Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

§1. Mệnh đề

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 1 (SGK trang 9)

Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến ?

a. \(3+2=7\)

b. \(4+x=3\)

c. \(x+y>1\)

d. \(2-\sqrt{5}< 0\)

Hướng dẫn giải

a) Mệnh đề sai;

b) Mệnh đề chứa biến;

c) Mệnh đề chứa biến;

d) Mệnh đề đúng.


Bài 2 (SGK trang 9)

Xét tính đung sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó ?

a. 1794 chia hết cho 3

b. \(\sqrt{2}\) là một số hữu tỉ

c. \(\pi< 3,15\)

d. \(\left|-125\right|\le0\)

Hướng dẫn giải

a) Đúng. Mệnh đề phủ định: "1794 không chia hết cho 3".

b) Sai. "√2 không phải là một số hữu tỉ".

c) Đúng. "π không nhỏ hơn 3, 15". Dùng kí hiệu là: π ≥ 3,15 .

d) Sai. "|-125|>0".

Bài 3 (SGK trang 9)

Cho các mệnh đề kéo theo 

Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c (a, b, c là những số nguyên)

Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5

Tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau

Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau

a. Hãy phát biếu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên

b. Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện đủ"

c. Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần"

Hướng dẫn giải

a) Nếu a+b chia hết cho c thì a và b chia hết cho c. Mệnh đề sai.

Số chia hết cho 5 thì tận cùng bằng 0. Mệnh đề sai.

Tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam giác là cân. Mệnh đề đúng.

Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau. Mệnh đề sai.

b) a và b chia hết cho c là điều kiện đủ để a+b chia hết cho c.

Một số tận cùng bằng 0 là điều kiện đủ để số đó chia hết cho 5.

Điều kiện đủ để một tam giác là cân là có hai đường trung tuyến bằng nhau.

Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau.

c) a+b chia hết cho c là điều kiện cần để a và b chia hết cho c.

Chia hết cho 5 là điều kiện cần để một số có tận cùng bằng 0.

Điều kiện cần để tam giác là tam giác cân là nó có hai trung tuyến bằng nhau.

Có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau.


Bài 4 (SGK trang 9)

Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ"

a. Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại

b. Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại

c. Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

b) Điều kiện cần và đủ để tứ giác là hình thoi là tứ giác là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

c) Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là biệt thức của nó dương.


Bài 5 (SGK trang 10)

Dùng kí hiệu \(\forall,\exists\) để viết các mệnh đề sau :

a. Mọi số nhân với 1 đề bằng chính nó

b. Có một số cộng với chính nó bằng 0

c. Mọi số cộng với số đối của nói đều bằng 0

Hướng dẫn giải

Ta viết lại như sau ;

a) \(\forall x\in R:x\cdot1=x\)

b) \(\exists n\in R:n+n=0\)

c) \(\forall x\in R:x+\left(-x\right)=0\)

Bài 6 (SGK trang 10)

Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nói ?

a. \(\forall x\in R:x^2>0\)

b. \(\exists n\in N:n^2=n\)

c. \(\forall x\in N:n\le2\)

d. \(\exists x\in R:x< \dfrac{1}{x}\)

Hướng dẫn giải

a) ∀x ∈ R: x2>0= "Bình phương của một số thực là số dương". Sai vì 0∈R mà 02=0.

b) ∃ n ∈ N: n2=n = "Có số tự nhiên n bằng bình phương của nó". Đúng vì 1 ∈ N, 12=1.

c) ∀n ∈ N: n ≤ 2n = "Một số tự nhiên thì không lớn hơn hai lần số ấy". Đúng.

d) ∃ x∈R: x< = "Có số thực x nhỏ hơn nghịch đảo của nó". Mệnh đề đúng. chẳng hạn 0,5 ∈ R và 0,5 <.


