Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

§1. Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 (độ) đến 180 (độ)

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 1 (SGK trang 40)

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có :

a) \(\sin A=\sin\left(B+C\right)\)

b) \(\cos A=-\cos\left(B+C\right)\)

Hướng dẫn giải

Trong một tam giác thì tổng các góc là 1800 :

+ + = 1800 => = -1800 - ( + )

và ( + ) là 2 góc bù nhau, do đó:

a) sinA = sin[1800 - ( + )] = sin (B + C)

b) cosA = cos[1800 - ( + )] = -cos (B + C)

Bài 2 (SGK trang 40)

Cho AOB là tam giác cân tại O có OA = a và có các đường cao OH và AK. Giả sử \(\widehat{AOH}=\alpha\). Tính AK và OK theo a và \(\alpha\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có = 2α => Trong tam giác OKA có:

AK = OA.sin. => AK = a.sin2α

OK =OA.cos. => OK = a.cos2α

     O A B H K

 

Bài 3 (SGK trang 40)

Chứng minh rằng :

a) \(\sin105^0=\sin75^0\)

b) \(\cos170^0=-\cos10^0\)

c) \(\cos122^0=-\cos58^0\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: sin 1050 = sin(1800-1050) => sin 1050= sin 750

b) cos1700= -cos(1800-1700) => cos1700 = -cos100

c) cos1220 = -cos(1800-1220) => cos1220 = -cos580

Bài 4 (SGK trang 40)

Chứng minh rằng với mọi góc \(\alpha\left(0^0\le\alpha\le180^0\right)\) ta đều có \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\) ?

Hướng dẫn giải

Từ M kẻ MP ⊥ Ox, MQ ⊥ Oy

=> = cosα; =

= sinα;

Trong tam giác vuông MPO:

MP2+ PO2 = OM2 => cos2 α + sin2 α = 1
O x y M P Q

 

 

Bài 5 (SGK trang 40)

Cho góc x, với \(\cos x=\dfrac{1}{3}\). Tính giá trị của biểu thức : \(P=3\sin^2x+\cos^2x\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có sin2x + cos2x = 1 => sin2x = 1 - cos2x

Do đó P = 3sin2x + cos2x = 3(1 - cos2x) + cos2x

=> P = 3 - 2cos2x

Với cosx = => cos2x = => P= 3 - =

Bài 6 (SGK trang 40)

Cho hình vuông ABCD. Tính :

\(\cos\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA}\right);\sin\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right);\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)\)

Hướng dẫn giải

A B C D B' O
\(cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BA}\right)=cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB'}\right)=cos\widehat{CAB'}=cos135^o\)\(=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
\(sin\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD}\right)=sin90^o=1\) do \(AC\perp BD\).
\(cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)=cos180^o=-1\) do hai véc tơ \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\) ngược hướng.

 

Bài 2.1 (SBT trang 81)

Với những giá trị nào của góc \(\alpha\) (\(0^0\le\alpha\le180^0\)) thì :

a) \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) cùng dấu ?

b) \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) khác dấu ?

c) \(\sin\alpha\) và \(\tan\alpha\) cùng dấu ?

d)  \(\sin\alpha\) và \(\tan\alpha\) khác dấu ?

 

Hướng dẫn giải

a) \(0< \alpha< 90^o\)
b) \(90^o< \alpha< 180^o\)
c) \(0< \alpha< 90^o\)
d) \(90^o< \alpha< 180^o\)

Bài 2.2 (SBT trang 81)

Tính giá trị lượng giác của các góc sau đây :

a) \(120^0\)

b) \(150^0\)

c) \(135^0\)

Hướng dẫn giải

a) \(sin120^o=sin60^o=\dfrac{\sqrt{3}}{2};cos120^o=-cos60^o=-\dfrac{1}{2}\);
\(tan120^o=-\sqrt{3};cot120^o=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}\).
b) \(sin150^o=sin30^o=\dfrac{1}{2};cos150^o=-cos30^o=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
\(tan150^o=-tan30^o=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\); \(cot150^o=-cot30^o=-\sqrt{3}\).
c)\(sin135^o=sin45^o=\dfrac{\sqrt{2}}{2};cos135^o=-cos45^o=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
\(tan135^o=-tan45^o=-1\); \(cot135^o=-1\).

Bài 2.3 (SBT trang 81)

Tính giá trị của biểu thức :

a) \(2\sin30^0+3\cos45^0-\sin60^0\)

b) \(2\cos30^0+3\sin45^0-\cos60^0\)

Hướng dẫn giải

a)
\(2sin30+3sin45^o-sin60^o=2.\dfrac{1}{2}+3.\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(=\dfrac{2+3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}\).
b)\(2cos30^o+3sin45^o-cos60^o=2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}+3.\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\)\(=\dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-1}{2}\).

Bài 2.4 (SBT trang 81)

Rút gọn biểu thức :

a) \(4a^2\cos^260^0+2ab.\cos^2180^0+\dfrac{4}{3}\cos^230^0\)

b) \(\left(a\sin90^0+b\tan45^0\right)\left(a\cos0^0+b\cos180^0\right)\)

Hướng dẫn giải

a)
\(4a^2cos^260^o+2ab.cos^2180^o+\dfrac{4}{3}cos^230^o\)
\(=4a^2.\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+2ab.\left(-1\right)^2+\dfrac{4}{3}.\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\)
\(=4a^2.\dfrac{1}{4}+2ab+\dfrac{4}{3}.\dfrac{3}{4}\)
\(=a^2+2ab+1\).
b)
\(\left(asin90^o+btan45^o\right)\left(acos0^o+bcos180^o\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2\).

