (SBT trang 104)

Tam giác ABC có \(\widehat{A}=60^0;b=20;c=35\)

a) Tính chiều cao \(h_a\) ?

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ?

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ?

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 2.50 (SBT trang 104)

Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c.

 Chứng minh rằng :

              \(b^2-c^2=a\left(b\cos C-c\cos B\right)\)

Hướng dẫn giải

Ta có : \(a\left(bcosC-ccosB\right)=abcosC-accosB\)

\(=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}-\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2}=\dfrac{2b^2-2c^2}{2}\)

\(=b^2-c^2\)

Vậy \(b^2-c^2=a\left(bcosC-ccosB\right)\)

Bài 2.51 (SBT trang 104)

Tam giác ABC có BC = 12 cm, CA = 13 cm, trung tuyến AM = 8

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tính góc B 

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 2.52 (SBT trang 104)

Giải tam giác ABC biết : \(a=14;b=18;c=20\) 

Hướng dẫn giải

\(cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{18^2+20^2-14^2}{2\times18\times20}=\dfrac{11}{15}\)

\(\Rightarrow\widehat{A}\approx43^o\)

\(cosB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{14^2+20^2-18^2}{2\times14\times20}=\dfrac{17}{35}\)

\(\Rightarrow\widehat{B}\approx61^o\)

Ta có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\Rightarrow\widehat{C}=180^0-61^o-43^o=76^o\)

Bài 2.53 (SBT trang 104)

Giải tam giác ABC biết : \(\widehat{A}=60^0;\widehat{B}=40^0;c=14\)

Hướng dẫn giải

Có: \(\widehat{C}=180^0-\widehat{A}-\widehat{B}=180^0-60^0-40^0=80^0\)
Áp dụng định lý hàm số sin ta có:
\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{sin60^0}=\dfrac{14}{sin80^0}\\\dfrac{b}{sin40^0}=\dfrac{14}{sin80^0}\end{matrix}\right.\)
Suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}a\approx12.31\\b\approx9.14\end{matrix}\right.\)

Bài 2.54 (SBT trang 104)

Cho tam giác ABC có \(a=49,4;b=26,4;\widehat{C}=47^020'\)

Tính \(\widehat{A},\widehat{B}\) và cạnh c ?

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 2.55 - Đề toán tổng hợp (SBT trang 104)

Cho tình hình ABCD có AB = 3a; AD = 5a. Góc BAD bằng \(120^0\) :

a) Tìm các tích vô hướng sau : \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\)

b) Tính độ dài BD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 2.56 - Đề toán tổng hợp (SBT trang 104)

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với \(A\left(-5;6\right);B\left(-4;-1\right);C\left(4;3\right)\) :

a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác ABC

b) Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\) ngắn nhất ?

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 2.57 - Đề toán tổng hợp (SBT trang 105)

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với \(A\left(2;4\right);B\left(3;1\right);C\left(-1;1\right)\) :

a) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Chứng minh H, G, I thẳng hàng

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 2.58 - Đề toán tổng hợp (SBT trang 105)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a, tâm O; E là điểm trên cạnh BC và BE =a 

a) Tính cạnh OE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OBE

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ACD. Tính tích vô hướng : \(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GC}\)

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 2.59 - Đề toán tổng hợp (SBT trang 105)

Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b (với \(b\ne c\) ), phân giác AD = k (D nằm trên cạnh BC), BD = d, CD = e. Chứng minh hệ thức : \(k^2=bc-de\) ?

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

=> \(bd=ce\)

Từ (*) ta suy ra \(\left(b-c\right)\left(-k^2+bc-de\right)=0\)

=> \(k^2=bc-de\) (vì \(b\ne c\) ) => Điều phải chứng minh

Bài 2.60 - Đề toán tổng hợp (SBT trang 105)

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c thỏa mãn hệ thức : \(\dfrac{c}{b+a}+\dfrac{b}{a+c}=1\). Hãy tính số đo của góc A ?

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 2.61 - Đề toán tổng hợp (SBT trang 105)

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có \(A\left(1;2\right);B\left(-3;1\right)\) và trực tâm \(H\left(-2;3\right)\). Hãy tìm tọa độ đỉnh C ?