Bài 7 (SGK trang 10)

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó ?

a. \(\forall n\in N:n\) chia hết cho n

b. \(\exists x\in Q:x^2=2\)

c. \(\forall x\in R:x< x+1\)

d. \(\exists x\in R:3x=x^2+1\)

Hướng dẫn giải

a) Có một số tự nhiên n không chia hết cho chính nó. Mệnh đề này đúng vì n=0 ∈ N, 0 không chia hết cho 0.

b) = "Bình phương của một số hữu tỉ là một số khác 2". Mệnh đề đúng.

c) = ∃x ∈ R: x≥x+1= "Tồn tại số thực x không nhỏ hơn số ấy cộng với 1". Mệnh đề này sai.

d) = ∀x ∈ R: 3x ≠ x2+1= "Tổng của 1 với bình phương của số thực x luôn luôn không bằng 3 lần số x"

Đây là mệnh đề sai vì với x= ta có :

3 =+1

Bài 1 (SBT trang 7)

Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là một mệnh đề chứa biến ?

a) \(1+1=3\)

b) \(4+x< 3\)

c) \(\dfrac{3}{2}\) có phải là một số nguyên không ?

d) \(\sqrt{5}\) là một số vô tỉ

Hướng dẫn giải

a) Là một mệnh đề

b) Là một mệnh đề chứa biến

c) Không là mệnh đề, không là mệnh đề chứa biến

d) Là một mệnh đề

Bài 2 (SBT trang 7)

Xét tính đung sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu phủ định của nó :

a) \(\sqrt{3}+\sqrt{2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)

b) \(\left(\sqrt{2}-\sqrt{18}\right)^2>8\)

c) \(\left(\sqrt{3}+\sqrt{12}\right)^2\) là một số hữu tỉ

d) \(x=2\) là một nghiệm của phương trình \(\dfrac{x^2-4}{x-2}=0\)

Hướng dẫn giải

a) Đúng. Mệnh đề phủ định: "1794 không chia hết cho 3".

b) Sai. "√2 không phải là một số hữu tỉ".

c) Đúng. "π không nhỏ hơn 3, 15". Dùng kí hiệu là: π ≥ 3,15 .

d) Sai. "|-125|>0".



Bài 3 (SBT trang 7)

Tìm hai giá trị thực của x để từ mỗi câu sau  ta được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai ?

a) \(x< -x\)

b) \(x< \dfrac{1}{x}\)

c) \(x=7x\)

d) \(x^2\le0\)

Hướng dẫn giải

a) Với \(x=-1\) ta được mệnh đề \(-1< 1\) (đúng)

Với \(x=1\) ta được mệnh đề \(1< -1\) (sai)

b) Với \(x=\dfrac{1}{2}\) ta được mệnh đề \(\dfrac{1}{2}< 2\) (đúng)

Với \(x=2\) ta được mệnh đề \(2< \dfrac{1}{2}\) (sai)

c) \(x=0;x=1\)

d) \(x=0;x=1\)

Bài 4 (SBT trang 8)

Phát biểu phủ định các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng

a) P : "15 không chia hết cho 3"

b) Q : "\(\sqrt{2}>1\)"

Hướng dẫn giải

a) \(\overline{P}\) là mệnh đề " 15 chia hết cho 3"; P sai, \(\overline{P}\) đúng

b) \(\overline{Q}\) là mệnh đề "\(\sqrt{2}\le1\)"; Q đúng, \(\overline{Q}\) sai

Bài 5 (SBT trang 8)

Lập mệnh đề \(P\Rightarrow Q\) và xét tính đúng sai của nó, với :

a) P : "\(2< 3\)"                                   Q : "\(-4< -6\)"

b) P : "\(4=1\)"                                   Q : "\(3=0\) "

 

Hướng dẫn giải

a) "Nếu \(2< 3\) thì \(-4< -6\)". Mệnh đề sai

b) " Nếu \(4=1\) thì \(3=0\)". Mệnh đề đúng

Bài 6 (SBT trang 8)

Cho a là số tự hiên, xét các mệnh đề P : "a có tận cùng là 0", Q : "a chia hết cho 5"

a) Phát biểu mệnh đề \(P\Rightarrow Q\) và mệnh đề đảo của nó;

b) Xét tính đúng sai của cả hai mệnh đề trên

Hướng dẫn giải

a) \(\left(P\Rightarrow Q\right):\) "Nếu a có tận cùng bằng 0 thì a chia hết cho 5".

Mệnh đề đảo \(\left(Q\Rightarrow P\right):\)"Nếu a chia hết cho 5 thì a có tận cùng bằng 0"

b) \(\left(P\Rightarrow Q\right):\) đúng. \(\left(Q\Rightarrow P\right):\) sai

Bài 7 (SBT trang 8)

Với mỗi số thực x, xét các mệnh để P : "\(x^2=1\)"; "\(x=1\)"

a) Phát biểu mệnh đề \(P\Rightarrow Q\) và mệnh đề đảo của nó ?

b) Xét tính đúng sau của mệnh đề \(Q\Rightarrow P\) ?

c) Chỉ ra một giá trị của x mà mệnh đề \(P\Rightarrow Q\) sai ?

Hướng dẫn giải

a) \(\left(P\Rightarrow Q\right):\)"Nếu \(x^2=1\) thì \(x=1\)". Mệnh để đảo là "Nếu \(x=1\) thì \(x^2=1\)"

b) Mệnh đề đảo "Nếu \(x=1\) thì \(x^2=1\) là đúng

c) Với \(x=-1\) thì mệnh đề \(\left(P\Rightarrow Q\right):\)sai

Bài 8 (SBT trang 8)

Với mỗi số thực x, xét các mệnh đề P : "x là một số hữu tỉ"; Q : "\(x^2\) là một số hữu tỉ"

a) Phát biểu mệnh đề \(P\Rightarrow Q\) và xét tính đúng sai của nó ?

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên ?

c) Chỉ ra một giá trị của x mà mệnh đề đảo sai ?

 

Hướng dẫn giải

a) \(\left(P\Rightarrow Q\right):\)"Nếu \(x\) là một số hữu tỉ \(x^2\) cũng là một số hữu tỉ". Mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề đảo là " Nếu \(x^2\) là một số hữu tỉ thì \(x\) là một số hữu tỉ"

c) Chẳng hạn, với \(x=\sqrt{2}\) mệnh đề này sai

Bài 9 (SBT trang 8)

Cho tam giác ABC. Xét các mệnh đề P : "AB = AC"; Q : "Tam giác ABC cân"

a) Phát biểu mệnh đề \(P\Rightarrow Q\) và mệnh đề đảo của nó ?

b) Xét tính đúng, sai của cả hai mệnh đề trên ?

Hướng dẫn giải

a) \(\left(P\Rightarrow Q\right)\) : " Nếu AB = AC thì tam giác ABC cân"

Mệnh đề đảo \(\left(Q\Rightarrow P\right):\)" Nếu tam giác ABC cân thì AB = AC"

b) \(\left(P\Rightarrow Q\right)\) : đúng, \(\left(Q\Rightarrow P\right):\)sai

Bài 10 (SBT trang 8)

Cho tam giác ABC. Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng ?

a) Nếu AB = BC = CA thì tam giác ABC là một tam giác đều.

b) Nếu AB > BC thì \(\widehat{C}>\overrightarrow{A}\)

c) Nếu \(\widehat{A}=90^0\) thì ABC là một tam giác vuông

Hướng dẫn giải

a) "Nếu ABC là một tam giác đều thì AB = BC = CA", cả hai mệnh đề đều đúng

b) "Nếu \(\widehat{C}>\widehat{A}\) thì AB > BC". Cả hai mệnh đề đều đúng

c) "Nếu ABC là một tam giác vuông thì \(\widehat{A}=90^0\)"

Nếu tam giác ABC vuông tại B (hoặc C) thì mệnh đề đảo sai

Bài 11 (SBT trang 9)

Sử dụng khái niệm "điều kiện cần" hoặc "điều kiện đủ", hoặc "điều kiện cần và đủ" (nếu có thể) hãy phát biểu các mệnh đề trong bài tập 10 ?

