Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

§3. Elip

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 1 (SGK trang 88)

Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau :

a) \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)

b) \(4x^2+9y^2=1\)

c) \(4x^2+9y^2=36\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: a2 = 25 => a = 5 độ dài trục lớn 2a = 10

b2 = 9 => b = 3 độ dài trục nhỏ 2a = 6

c2 = a2 – b2 = 25 - 9 = 16 => c = 4

Vậy hai tiêu điểm là : F1(-4 ; 0) và F2(4 ; 0)

Tọa độ các đỉnh A1(-5; 0), A2(5; 0), B1(0; -3), B2(0; 3).

b)

4x2 + 9y2 = 1 <=> + = 1

a2= => a = => độ dài trục lớn 2a = 1

b2 = => b = => độ dài trục nhỏ 2b =

c2 = a2 – b2

= - = => c =

F1(- ; 0) và F2( ; 0)

A1(-; 0), A2(; 0), B1(0; - ), B2(0; ).

c) Chia 2 vế của phương trình cho 36 ta được :

=> + = 1

Từ đây suy ra: 2a = 6. 2b = 4, c =\(\sqrt{5}\)

=> F1(-\(\sqrt{5}\) ; 0) và F2(\(\sqrt{5}\) ; 0)

A1(-3; 0), A2(3; 0), B1(0; -2), B2(0; 2).

Bài 2 (SGK trang 88)

Lập phương trình chính tắc của elip biết :

a) Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6

b) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng :

+ = 1

a) Ta có a > b :

2a = 8 => a = 4 => a2 = 16

2b = 6 => b = 3 => b2 = 9

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng + = 1

b) Ta có: 2a = 10 => a = 5 => a2 = 25

2c = 6 => c = 3 => c2 = 9

=> b2 = a2 – c2 => b2 = 25 - 9 = 16

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng + = 1.

Bài 3 (SGK trang 88)

Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau :

a) Elip đi qua các điểm \(M\left(0;3\right)\) và \(N\left(3;-\dfrac{12}{5}\right)\)

b) Elip có một tiêu điểm \(F_1\left(-\sqrt{3};0\right)\) và điểm \(M\left(1;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) nằm trên elip

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng: + = 1

a) Elip đi qua M(0; 3):

+ = 1 => b2 = 9

Elip đi qua N( 3; ):

+ = 1 => a2 = 25

Phương trình chính tắc của elip là : + = 1

b) Ta có: c = √3 => c2 = 3

Elip đi qua điểm M(1; )

+ = 1 => + = 1 (1)

Mặt khác: c2 = a2 – b2

=> 3 = a2 – b2 => a2 = b2 + 3

Thế vào (1) ta được : + = 1

<=> a2 = 4b2 + 5b2 – 9 = 0 => b2= 1; b2 = ( loại)

Với b2= 1 => a2 = 4

Phương trình chính tắc của elip là : + = 1.

Bài 4 (SGK trang 88)

Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải

Ta có: 2a = 80 => a = 40

2b = 40 => b = 20

c2 = a2 – b2 = 1200 => c = 20√3

Phải đóng đinh tại các điểm F1 , F2 và cách mép ván:

F2A = OA – OF2 = 40 - 20√3

=> F2A = 20(2 - √3) ≈ 5,4cm

Chu vi vòng dây bằng: F1.F2+ 2a = 40√3 + 80

=> F1.F2 + 2a = 40(2 + √3)

F1.F2 + 2a ≈ 149,3cm

Bài 5 (SGK trang 88)

Cho hai đường tròn \(C_1\left(F_1;R_1\right)\) và \(C_2\left(F_2;R_2\right)\)\(C_1\) nằm trong \(C_2\) và \(F_1\ne F_2\). Đường tròn C thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \(C_1\) và tiếp xúc trong với \(C_2\). Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn C di động trên một elip ?