Hướng dẫn giải

AC đi qua A(1;2) và có VTPT nAC = vec-tơ BH = ( 1;2)
=> AC: 1(x-1) + 2(y-2)=0 <=> x+2y -5=0
BC đi qua B(-3;1) và có VTPT nBC = vec-tơ AH = (-3;1)
=>BC : -3(x+3) + (y-1)=0 <=> -3x + y -10 =0
C là giao điểm của AC và BC nên là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-5=0\\-3x+y-10=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{15}{7}\\y=\dfrac{25}{7}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(C\left(-\dfrac{15}{7};\dfrac{25}{7}\right)\)

Bài 2.62 - Đề toán tổng hợp (SBT trang 105)

Cho tam giác ABC có \(\widehat{BAC}=60^0;AB=4;AC=6\)

a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\), độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Lấy các điểm M, N định bởi : \(2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{NB}+x\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0};\left(x\ne-1\right)\). Định \(x\) để AN vuông góc với BM ?

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 2.63 - Đề toán tổng hợp (SBT trang 105)

Cho tam giác ABC có \(a=12,b=16,c=20\)

a) Tính diện tích S và chiều cao \(h_a\)của tam giác

b) Tính độ dài đường trung tuyến \(m_a\) của tam giác

c) Tính bán kính \(R\) và \(r\) của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 2.64 - Đề toán tổng hợp (SBT trang 105)

Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc \(\widehat{BPA}=35^0\) và \(\widehat{BQA}=48^0\) :

a) Tính BQ

b) Tính chiều cao của tháp

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 2.65 - Đề toán tổng hợp (SBT trang 106)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 điểm \(A\left(7;-3\right);B\left(8;4\right);C\left(1;5\right)\) :

a) Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông 

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 2.66 - Đề toán tổng hợp (SBT trang 106)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm \(A\left(1;3\right);B\left(4;2\right)\)

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB

b) Tính chu vi tam giác OAB

c) Tính diện tích tam giác OAB

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 2.67 - Đề toán tổng hợp (SBT trang 106)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm \(A\left(2;-1\right)\) :

a) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua gốc tọa độ O

b) Tìm tọa độ điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở C

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(A\left(2;-1\right)\), tọa độ điểm B đối xứng với A qua O là \(B\left(-2;1\right)\)

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Để kiểm tra số 1 - Câu 1 (SBT trang 106)

Tam giác ABC có cạnh \(BC=2\sqrt{3}\), cạnh \(AC=2\) và \(\widehat{C}=30^0\)

a) Tính cạnh AB và sin A

b) Tính diện tích S của tam giác ABC

c) Tính chiều cao \(h_a\) và trung tuyến \(m_a\)

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Để kiểm tra số 1 - Câu 2 (SBT trang 106)

Cho tam giác ABC có ba cạnh BC, AC và AB có độ dài lần lượt là a = 3, b = 4, c = 6

a) Tính côsin của góc lớn nhất của tam giác ABC

b) Tính đường cao ứng với cạnh lớn nhất 

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Để kiểm tra số 2 - Câu 1 (SBT trang 106)

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c

a) Chứng minh rằng :  \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}\)

b) Chứng minh rằng : \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AI^2-\dfrac{BC^2}{4}\) với I là trung điểm của BC

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là điểm bất kì trong mặt phẳng, chứng minh hệ thức sau ;

              \(MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3MG^2\)

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Để kiểm tra số 2 - Câu 2 (SBT trang 107)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(A\left(1;-1\right);B\left(3;0\right)\) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại ?

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Để kiểm tra số 3 - Câu 1 (SBT trang 107)

Cho tam giác ABC có a = 13, b = 14, c = 15

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tính cos B, góc B nhọn hay tù 

c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác

d) Tính độ dài trung tuyến \(m_b\)

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Để kiểm tra số 3 - Câu 2 (SBT trang 107)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có \(A\left(-1;2\right);B\left(2;0\right);C\left(-3;1\right)\). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ?

Hướng dẫn giải

\(\left(x,y\right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}IA=IB\\IA=IC\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}IA^2=IB^2\\IA^2=IC^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=\left(x-2\right)^2+y^2\\\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=\left(x+3\right)^2+\left(y-1\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-4y=-1\\4x+2y=-5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{11}{14}\\y=-\dfrac{13}{14}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(I\left(-\dfrac{11}{14};-\dfrac{13}{14}\right)\)