Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 1.8 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 106)

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH bằng 12 cm. Hãy tính cạnh huyền BC nếu biết HB : HC = 1 : 3 ?

Hướng dẫn giải

Theo gt: \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow HB=\dfrac{HC}{3}\left(1\right)\)

Ta có: \(AH^2=BH.CH\left(2\right)\) (định lí 2)

Thay (1) vào (2) ta được:

\(AH^2=\dfrac{HC}{3}.HC=\dfrac{HC^2}{3}\)

mà AH = 12cm

\(\Rightarrow12^2=\dfrac{HC^2}{3}\Leftrightarrow HC^2=12^2.3=432\Leftrightarrow HC=12\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Thay HC = \(12\sqrt{3}\) vào (1) ta được:

\(HB=\dfrac{HC}{3}=\dfrac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Mặt khác BC = HB + HC = \(4\sqrt{3}+12\sqrt{3}=16\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Bài 1.6 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 106)

Đường cao một tam giác vuông kẻ từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn, trong đó đoạn lớn bằng 9cm. Hãy tính cạnh huyền của tam giác vuông đó nếu hai cạnh góc vuông có tỉ lệ 6 : 5 ?

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 4 (Sách bài tập trang 103)

Hãy tính x và y trong các hình sau :

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông⇒32=2x⇒x=\(\dfrac{9}{2}=4,5\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go⇒y2=32+x2=9+20,25=29,25⇒\(y=\dfrac{3\sqrt{13}}{2}\)

b) Ta có \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow AC=\dfrac{4}{3}.AB=\dfrac{4}{3}.15=20\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ⇒\(\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{225}+\dfrac{1}{400}=\dfrac{1}{144}\Rightarrow x^2=144\Rightarrow x=12\)Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ⇒AB.AC=x.y⇒\(y=\dfrac{AB.AC}{x}=\dfrac{15.20}{12}=25\)

Bài 5 (Sách bài tập trang 103)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH :

Giải bài toán trong mỗi trường hợp sau :

a) Cho AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC, CB, CH ?

b) Cho AH = 12, BH = 6. Tính AH, AC, BC, CH ?

Hướng dẫn giải

a,Trong \(\Delta\) ABH có AHB=900 (BH \(\perp\) BC tại H -gt)

AH2 + BH2 =AB2 (định lý Pi-ta-go)

T/s:162 +252 =AB2

\(\Rightarrow\) AB2 =881

mà AB>0

\(\Rightarrow\) AB=\(\sqrt{881}\)\(\approx\) 29.68

Trong\(\Delta\) ABC có BAC=900 (gt), Đường cao AH (gt)

AH2= BH*CH (hệ thức lượng)

T/s: 162=25*CH

\(\Rightarrow\) CH=\(\dfrac{16^2}{25}\) = 10.24

Có:BH+HC=BC(H\(\in\) BC)

T/s: 25+10.24=BC

\(\Rightarrow\) BC=35.24

Trong \(\Delta\) ABC có:BAC=900 (GT)

AB2 +AC2 =BC2(Định lý Py-ta-go)

T/s:29.682+AC2\(\approx\)35.242

\(\Rightarrow\) AC2\(\approx\)35.242-29.682

\(\approx\)360.95

Mà AC>0

\(\Rightarrow\) AC\(\approx\) 19

Bài 17 (Sách bài tập trang 104)

Cho hình chữ nhật ABCD. Đường cao phân giác của góc B cắt đường chéo AC thành hai đoạn \(4\dfrac{2}{7}cm\) và \(5\dfrac{5}{7}m\). Tính các kích thước của hình chữ nhật ?

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 7 (Sách bài tập trang 103)

Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 3 và 4. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này ?

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 16 (Sách bài tập trang 104)

Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5, 12, 13. Tìm góc của tam giác đối diện với cạnh có độ dài 13 ?

Hướng dẫn giải

\(5^5+12^2=169=13^2\) nên tam giác đã cho là tam giác vuông và góc đối diện với cạnh có độ dài 14 chính là góc vuông.