"Cho tam giác ABC. Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng ?

a) Nếu AB = BC = CA thì tam giác ABC là một tam giác đều.

b) Nếu AB > BC thì \(\widehat{C}>\overrightarrow{A}\)

c) Nếu \(\widehat{A}=90^0\) thì ABC là một tam giác vuông"

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là AB = BC = CA

b) Điều kiện cần và đủ để AB > BC là \(\widehat{C}>\widehat{A}\)

c) Điều kiện đủ để tam giác ABC vuông là \(\widehat{A}=90^0\)

Bài 12 (SBT trang 9)

Cho tứ giác ABCD. Phát biểu một điều kiện cần và đủ để :

a) ABCD là một hình bình hành

b) ABCD là một hình chữ nhật

c) ABCD là một hình thoi

 

Hướng dẫn giải

a) Tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi AB // CD và AB = CD

b) Tứ giác ABCD là một hình chữ nhật khi và chỉ khi nó là một hình bình hành và có một góc vuông

c) Tứ giác ABCD là một hình thoi khi và chỉ khi nó là một hình bình hành và có hai đường chéo vuông góc với nhau

Bài 13 (SBT trang 9)

Cho đa thức \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

Xét mệnh đề "Nếu \(a+b+c=0\) thì \(f\left(x\right)\) có một nghiệm bằng 1". Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên. Nêu một điều kiện cần và đủ để \(f\left(x\right)\) có một nghiệm bằng 1 ?

Hướng dẫn giải

Mệnh đề đảo là : "Nếu \(f\left(x\right)\) có một nghiệm bằng 1 thì \(a+b+c=0\)". "Điều kiện cần và đủ để \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) có một nghiệm bằng 1 là \(a+b+c=0\)"

Bài 14 (SBT trang 9)

Dùng kí hiệu \(\forall\) hoặc \(\exists\) để viết các mệnh đề sau :

a) Có một số nguyên bằng bình phương của nó

b) Mọi số (thực) cộng với 0 đều bằng chính nó

c) Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó

d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn 0

Hướng dẫn giải

a) \(\exists x\in Z:x=x^2\)

Bài 15 (SBT trang 9)

Phát biểu thành lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng ?

a) \(\forall x\in R:x^2\le0\)

b) \(\exists x\in R:x^2\le0\)

c) \(\forall x\in R:\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\)

d) \(\exists x\in R:\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\)

e) \(\forall x\in:x^2+x+1>0\)

f) \(\exists x\in:x^2+x+1>0\)

Hướng dẫn giải

a) với mọi x thuộc tập số thực thì x2 bé hơn hoặc bằng 0 (mệnh đề sai)

b) một vài x thuộc tập số thực thì x2 bé hơn hoặc bằng 0 (mệnh đề đúng)

c) với mọi x thuộc tập số thực thì \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\) (mệnh đề sai)

d) một vài x thuộc tập số thực thì \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\) (mệnh đề đúng)

e) với mọi x thuộc tập số thực thì \(x^2+x+1>0\) (mệnh đề đúng)

f) một vài x thuộc tập số thực thì \(x^2+x+1>0\) (mệnh đề đúng)

Bài 16 (SBT trang 9)

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó ?

a) \(\forall x\in R:x.1=x\)

b) \(\forall x\in R:x.x=1\)

c) \(\forall n\in Z:n< n^2\)

Hướng dẫn giải

a) \(\exists x\in R:x.1\ne x\)

mệnh đề phủ định sai.

b) \(\exists x\in R:x.x\ne1\)

mệnh đề phủ định đúng.

c) \(\exists n\in Z:n\ge n^2\)

mệnh đề phủ định đúng.

Bài 17 (SBT trang 9)

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó ?

a) Mọi hình vuông đều là hình thoi

b) Có một tam giác cân không phải là tam giác đều

Hướng dẫn giải

a) Có một hình vuông không phải là hình thoi.
Mệnh đề phủ định sai.
b) Mọi tam giác cân đều đều là tam giác đều.
Mệnh đề phủ định sai.