Bài 2.5 (SBT trang 81)

Hãy tính và so sánh giá trị của từng cặp biểu thức sau đây :

a) \(A=\cos^230^0-\sin^230^0\) và \(B=\cos60^0+\sin45^0\)

b) \(C=\dfrac{2\tan30^0}{1-\tan^230^0}\) và \(D=\left(-\tan135^0\right)\tan60^0\)

Hướng dẫn giải

a)
\(A=cos^230^o-sin^230^o=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\);
\(B=cos60^o+sin45^o=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Vì vậy \(A< B\).
b)
\(C=\dfrac{2tan30^o}{1-tan^230^o}=\dfrac{2\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{3}\).
\(D=\left(-tan135^o\right)tan60^o=-\left(-1\right).\sqrt{3}=\sqrt{3}\).
Vậy \(C=D\).

Bài 2.6 (SBT trang 82)

Cho \(\sin\alpha=\dfrac{1}{4}\) với \(90^0< \alpha< 180^0\). Tính \(\cos\alpha\) và \(\tan\alpha\) ?

Hướng dẫn giải

Do \(90^o< \alpha< 180^o\) nên \(cos\alpha,tan\alpha< 0\).
Vì vậy:
\(cos\alpha=-\sqrt{1-sin^2\alpha}=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}\).
\(tan\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\dfrac{1}{4}:\dfrac{-\sqrt{15}}{4}=-\dfrac{1}{\sqrt{15}}\).

Bài 2.7 (SBT trang 82)

Cho \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\). Tính \(\sin\alpha\) và \(\tan\alpha\) ?

Hướng dẫn giải

\(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{14}}{4};\tan\alpha=-\sqrt{7}\)

Bài 2.8 (SBT trang 82)

Cho \(\tan\alpha=-2\sqrt{2}\) với \(0^0< \alpha< 90^0\). Tính \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) ?

Hướng dẫn giải

\(\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt{2}}{3};\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\)

Bài 2.9 (SBT trang 82)

Biết \(\tan\alpha=\sqrt{2}\). Tính giá trị của biểu thức \(A=\dfrac{3\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\) ?

Hướng dẫn giải

\(A=\dfrac{3sin\alpha-cos\alpha}{sin\alpha+cos\alpha}=\dfrac{\dfrac{3sin\alpha}{cos\alpha}-1}{\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}-1}=\dfrac{3tan\alpha-1}{tan\alpha-1}\)\(=\dfrac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=5+2\sqrt{2}\).

Bài 2.10 (SBT trang 82)

Biết \(\sin\alpha=\dfrac{2}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(3=\dfrac{\cot\alpha-\tan\alpha}{\cot\alpha+\tan\alpha}\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có:
\(\dfrac{cot\alpha-tan\alpha}{cot\alpha+tan\alpha}=\dfrac{cot\alpha.cot\alpha-cot\alpha tan\alpha}{cot\alpha.cot\alpha+cot\alpha tan\alpha}=\dfrac{cot^2\alpha-1}{cot^2\alpha+1}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{sin^2\alpha}-2}{\dfrac{1}{sin^2\alpha}}=1-2sin^2\alpha=1-2\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}\).

Bài 2.11 (SBT trang 82)

Chứng minh rằng với \(0^0\le x\le180^0\) ta có :

a) \(\left(\sin x+\cos x\right)^2=1+2\sin x\cos x\)

b) \(\left(\sin x-\cos x\right)^2=1-2\sin x\cos x\)

c) \(\sin^4x+\cos^4x=1+2\sin^2x\cos^2x\)

Hướng dẫn giải

a) \(\left(sinx+cosx\right)^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x\)\(=1+2sinxcosx\).
b) \(\left(sinx-cosx\right)^2=sin^2x-2sinxcosx+cos^2x\)\(=1-2sinxcosx\).
c) \(sin^4x+cos^4x=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2xcos^2x\)
\(=1-2sin^2xcos^2x\).

Bài 2.12 (SBT trang 82)

Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào \(\alpha\) :

a) \(A=\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2+\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)^2\)

b) \(B=\sin^4\alpha-\cos^4\alpha-2\sin^2\alpha+1\)

Hướng dẫn giải

a)
\(A=\left(sin\alpha+cos\alpha\right)^2+\left(sin\alpha-cos\alpha\right)^2\)
\(=1+2sin\alpha cos\alpha+1-2sin\alpha cos\alpha=2\) (không phụ thuộc vào \(\alpha\)).
b)
\(B=sin^4\alpha-cos^4\alpha-2sin^2\alpha+1\)
\(=\left(sin^2\alpha+cos^2\alpha\right)\left(sin^2\alpha-cos^2\alpha\right)-2sin^2\alpha+1\)
\(=sin^2\alpha-cos^2\alpha-2sin^2\alpha+1\)
\(=-sin^2\alpha-cos^2\alpha+1\)
\(=-\left(sin^2\alpha+cos^2\alpha\right)+1=-1+1=0\).