Bài 15 (Sách bài tập trang 104)

Giữa hai tòa nhà (kho và phân xưởng) của một nhà máy người ta xây dựng một băng chuyền AB để nguyên vật liệu. Khoảng cách giữ hai tòa nhà là 10m, còn hai vòng quay của băng chuyển được đặt ở độ cao 8m và 4m so với mặt đất (h.7). Tìm độ dài AB của băng chuyền ?

Hướng dẫn giải

Bài 1.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 105)

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB : AC = 3 :4 và đường cao AH bằng 9cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng HC bằng :

(A) 6cm                    (B) 9cm                            (C) 12cm                           (D) 15cm

Hãy chọn phương án đúng ?

Hướng dẫn giải

Bài 10 (Sách bài tập trang 104)

Cho một tam giác vuông. Biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 3 : 4 và cạng huyền là 125 cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền ?

Hướng dẫn giải

Gọi tam giác vuông đó là tam giác ABC (góc BAC = 900),

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\&BC=125\left(cm\right)\) , gọi \(AH\perp BC=\left\{H\right\}\)

Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow AB=AC\dfrac{3}{4}\left(1\right)\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, có:

\(AB^2+AC^2=BC^2\left(2\right)\)

Thay (1) vào (2) ta được:

\(\left(\dfrac{3}{4}AC\right)^2+AC^2=BC^2\Leftrightarrow AC^2\dfrac{9}{16}+AC^2=BC^2\Leftrightarrow AC^2\dfrac{25}{16}=BC^2\)

Mà BC = 125cm

\(\Rightarrow AC^2\dfrac{25}{16}=125^2\Leftrightarrow AC^2=10000\Leftrightarrow AC=100\left(cm\right)\)

Thay AC = \(100\) vào (1) ta được:

\(AB=\dfrac{3}{4}.100=75\left(cm\right)\)

Ta lại có: \(AB^2=BC.BH\) (định lí 1)

\(\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{75^2}{125}=45\left(cm\right)\)

mà BH + CH = BC \(\Rightarrow CH=BC-BH=125-45=80\left(cm\right)\)

Vậy AB = 75cm, AC = 100cm, BH = 45cm, CH = 80cm

Bài 2 (Sách bài tập trang 102)

Hãy tính x và y trong các hình sau :

Hướng dẫn giải

a) Hình a

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

x2=2.(2+6)=2.8=16 ⇒x=4x2=2.(2+6)=2.8=16⇒x=4

y2=6.(2+6)=6.8=48⇒y=√48=4√3y2=6.(2+6)=6.8=48⇒y=48=43

b) Hình b

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:

x2=2.8=16⇒x=4


Bài 9 (Sách bài tập trang 104)

Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này ?

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 19 (Sách bài tập trang 105)

Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN ?

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 1.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 105)

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB : AC = 4 : 5 và đường cao AH bằng 12cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng HB bằng :

(A) 6cm                    (B) 9,6cm                            (C) 12cm                           (D) 15cm

Hãy chọn phương án đúng ?

Hướng dẫn giải

A 6cm

Bài 1.7 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 106)

Trong tam giác có các cạnh là 5cm, 12 cm, 13 cm, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất. Hãy tính các đoạn thẳng mà đường cao này chia ra trên cạnh lớn nhất đó ?

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 11 (Sách bài tập trang 104)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{6}\), đường cao AH = 30 cm. Tính HB, HC ?

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 18 (Sách bài tập trang 105)

Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác ACH là 40cm. Tính chu vi của tam giác ABC ?

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 1.9 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 106)

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ C đến BM và H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? khẳng định nào sai ? Tại sao ?

a) \(\Delta HCD\)  S  \(\Delta ABM\)

b) AH = 2HD

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 8 (Sách bài tập trang 103)

Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm. Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này ?

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 12 (Sách bài tập trang 104)

Hai vệ tinh đang bay ở vị trí A và B cùng cách mặt đất 230km có nhìn thấy nhau hay không nếu khoảng cách giữa chúng theo đường thẳng là 2200 km ? Biết rằng bán kính R của trái đất gần bằng 6370 km và hai vệ tinh nhìn thấy nhau nếu OH > R (h.6)

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 1.5 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 105)

Trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH : AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, BH = c', CH = b'

Chứng minh rằng :

a) \(h=\dfrac{bc}{a}\)

b) \(\dfrac{b^2}{c^2}=\dfrac{b'}{c'}\)

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 1.10 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 106)

Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm, cạnh bên AD bằng 4cm và hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh DC, CB và đường chéo DB ?

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 3 (Sách bài tập trang 103)

Hãy tính x và y trong các hình sau :

 

Hướng dẫn giải

Bài 1.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 105)

Trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH : AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, BH = c', CH = b'

a) Tính h, b, c nếu biết b' = 36, c' = 64

b) Tính h, b, b', c' nếu biết a = 9, c = 6

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(h^2=b'.c'=36.64=2304\Rightarrow h=48\left(cm\right)\) (định lí 2)

\(b^2=a.b'=\left(b'+c'\right).b'=\left(36+64\right).3600\Rightarrow b=60\left(cm\right)\)(định lí 1)

\(c^2=a.c'=\left(b'+c'\right).c'=\left(36+64\right).64=6400\Rightarrow c=80\left(cm\right)\)

(định lí 1)

Vậy b = 60cm; c = 80cm; h=48

b) Ta có: \(c^2=a.c'\Leftrightarrow6^2=9.c'\Leftrightarrow c'=\dfrac{36}{9}=4\left(cm\right)\)

mà c' + b' = a \(\Rightarrow b'=a-c'=9-4=5\left(cm\right)\)

\(h^2=b'.c'=5.4=20\Rightarrow h=2\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: \(b^2=a^2-c^2=9^2-6^2=45\Rightarrow b=3\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Vậy h = \(2\sqrt{5}cm;b=3\sqrt{5}cm;\) c' = 4cm; b' = 5cm

Bài 20 (Sách bài tập trang 105)

Cho tam giác BC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB (h.8).

Chứng minh rằng :

                  \(BD^2+CE^2+AF^2=DC^2+EA^2+FB^2\)

Hướng dẫn giải

△DMC vuông tại D => DC2= MC2 - MD2
△AME vuông tại E => EA2 = AM2 - ME2
△BMF vuông tại F => BF2 = BM2 - MF2
Suy ra DC2 + EA2 + BF2 = MC2 - MD2 + AM2 - ME2 + BM2 - MF2 (1)
△BDM vuông tại D => BD^2 = BM^2 - MD^2
△CME vuông tại E => CE^2 = MC^2 - ME^2
△AMF vuông tại F => AF^2 = AM^2 - MF^2
Suy ra BD2 + CE2 + AF2 = BM2 - MD2 + MC2 - ME2 + AM2 - MF2 (2)
Từ (1) và (2) => BD2 + CE2 + AF2 = DC2 + EA2 + FB2

Bài 52 (Sách bài tập trang 113)

Các cạnh của một tam giác có độ dài 4cm, 6cm và 6cm. Hãy tính góc nhỏ nhất của tam giác đó ?

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

Bài 6 (Sách bài tập trang 103)

Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 5 và 7, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền ?

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 14 (Sách bài tập trang 104)

Cho hai đoạn thẳng có độ dài a và b. Dựng đoạn thẳng \(\sqrt{ab}\) như thế nào ?

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 13 (Sách bài tập trang 104)

Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng các đoạn thẳng có độ dài tương ứng bằng :

a) \(\sqrt{a^2+b^2}\)

b) \(\sqrt{a^2-b^2};\left(a>b\right)\)

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 1.4 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 105)

Trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH : AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, BH = c', CH = b'

Hãy biểu thị b', c' qua a, b, c ?

Hướng dẫn giải