Hướng dẫn giải

Gọi R là bán kính của đường tròn (C)

(C) và C1 tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

MF1 = R1+ R (1)

(C) và C2 tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

MF2 = R2 – R (2)

Từ (1) VÀ (2) ta được

MF1 + MF2 = R1+ R2= R không đổi

Điểm M có tổng các khoảng cách MF1 + MF2 đến hai điểm cố định F1 và F2 bằng một độ dài không đổi R1+ R2

Vậy tập hợp điểm M là đường elip, có các tiêu điểm F1 và F2 và có tiêu cực :

F1 .F2 = R1+ R2

Bài 3.28 (SBT trang 159)

Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau :

a) Độ dài trục nhỏ bằng 12 và tiêu cự bằng 16

b) Một tiêu điểm là (12; 0) và điểm (13; 0) nằm trên elip

Hướng dẫn giải

a) \(\left(E\right):\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{36}=1\)

b) \(\left(E\right):\dfrac{x^2}{169}+\dfrac{y^2}{25}=1\)

Bài 3.29 (SBT trang 159)

Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục của mỗi elip có phương trình sau :

a) \(4x^2+9y^2=36\)

b) \(x^2+4y^2=4\)

Hướng dẫn giải

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 3.30 (SBT trang 159)

Cho đường tròn \(C_1\left(F_1;2a\right)\) cố định và một điểm \(F_2\) cố định nằm trong \(\left(C_1\right)\)

Xét đường tròn di động (C) có tâm M. Cho biết (C) luôn đi qua điểm \(F_2\) và (C) luôn tiếp xúc với \(\left(C_1\right)\)

Hãy chứng tỏ M di động trên một elip ?

Hướng dẫn giải

\(C\left(M;R\right)\) đi qua \(F_2\Rightarrow MF_2=R\) (1)

\(C\left(M;R\right)\) tiếp xúc trong với \(C_1\left(F_1;2a\right)\Rightarrow MF_1=2a-R\) (2)

(1) + (2) cho \(MF_1+MF_2=2a\)

Vậy M di động trên elip (E) có hai tiêu điểm là \(F_1,F_2\) và trục lớn \(2a\)

Bài 3.31 (SBT trang 159)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm \(M\left(x;y\right)\) di động có tọa độ luôn thỏa mãn :

                     \(\left\{{}\begin{matrix}x=7\cos t\\y=5\sin t\end{matrix}\right.\)

trong đó t là tham số. Hãy chứng tỏ M di động trên một elip

Hướng dẫn giải

điểm M di động trên elip (E) có phương trình \(\dfrac{x^2}{49}+\dfrac{y^2}{25}=1\)

Bài 3.32 (SBT trang 160)

Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau :

a) Độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số \(\dfrac{c}{a}\) bằng \(\dfrac{5}{13}\)

b) Tiêu điểm \(F_1\left(-6;0\right)\) và tỉ số \(\dfrac{c}{a}\) bằng \(\dfrac{2}{3}\)

 

Hướng dẫn giải

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 3.33 (SBT trang 160)

Viết phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là \(F_1\) và \(F_2\) biết :

a) (E) đi qua hai điểm \(M\left(4;\dfrac{9}{5}\right)\) và \(N\left(3;\dfrac{12}{5}\right)\)

b) (E) đi qua \(M\left(\dfrac{3}{\sqrt{5}};\dfrac{4}{\sqrt{5}}\right)\) và tam giác \(MF_1F_2\) vuông tại M

Hướng dẫn giải

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 3.34 (SBT trang 160)

Cho (E) : \(9x^2+25y^2=225\)

a) Tìm tọa độ hai tiêu điểm \(F_1;F_2\) và các đỉnh của (E)

b) Tìm điểm \(M\in\left(E\right)\) sao cho M nhìn \(F_1F_2\) dưới một góc vuông

Hướng dẫn giải

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 3.35 (SBT trang 160)

Cho elip (E) : \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(0< b< a\right)\). Tính tỉ số \(\dfrac{c}{a}\) trong các trường hợp sau :

a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ

b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông

c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự

Hướng dẫn giải

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 3.36 (SBT trang 160)

Cho (E) : \(4x^2+9y^2=36\) và điểm \(M\left(1;1\right)\). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB ?

Hướng dẫn giải

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng